Almost deterministic mode in the GIGI1 to system with heavy tails of distributions.pdf Детерминированные модели массового обслуживания удобны для описания производственных процессов, проходящих по определенному графику. Процессы обслуживания в детерминированных системах, как правило, являются циклическими (см., напр.: [1]). Одним из наиболее интересных режимов функционирования почти детерминированных систем обслуживания является режим большой загрузки. Например, одноканальная система массового обслуживания со случайными возмущениями имеет в режиме большой загрузки, как правило, большую очередь, а детерминированная одноканальная система массового обслуживания в режиме большой загрузки очереди не имеет. Поэтому интересно оценить влияние малых случайных возмущений на детерминированные нагруженные режимы функционирования. Особый интерес здесь представляют системы обслуживания, у которых времена обслуживания и интервалы между приходом заявок имеют функции распределения с тяжелыми, в частности степенными, хвостами. В работе устанавливается переход от времен ожидания, стремящихся к бесконечности, к временам ожидания, стремящимся к нулю, в зависимости от показателя степени, определяющего размер случайной флуктуации. Опишем работу одноканальной системы массового обслуживания G | G |1| да последовательностью времен ожидания начала обслуживания: wl+i = max(0, wt + ц, -zt). (1) Здесь Ti - интервал между приходом і-й и (і + 1)-й заявки, Мт, = a, а ц - время обслуживания і-й заявки, Мц = b. Предположим, что разность т|г-т, =-s + saA;, (2) где А0, Aj,... - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, МА, = 0. В режиме большой загрузки, когда коэффициент загрузки р = b близок к единице, положиа тельный параметр s = (l - p)a является малым: s0 характеризует скорость убывания случайных возмущений с увеличением загрузки. В силу известных результатов для одноканальной системы массового обслуживания G | G |1| да (см., напр.: [2. Гл. 1, §3]) марковская цепь wt, i > 0 , вида (1), (2) имеет при в >0, a >0 стационарное распределение 80 Почти детерминированный режим в одноканальной системе массового обслуживания limP(wt > t) = P(Wa (s) > t), t > 0, (3) і^да Wa (s) = sup j 0, J(pj - xj), i > 0 !• = sup j 0, £(-e + saA), i > 0 !•. 4 }J j=0 J L j=0 Основной задачей этой заметки является анализ слабой сходимости ^ распределения случайной величины W (s) при s ^ 0. Доказывается, что при увеличении а происходит смена предельного 1 1 соотношения W ^ да, а < -, на предельное соотношение W ^ 0, а > -. Здесь ѵ характеризует па- ѵ ѵ раметр степенного убывания более тяжелого из хвостов распределений времен обслуживания и интервалов между приходом заявок. 1. Предварительные сведения Теорема 1. Пусть при некоторых положительных постоянных р, с < да справедливо неравен ство M | А1 |2+р< с. Тогда для любого t > 0 справедливо предельное соотношение [3. Гл. V, теоремы 3.1, 3.2] (см. также: [4-8]) limP(sW0 > t) = e“2t/d. (4) s^-0 В случае существования при некотором р >0 конечного экспоненциального момента M exp(pAx) более детальное рассмотрение этого предельного соотношения проведено в [2. Гл. 4, теорема 19]. Теорема 2. Предположим, что при некоторых 1 < ѵ 0 выполняются соотношения ^Спі > у) ~ Ку~ѵ , р(Ті > У) = о(Р(л! > У)), У ^да. Тогда для любого у > 0 справедлива формула [3. Theorem 5.1, Formulas (5.12)-(5.15)] limP(Av(s)W0 /b > y) = R,-i(У). (5) s^-0 Здесь Яѵ-1(у), у > 0, - некоторое предельное распределение (Коваленко) (см., напр.: [4]), являющееся непрерывной функцией и удовлетворяющее соотношениям: 1 J0>e гуdRv-1(y) = -7, r > 0, 1 + r 1 - Яѵ-Д у) = Е(-1) да ,,"(ѵ-1) п у Г(ѵ- 1)sin((v- 1)п) + O( у -2(ѵ-1)), у ^да. n=0 Г(п (ѵ-1) +1) пуѵ В свою очередь, Аѵ (s) при некотором с >0 [3. Formulas (4.21)-(4.24)] удовлетворяет формуле Лѵ (в) ~ С81/(ѵ_1:), 8 -> 0. Теорема 3. Предположим, что при некоторых 1< ѵ 0 выполняются соотношения P(*1 > у) ~ gvy v, P(rij > у) = о(Р(тj > у)), у -> да. Тогда для любого у> 0 выполняется соотношение [Ibid. Formula (7.5), Theorem 7.1] limР{Лѵ (s)W>/ a > y} = exp(-y). (6) s^-0 В свою очередь, множитель Лѵ (s) при некотором d >0 [Ibid. Formula (7.5)] удовлетворяет формуле Лѵ (s) ~ clsy(v~l), s -» 0. 