Robust state observer of continues-time inhomogeneous Markov chain.pdf Конечные цепи Маркова как случайные процессы с дискретным и непрерывным временем хорошо изучены и находят применение в математическом моделировании, в процессах принятия решений, в теории систем массового обслуживания, в управлении сложными системами [1-3]. Конечную цепь Маркова можно рассматривать как линейную динамическую систему. Соответственно, можно применять методы теории линейных систем для анализа и синтеза цепей Маркова с заданными характеристиками. Одной из основных задач теории динамических систем является задача построения оценки состояния системы на основе измерений выхода системы. Актуальными являются задачи оценивания состояния системы в условиях неопределенности, когда модель системы точно не известна. Такого рода системы оценивания получили название робастных наблюдателей [4-9]. В работе [10] решается задача синтеза оптимального наблюдателя для частично наблюдаемой конечной цепи Маркова с дискретным временем. Синтез наблюдателя осуществляется на основе решения задачи линейного программирования. В данной работе решается задача построения оценки состояния неоднородной конечной цепи Маркова с непрерывным временем на основе классического наблюдателя Люенбергера. Предполагается, что интенсивности переходов в цепи Маркова точно не известны. Определены условия существования наблюдателя, описан алгоритм синтеза наблюдателя, исследованы условия робастности наблюдателя, приведен численный пример. Результаты работы могут найти применение в системах диагностики состояния и управления техническими объектами, в системах принятия оптимальных решений в области экономики и финансов. 1. Математическая модель Рассмотрим систему, поведение которой описывается неоднородной конечной цепью Маркова с непрерывным временем. Обозначим через s, i = 1,n, состояния системы, через qtj (t) - интенсивности перехода системы из состояния s в состояние s, через pt (t) - вероятность нахождения системы в состоянии s в момент времени t. 74 Робастный наблюдатель состояния неоднородной цепи Маркова с непрерывным временем Будем считать, что интенсивности переходов q (t) могут быть представлены в следующем виде: qtJ (t) = а + by (t)• Здесь постоянные значения а - 0 известны, значения b (t) - ~ау неизвестны. Значения b (t) будем называть возмущениями интенсивностей переходов. При этом предположении динамика системы описывается системой уравнений Колмогорова [1]: p(t) = p(t)Q(t), (1) где /К0 = [а(0 •• рЛ 0], Q(t) = A + B(t), аи ... аы - bln(t) A = ат ••• аш_ , B(t) = Лі(0 - bm(t)_ n а.. =- X а.. И Z_l V V=1, V o' II о i = 1, n. Матрицу B(t) будем называть матрицей возмущений. В теории цепей Маркова с непрерывным временем матрица Q(t) называется генератором цепи Маркова [Ibid.]. Генератор называется неприводимым, если при любом t - 0 система уравнений n p(t)Q(t) = 0, X Р• (t) =1 i=1 имеет единственное решение p(t) > 0. Далее будем считать, что генератор цепи Маркова (1) неприводим. Из неприводимости генератора следует, что при любой постоянной допустимой матрице возмущений B(t) = B существует lim p(t) = p, и этот предел не зависит от начального распределения вероятностей p(0). Если матрица B известна, то предельное распределение вероятностей находится как решение системы уравнений n p(A + B) = 0, X pi = 1. (2) i=1 В нашем случае матрица B неизвестна и может меняться во времени. Поэтому мы не можем найти p из системы уравнений (2). Тем более мы не можем найти p(t) как решение системы (1) при неизвестной матрице B(t) и неизвестном начальном распределении вероятностей p(0). Систему (1) рассмотрим как линейную динамическую систему с неполной информацией о состоянии. Будем считать, что измерению доступны значения n y(t) = X cipt (t). i=1 Уравнение (1) дополним уравнением измерений y(t) = p(t )c, (3) где с - вектор-столбец, с = [q ... сп ] . Например, если измерению доступна вероятность нахождения системы в состоянии si, то все коэффициенты вектора c равны 0 за исключением ct = 1. К уравнениям (1), (3) добавим уравнение выхода z(t) = p(t)h, где h - также вектор-столбец, /z = [/Zj ... hn] . Необходимо построить оценку состояния р(і) системы (1), (3) такую, что ошибка оценки e(t) = p(t) - p(t) обладает свойством lim e(t)h = 0 независимо от начальных значений p(0) и p (0). 75 Е.