Optimization of the trajectory of the object in a conflict anisotropic medium according to the probabilistic criterion o.pdf Рассматриваемая задача относится к классу задач об управлении, получивших в отечественной литературе название задач управления подвижными объектами в конфликтной среде [1, 2]. Под конфликтной средой понимается совокупность объектов (они называются конфликтующими), сближение с которыми для управляемого объекта нежелательно в ходе выполнения им основной задачи. Минимизация негативного воздействия конфликтующих объектов на управляемый объект является целью управления. Эта цель достигается путем выбора маршрута его движения, параметров движения и (или) режимов работы технических средств. Задачи об оптимизации закона уклонения подвижного объекта от обнаружения рассматривались в ряде работ, отличающихся предположениями о характеристиках информационных полей, в которых происходит обнаружение [1-6]. В работах [3, 5, 6] рассматриваются задачи уклонения применительно к обработке гидроакустической информации. Как известно, распространение гидроакустического сигнала происходит в анизотропной среде, которая обладает контрастной структурой с чередованием зон акустической освещенности и зон акустической тени [7]. Чаще всего в качестве критерия решения задачи используется вероятностный критерий. Удобство его использования определяется тем, что он позволяет получать не только текущие локальные, но и интегральные оценки потенциальной возможности обнаружения объекта поиска по траектории, т.е. маршруту (в горизонтальной плоскости) и трассе (по глубине) следования. В работах [5, 6] предлагается дискретный метод оптимизации этого критерия при решении задачи об оптимизации закона уклонения морского подводного объекта (МПО) от обнаружения несколькими независимыми стационарными наблюдателями (СГАС) и маневренными средствами (МС) на основе принципа динамического программирования (ДП) для изотропной [5] и анизотропной [6] среды. Считается, что время движения МПО ограничено известной величиной. В [5] рассмотрена аппроксимация путями графа, вершины которого равномерно покрывают район. При решении задачи ДП для каждого ребра графа ДП по известным параметрам (координаты (х, у) начала и конца ребра, глубина Лист, скорость Ѵист) вычисляется вероятность обнаружения Робн для і-го наблюдателя, и затем находится интегральная вероятность обнаружения для независимых наблюдений [8]: L Робн = 1 -П (1 - Робн, ) , (1) 1=1 где L - число наблюдателей. Таким образом, задача оптимизации решается с использованием 4-мерного вектора [x, у, Лист, Ѵист]. 71 И.М. Рудько В настоящей работе предлагается подход к решению задачи об оптимизации закона уклонения МПО от обнаружения несколькими СГАС и МС для случая, когда известно единое поле вероятности обнаружения для всего района, пересекаемого МПО. Вектор управлений МПО включает траекторию уклонения и закон изменения скорости V на траектории. 1. Оптимизация закона уклонения в изотропном поле Зададим закон движения МПО от начальной точки A до точки назначения B за время T параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), 0 < t < T, x(0) = Xa , y(0) = Уа . Поскольку параметром является время, то тем самым задается также закон изменения вектора скорости (x(t), y(t)). Качество маневрирования объекта будем характеризовать вероятностью того, что за время прохождения объектом маршрута его не обнаружит ни один из наблюдателей, контролирующих район. Будем называть ее вероятностью необнаружения, обозначив через Рнеобн . Зависимость этой вероятности от закона движения будем определять в предположении, что в районе расположено N СГАС в пунктах с координатами (xk, yk), k = 1, ..., N. Оптимальный закон движения из начального пункта в конечный ищется из условия максимума Рнеобн или, что то же самое, из условия минимума вероятности Робн = 1 - Рнеобн того, что при прохождении маршрута объект будет обнаружен хотя бы одним из наблюдателей. Расстояние, на котором вероятность правильного обнаружения сигнала Робн равна установленному значению при соблюдении требований к вероятности ложных тревог Рт, принято называть дальностью действия ГАС [9]. Данное определение в общем виде относится к однократному наблюдению (взгляду) при установленных зависимостях между временем накопления То, отношением сигнал / помеха р и заданных Робн и