2. Формулировка и доказательство основных результатов Пусть {a(x), 0 < x < 1} - семейство неотрицательных случайных величин, таких что P(a(x) < да) = 1, 0 < x у) - А(у), х - 0, у > 0, где А(у) - непрерывная и невозрастающая функция, A(0) = 1, А(у) - 0, у - да. Тогда справедливо предельное соотношение P(b(x)a(х) > у) - А(у), х - 0, у >0, (7) в котором b(х)> 0, 0 < х < х, при некотором хі < 1 причем b(х) - 1, х - 0. Доказательство. Действительно, для любого 0< у < да справедливо соотношение P(b( х)а( х)> у) = Р(а(х)> уЬ~1( х)). Зафиксируем 0< у < да, у >0, и, пользуясь непрерывностью функции А(у), определим Sj (у, у) > 0, такое что I уу \\< Si(y,у) ^ \\ А(у') - А(у)\\< у. По так определенному S (у, у) и условию Ь(х) - 1, х - 0, можно определить 52 (у, у)>0, такое что 0 < х < 52 (у, у) - \\ уЬ-1 (х) - у \\< S (у, у) , и значит выполняется соотношение 0 < х < 52 (у, у) - \\ Р(а(х) > yb - (х)) - А(у)) |=| P(b(х)а(х) > у) - А(у) \\< у. Формула (6) доказана. Лемма 2. Пусть выполняются условия леммы 1, тогда для любого у >0 справедливо предельное соотношение Р(с(х^(х)а(х) > у) - 1, х - 0, у >0, (8) в котором с(х) > 0, 0 < х < х2, при некотором х2 < 1, причем с(х) - да, х - 0. Доказательство. Действительно, для любого у, 0< у < да справедливо соотношение Р(с(х)Ь(х)а(х) > у) = Ра(х) > ус~1 (х)Ъ 1 (х)). Зафиксируем у >0 и, пользуясь тем, что А(у) является непрерывной функцией в точке 0, определим 53 (у )>0, такое что у '< 53 (у) ^ А( у ')>1 -у. Из определений классов функций В, С следует, что по заданным у >0, у можно подобрать такое 54 (у, у), что х < 54 (у, у) - уЪ~1 (х)с~1 (х) < 53 (у) , и значит х < 54(у,у) - Р(а(х) > уЪ 1 (х)с~1 (х)) = Р(с(х)Ъ(х)а(х) > у)>1 -у. Формула (7) доказана. Лемма 3. Пусть выполняются условия лемм 1, 2, тогда для любого у >0 справедливо предельное соотношение Р(й(х)Ъ(х)а(х) > у) - 0, х - 0, у >0, в котором d(х) > 0, 0 < х < х3, при некотором х3 < 1, причем d(х) - 0, х - (9) •0. для любого 0 < у < да Доказательство. Действительно, -1/„\\ и-1. справедливо соотношение Р(с(х)Ъ(х)а(х)> у) = Р(а(х) > ус_1(х)Ъ_1(х)). Зафиксируем у >0 и, пользуясь тем, что А(у) - 0, у -да, определим S5 (у )>0, такое что у '> 55 (у) ^ А( у ')< у. Из определений классов функций В, V следует, что по заданным у >0, у можно подобрать такое 56 (у, у), что х < 56 (у, у) - уЪ 1 (х)с~1 (х) > S (у) , и значит х < 56 (у, у) - Р(а(х) > уЬ1 (х)d-1 (х)) = Р(d(х)Ъ(х)а(х) > у) < у. Формула (8) доказана. Теорема 4. Пусть справедливы условия теоремы 1 и случайная величина ^ удовлетворяет соотношению Р(^ > t) = e~2t/d. Тогда в одноканальной системе массового обслуживания G \\ G \\1\\ да выполняются следующие предельные соотношения: +да, 0 < а 1/2. 82 Почти детерминированный режим в одноканальной системе массового обслуживания Доказательство. Пусть справедливо условие (11) 0 t) = e -2t / d t > 0. в-0 (12) Введем следующие обозначения: W = а(в), A(y) = e 2y/d. Чтобы получить первое соотношение • да, в -- 0. Второе в формуле (10), достаточно воспользоваться леммой 2, полагая с(в) = в2 соотношение в формуле (10) следует из формулы (12). Последнее соотношение в формуле (10) вытекает из леммы 3 при d(в) = в2а-1 - 0, в - 0. Пусть теперь 1 01 == ва W, J=0 j W = sup j 0,1(-1 + А j ), i > 0j. Методами работы [2] легко установить, что при выполнении введенных ранее ограничений на случайные величины А0, Aj,... случайная величина W является собственной случайной величиной. Поэтому с помощью соотношения ва - 0, в - 0 и леммы 3 получаем формулу limP(Wa (в) > у) = 0, у >0. в-0 Теорема 4 полностью доказана. Теорема 5. В одноканальной системе массового обслуживания G | G |1| да при выполнении условий теоремы 2 справедливы следующие предельные соотношения: (12) Wa(в)^+да, 0 у) = Rv_x (у), у > 0. (13) 1 Предположим, что 0 0, 0

Скачать электронную версию публикации