А. Перепелкин 2. Наблюдатель Для оценки состояния системы (1), (3) применим наблюдатель Люенбергера [11]. Уравнение наблюдателя имеет следующий вид: p(t) = p(t)A-(y(t)-p(t)c)d. (4) Здесь d - вектор-строка коэффициентов наблюдателя. Ошибка оценки удовлетворяет уравнению e(t) = e(t)(A + cd) + p(t)B(t). Коэффициенты наблюдателя определим из условия устойчивости матрицы A + cd. Матрица называется устойчивой, если все ее собственные числа имеют вещественные части меньше нуля. Обозначим через {а, : а,:...: ав} спектр матрицы А. Из неприводимости матрицы А как генератора цепи Маркова (1) при B(t) = 0 следует [1], что одно собственное число матрицы A равно нулю, остальные имеют вещественные части строго меньше нуля. Для определенности будем считать, что ^ = 0, Re < 0, i = 2, n. Обозначим через ѵі левый собственный вектор матрицы A, отвечающий собственному числу ^ = 0. Этот вектор является вещественным и определяется однозначно с точностью до множителя. Далее будем считать, что vlc ф 0. Вектор ѵі можно найти как решение системы уравнений уА = 0, yc = 1. Пусть р есть некоторое вещественное число. Рассмотрим матрицу A + pcy. Обозначим через W правые собственные векторы матрицы A, отвечающие собственным числам 'ki, i = 2, n. Заметим, что эти векторы ортогональны вектору ѵі. Следовательно, (А + pcy)w = Aw = 'kiw, i = 2,n. С другой стороны, у (A + pcy) = ру. Таким образом, мы показали, что спектр матрицы А + pcy состоит из чисел {цД2,...А}. Выберем р< 0. Зададим вектор коэффициентов наблюдателя равным d = ру. Спектр матрицы A + cd равен {р: А..}. При этом матрица A + cd будет устойчивой. Таким образом, алгоритм синтеза наблюдателя для системы (1), (3) сводится к нахождению левого собственного вектора матрицы A, отвечающего собственному числу ^ = 0. Пусть B(t) = 0. Тогда из устойчивости матрицы A + cd следует lime(t) = 0 и, следовательно, t^tt lime(t)h = 0 при любом h независимо от начальных значений p(0) и p(0). t^tt Рассмотрим условие робастности наблюдателя. Пусть матрица возмущений является постоянной, B(t) = B. Если B( A + cd )-1 h = 0, то lim e(t)h = 0 независимо от начальных значений p(0) и p (0). t^tt Действительно, силу неприводимости генератора цепи Маркова (1) существует limp(t) = p, и этот t^tt предел не зависит от p(0). Из условия устойчивости матрицы A + cd следует, что существует lime(t) = e , такой что t^tt e (A + cd) + pB = 0, p(A + B) = 0. Матрица A + dc невырожденная. Следовательно, e = - pB( A + cd )-1, eh = - pB( A + cd )-1 h = 0. 76 Робастный наблюдатель состояния неоднородной цепи Маркова с непрерывным временем 3. Численный пример Рассмотрим цепь Маркова с матрицами -а а 0 0 0 " -y(t) y(t) 0 0 0" 0 -2а а а 0 0 0 0 0 0 а 0 -а - р р 0 , в = 0 0 0 0 0 0 0 0 -р р 0 0 0 0 0 1 “СО 0 Р 0 -2Р_ 0 0 0 0 0 Предположим, что а > о, р > 0. Возмущение y(t) может быть любым при условии, что y(t) > -а. Пусть вектор c = [0 0 1 0 0]Т. Это означает, что измерению доступна вероятность нахождения системы в состоянии S3. Левый собственный вектор матрицы A, отвечающий нулевому собственному числу и условию vc = 1, равен у = 2(2а + р) 2а + р 1 2(2р + а) 2р + с 3а 3а 3р зр Вектор коэффициентов наблюдателя d = цу. Проверим условия робастности. Матрица 1 0 0 0 0 а 0 0 0 0 0 B( A + cd)-1 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Следовательно, B( A + dc) 1 h = 0 при h = [О h h h4 h Г. При оценки обладает свойством lime(t)h = 0 независимо от начальных h = [1 0 0 0 0] получим t у _ lim e(t)h = р. t^m а Рис. 1. Оценка вероятности р4 Fig. 1. Estimate of probability p4 Рис. 2. Результаты имитационного моделирования Fig. 2. Simulation results 77 Е.А. Перепелкин На рис. 1, 2 показаны результаты моделирования системы с наблюдателем. Расчеты и моделирование выполнялись при а = 3, Р = 5, у (t) = 100, ц = -10, с = [0 0 1 0 0]Т, h = [0 0 0 1 0]Т. p(0) = [1 0 0 0 0], p (0) = [0,2 0,2 0,2 0,2 0,2]. На рис. 1 показаны результаты, полученные при решении уравнения Колмогорова (1) и уравнения наблюдателя (4). Здесь p4 (t) - оценка вероятности p4 (t) в момент времени t, p4 - предельное значение вероятности p4 (t) соответственно при значениях возмущения у (t) = 0 и у (t) = 100. На рис. 2 представлены результаты имитационного моделирования, которые также подтверждают справедливость представленных в работе условий робастности наблюдателя. Заключение В работе решена задача синтеза наблюдателя состояния неоднородной конечной цепи Маркова с непрерывным временем в предположении, что интенсивности переходов в цепи Маркова точно не известны. Цепь Маркова рассмотрена как линейная динамическая система с неполной информацией о состоянии. Описан алгоритм синтеза наблюдателя. Показано, что синтез наблюдателя сводится к нахождению собственного вектора матрицы генератора цепи Маркова, отвечающего нулевому собственному числу этой матрицы. Рассмотрены условия робастности наблюдателя. Приведены численный пример и результаты моделирования.

Скачать электронную версию публикации