Рлт. Для случая многократных последовательных независимых наблюдений (вероятность наступления события обнаружения хотя бы один раз за серию наблюдений) оценки производятся по формуле интегральной (кумулятивной) вероятности (1). Из основного уравнения гидролокации (ОУГ) [10] для однократного наблюдения в [5] получено выражение для вероятности правильного обнаружения как функции от дальности для изотропного поля: (2) где Fn (•) - функция ^-распределения с n степенями свободы, р - отношение сигнал /помеха; ho -квантиль уровня (1 - а), а = Рлт, n - число степеней свободы, которое в случае цифровой обработки определяется из условий T = nAt, At = 1/AF, At - интервал дискретизации по времени, AF - полоса пропускания входного фильтра системы обнаружения, а в случае аналоговой обработки определяется как n = 2TAF. При заданной вероятности ложной тревоги Рлт = а вероятность правильного обнаружения Робн возрастает с увеличением р, а р монотонно убывает с ростом расстояния r до цели. Задаваясь минимально обнаруживаемым сигналом, т.е. минимальным значением ршт, можно найти максимальную дальность обнаружения Rmax. При r > Rmax цель не может быть обнаружена с заданной выбором ршт вероятностью а, а при r < Rmax обнаружение происходит с вероятностью, не меньшей Робн при заданном значении а. Пределом Rmax является расстояние г, для которого Робн = Рлт = а, так как обнаружение с вероятностью меньшей, чем Рлт, теряет смысл. Расстояние r можно условно разбить на три участка: - 0< r < Rmin, на котором объект будет обнаружен с заданной Робн за одно или, в худшем случае, за заданное число разовых наблюдений (1) - зона устойчивого обнаружения; - r > Rmax, на котором скрытность объекта максимальна (Робн < Рлт) - зона необнаружения; - Rmin< r < Rmax - зона неустойчивого обнаружения. 72 Оптимизация траектории движения объекта в конфликтной анизотропной среде Таким образом, объект следует считать видимым лишь вне зоны необнаружения, а задача оптимизации траектории движения имеет смысл лишь в зоне неустойчивого обнаружения. Единое поле вероятности обнаружения для всех наблюдателей, контролирующих заданный район, Робн(х, у) может быть вычислено следующим образом. Пусть имеются два наблюдателя с шириной полосы частот AF\\ и AF2 и со временами накопления Т\\ и Т2 (Т\\ Ф Т2) соответственно, в которых решение об обнаружении принимаются независимо. Для расчета вероятности совместного обнаружения хотя бы одним из двух наблюдателей, чтобы использовать формулу (1), нужно одинаковое время накопления, но Т\\ Ф Т2. Определим наименьшее общее кратное - НОК(Т\\, Тф) = То. Тогда То - L\\ =To/T1 - число взглядов для 1 -го наблюдателя, L2 = То/Т2 - число взглядов для 2-го наблюдателя. Для 1-го наблюдателя, считая, что цель неподвижна, согласно (1) за время То получаем (3) Рнеобн1 (Т0 ) = П Рнеобн1 (Т1 ) = [Рнеобн1 (Т1 ) ] а для 2-го наблюдателя за время То ■^2 Рнеобн 2 (Т 0 ) = П Рнеобн 2 (Т2 ) = [ Рнеобн 2 (Т2 ) ] . Допустим, что у нас есть 3-й наблюдатель, который имеет время наблюдения Т2 и за время То обеспечивает по формуле (3) такую же вероятность необнаружения Рнеобн, как и 1-й наблюдатель, т.е. [Рнеобн3(Т2)]"2 = [Рнеобн1 (Т1)]"‘ и Ц) = [Рнеобн1 (Т1 )]^ = [2необн1 2 ^ . Третий наблюдатель эквивалентен 1-му наблюдателю в том смысле, что рассчитанные для них по формуле (3) за время То вероятности необнаружения Рнеобн равны между собой. Так как время наблюдения - Т2 - для 3-го наблюдателя равно времени наблюдения для 2-го наблюдателя, то для определения интегральной вероятности для независимых наблюдателей можно применить формулу (1): Р = Р ,, необн(1+2) необн2 ѵ1- 2/А необнЗ V 2 > Т 2 / (Т2 )Рнеобн3 (Т2 ) Рнеобн2 (Т2 ) [Рнеобн1 (Т)] А. (4) Таким образом, вероятности необнаружения для двух СГАС с различными временами взглядов можно объединить, используя формулу (4), в Рнеобн с единым временем взгляда. Пусть СГАС, расположенные в районе, имеют координаты (xk, yk). Тогда, используя формулу для вычисления Робн(di) , приведенную в [5], можно рассчитать вероятность необнаружения для всех точек района (x, у), т.е. сформировать поле (матрицу) вероятностей необнаружения Рнеобн (x, у): _ К T (5) Рнеобн (Х У) = V °2 + b lim П Рнеобнk (Xk , yk ) k =1 где K - число наблюдателей, Тм - тах[Тк], Тк - длительность взгляда для k-го наблюдателя, (xk, yk) -координаты k-го наблюдателя, Рнеобн к - вероятности необнаружения для k-го наблюдателя. В качестве примера на рис. 1 приведены вероятности обнаружения (карта вероятностей) Робн^, у) = 1 - Рнеобн^, у) для трех независимых наблюдателей (СГАС), расположенных в заданном районе, в случае однократного наблюдения с использованием формулы (5). На рис. 1 зона необнаружения выделена зеленым цветом, а зона обнаружения - коричневым. Границы зоны неустойчивого обнаружения определены из условий: Rmm - Робн = 0,5, Rmax - Робн = 0,02. Приведены также четыре возможных маршрута - 2 маршрута, обходящих районы СГАС, и 2 - проходящих между ними. Шумность МПО зависит от скорости V, следовательно, карта вероятности (см. рис. 1) будет относительно координат k-ой СГАС изменяться: с ростом V граница зоны необнаружения будет расширяться, а с уменьшением V - сжиматься. Учитывая, что обычно траектория объекта проходит на достаточно больших расстояниях от наблюдателя и (1/r2) является малой величиной, как показано в [11], можно разложить функцию зависимости изменения вероятности обнаружения Робн от дистанции r - Робн(г) в ряд по степеням (1/r2) и ограничиться несколькими членами разложения. В первом приближении имеем 73 И.М. Рудько Робн (r) = а + n YV“ (xL,n )" Xl оШ 2n/2 r(f) e 1 -, r (6) где x2-a,n - (1 - a) - квантиль ^-распределения с n степенями свободы, оШ - дисперсия помехи, yW - зависимость шумности МПО от его скорости V, у и ц - некоторые размерные коэффициенты. Рис. 1. Вероятности правильного обнаружения (карта вероятностей) Робн(х, у) Fig. 1. Probabilities of correct detection (probability map) Pdet(x, y) Рассмотрим прохождение МПО между двумя СГАС с перекрывающимися зонами наблюдения. Пусть расстояние между СГАС - R0. Тогда из (6) для 1-й и 2-й СГАС соответственно получаем Робні (r) = a + V»Ci 4, Робн2 (r) = a2 + V 1 r 2 (R - r )f (7) В обобщенный параметр С1 сведены все параметры ОУГ, относящиеся к первому СГАС, а в параметр С2 - относящиеся ко второму СГАС. При выполнении условий Робні = Робн2 и a1 = a2 параметры, относящиеся к МПО (шумность, зависящая от скорости V), сокращаются. Таким образом, положение minp^^)] от скорости МПО не зависит. На рис. 2 приведен пример изменения вероятности обнаружения от скорости, где для различных скоростей V по формуле (5) рассчитана суммарная однократная вероятность обнаружения на линии, соединяющей два СГАС. Положение минимума интегральной вероятности (5) при изменении скорости не меняется, а величины min^,^) растут с ростом Vk. Рис. 2. Суммарная вероятность обнаружения Робн для двух СГАС Fig. 2. The total probability of detection of Pdet for two SSS Таким образом, маршрут, проложенный между двумя СГАС с перекрывающимися полями обнаружения (см. рис. 1), не зависит от скорости V и должен проходить через точки карты вероятностей, обеспечивающие min^,^^, у)). Или, используя географическую терминологию, проходить по «дну долин» и через «перевалы» карты вероятностей. 74 Оптимизация траектории движения объекта в конфликтной анизотропной среде Оптимизация маршрута по вероятностному критерию производится методом ДП [5]. В результате решения задачи получаем несколько синтезированных кусочно-прямолинейных субоптимальных маршрутов движения МПО (гмі), каждый из которых при фиксированной скорости V будет характеризоваться Pобні(x,y) и временем перехода Тмі. Наличие ограничений на время перехода Тм требует проведения для каждого маршрута оптимизации по скорости V, которая также производится методом ДП. 2. Оптимизация закона уклонения в анизотропном поле Предположение об изотропности гидроакустического поля справедливо лишь для однородной среды, в этом случае дальность обнаружения зависит только от расстояния между МПО и наблюдателем. В неоднородной среде дальность обнаружения зависит не только от расстояния между МПО и наблюдателем, но также от других параметров, таких как глубина и профиль дна, акустические свойства грунта, от гидрологических, определяемых видом вертикального распределения скорости звука (ВРСЗ), и метеорологических условий наблюдения, глубины погружения МПО, характеристик СГАС и глубины установки ее антенны и ряда других факторов [7]. Как результат влияния этих факторов круговая диаграмма, присущая изотропному полю, деформируется и зависит уже от четырех параметров: расстояния между МПО и наблюдателем (r), глубины погружения МПО (Лист), азимута на МПО и глубины установки антенны СГАС (Лир). Кроме обратной квадратичной зависимости затухания сигнала от дистанции, для каждой фиксированной дистанции r в анизотропном поле необходимо учитывать также перераспределение энергии сигнала по глубине, вызванное непосредственно анизотропией поля [7] и зависящее от дистанции r и глубин источника Лист и приемника Лпр, - коэффициент анизотропии у(Лпр, Г, Лист). Для учета анизотропии поля в формулу (2) необходимо ввести значение коэффициента анизотропии у(Лпр, г, Лист). Тогда вероятность правильного обнаружения как функции от дальности (2) для анизотропного поля преобразуется к виду: Робн (^т , Г, Л ) = 1 - F ( Л0 л = 1 - F V1 + р Я ) 1 + Р1(К , hnox ) к (8) где Ра - отношение сигнал / помеха в анизотропном поле. Задача расчета вероятности обнаружения в анизотропной среде хорошо разделяется на две независимые задачи: расчет анизотропного поля по заданной гидрологии и расчет вероятности обнаружения с учетом коэффициента анизотропии поля. Такое разделение очень важно с учетом того, что гидрологические характеристики района остаются «квазистационарными» достаточно длительное время (от нескольких часов до многих суток), а сам расчет анизотропного поля требует очень большого объема вычислений. В то же время расчет вероятности обнаружения с учетом коэффициента анизотропии поля требует значительно меньшего объема вычислений и может проводиться в режиме online. На рис. 3 в качестве примера приведены карты вероятности правильного обнаружения Робн(г, Лист, Лпр) для СГАС с антенной, расположенной на глубине Лпр, и двух заданных глубин - Листі и Лист2. Хорошо видно, что Робн зависит от глубины МПО и азимута на МПО. Следовательно, для анизотропного (слоисто-неоднородного) поля необходимо иметь набор карт вероятности Робн для дискретного ряда глубин ПЛ - Листі, ..., Листу, ..., Лист/. Таким образом, если для изотропного поля карты вероятности обнаружения Робн строятся в координатах (x, y), то для анизотропного поля необходимо иметь набор из / карт, рассчитанных по формуле (8), в координатах (x, у) для ряда фиксированных глубин Листу. Такой набор карт вероятности можно описывать трехмерной матрицей в координатах (x, у, Лист) при фиксированных глубинах наблюдателей Лпрі. На рис. 4 приведены вероятности обнаружения Робн^, у) в анизотропном поле для двух СГАС, расположенных в заданном районе, для заданной глубины Лист. В качестве примера на этом же рисунке показан маршрут, который мог бы проложить оператор при условии минимизации вероятности обнаружения МПО при переходе их точки координатами (0, 0) в точку (500, 500). 75 И.М. Рудько а b Рис. 3. Карты вероятности обнаружения Робн(х, у, Аист, Апр): а - Аисті , b - Аист2 Fig. 3. Probability maps of detection Pdet(x,y, horig, hrec): a - horigi, b - horig2 СГАС1+СГАС2, T-T1 100 200 300 400 500 y.e. Рис. 4. Суммарное поле вероятности обнаружения для 1-го и 2-го наблюдателей по формуле (2) Fig. 4. The total field of probability of detection for the 1st and 2nd observer according to the formula (2) Так же, как было показано выше для изотропного поля (см. рис. 1 и соответствующие формулы), рассмотрим прохождение МПО между двумя СГАС с перекрывающимися зонами наблюдения для анизотропного поля. Как следует из формулы (6), в ОУГ влияние анизотропии учитывается при расчете рл - отношения сигнал / помеха в анизотропном поле. В свою очередь, рл зависит от скорости МПО V и коэффициента анизотропии у(АПр, г, Аист). Очевидно, что коэффициент анизотропии от скорости МПО не зависит и может быть учтен при расчете параметров Ci и С2. Таким образом, в анизотропном поле положение тт[Робн (г)] также не зависит от скорости МПО. На рис. 5, а для этого сечения приведены Робн, рассчитанные при одинаковой скорости МПО для различных глубин Аист, а также Робн для соответствующего изотропного поля. При изменении глубины МПО положение минимума вероятности min(Pобн (Аист)) практически не меняется, поэтому маршруты для различных глубин Аист при прохождении между двумя СГАС практически совпадают. На рис. 5, b приведено (при фиксированной скорости МПО) сечения матрицы Робн(х, у, Аист) по линии (г), соединяющей два СГАС, в координатах (г, Аист), т.е. 2-мерная матрица, где по формуле (8) рассчитана интегральная вероятность обнаружения Робн(г, Аист). (Профиль дна окрашен в цвет, соответствующий Робн = 1.) 76 Оптимизация траектории движения объекта в конфликтной анизотропной среде Вероятность правильного обнаружения 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Дистанция (уе) a Расстояние между СГАС (у.е.) ъ Рис. 5. Вероятности обнаружения Робн для различных глубин Аист при прохождении между двумя СГАС (a) и сечение матрицы Робн(х, у, Аист) по линии, соединяющей две СГАС (b) Fig. 5. Pdet detection probabilities for various depths of Aorig when passing between two SSS (а); the section of the matrix Pdet(x, y, Aorig) along the line connecting the two SSS (b) Рассмотрим сечение матрицы Робн(х, у, Аист) по маршруту, проходящему, как показано на рис. 4, между двух СГАС - Робн(гм, Аист). На рис. 6 приведен пример такого сечения. Это сечение также можно рассматривать как карту вероятности обнаружения Робн, но уже не в координатах (x, у), а в координатах (гм, Аист), где гм - маршрут, Аист - глубина, по которой аналогично построению маршрута методом ДП вычисляется набор возможных трасс, одна из которых приведена на рис. 6. Для изотропного поля изменение скорости МПО при прохождении между двумя СГАС не приводит к изменению маршрута. При расчете вероятности Робн для анизотропного поля учитывается фактор аномалии, входящий, как один из параметров, в ОУГ [9]. При определении шт[Робн(г)] между двумя СГАС для анизотропного поля получаем уравнение, аналогичное (7), в котором параметры, характеризующие факторы аномалии, входят в параметры Сі и С2 соответствующих СГАС. Следовательно, положение штРобн^)] для анизотропного поля также не зависит от скорости МПО. Вероятность правильного обнаружения 50 100 150 200 250 300 350 Проход между СГАС (у.е.) Рис. 6. Сечение матрицы Робн(х, у, Аист) по маршруту гм - Робн(гм, Аист) Fig.6. The cross section of the matrix Pdet(x, y, Aorig) along the route гм - Pdet (гм, Aorig) С учетом перебора по скоростям Vk можно построить 4-мерную карту (матрицу) Робн(х, у, Аист, V), которая для заданного района может быть рассчитана заранее для фиксированного набора глубин Аист/ и скоростей Vk МПО при известных координатах наблюдателей и их технических характеристиках, гидрофизических характеристиках района (ВРСЗ, карта глубин, метеорологические условия наблюдения и ряд других факторов). Таким образом, рассматриваемый алгоритм построения оптимальной траектории с использованием матрицы вероятности (риска) Робн(х, у, Аист, V) выполняется за три последовательных этапа: 1. Построение маршрута гм по карте Робн(х, у) - сечению матрицы Робн(х, у, Аист, V) при Аист = const, Vk = const. 77 И.М. Рудько 2. Построение для выбранного маршрута гм трассы по Лист по карте Робн(гм, Лист) - сечению матрицы Робн(х, у, Лист, V) по Гм при Vk = const. 3. Расчет для выбранной траектории Тгл(гм, Лист) оптимальной скорости Vk по карте Робн(Тгл, V) -сечению матрицы Робн(х, у, Лист, V) по Trh. Такая последовательная структура алгоритма позволяет существенно уменьшить объем вычислений при построении оптимальной траектории по сравнению, например, с работой [5], где оптимизация производится одновременно по четырем параметрам: х, у, Лист, V. Общее число двумерных карт вероятности Робн(х, у) определяется размерами векторов глубин Лист и скоростей V, т.е. (J х K). Кроме того, расчеты на первых двух этапах (расчет траектории) желательно проводить при оптимальных для наблюдателей условиях - при движении ПЛ с максимально допустимой скоростью в подводном звуковом канале (если он есть). Эти условия позволяют производить ДП при максимально узких «долинах» и «перевалах» карты вероятности и, следовательно, более точно рассчитать маршрут и трассу (см. рис. 4, 6). Заключение Важной особенностью алгоритма является то, что наиболее трудоемкие расчеты вероятностей для анизотропного поля вынесены на предварительный этап решения задачи оптимизации. Рассматриваемый алгоритм может применяться для решения задачи оптимизации маршрута в режиме online и позволяет корректировать расчеты в случае появления новых наблюдателей. Алгоритм ориентирован на условия известного взаимного положения и движения объектов. Алгоритм построения оптимальной траектории универсален, поскольку он не зависит от количества средств обнаружения, их взаимного расположения, их параметров, при условии наличия моделей для расчетов вероятностей обнаружения объекта этими средствами.

Скачать электронную версию публикации