The conditions of orthogonality of the input sequences of one class of binary 4D-nonlinear modular dynamic systems.pdf Модулярные динамические системы (МДС), или последовательностные машины, являются одним из важных классов дискретных динамических систем [1-4]. Они находят широкое применение в различных областях науки и техники [1, 3-8]. Исследованы различные задачи теории и приложений одно- и многопараметрических МДС (nD-МДС) [8-15]. К ним относится и задача синтеза МДС. Для нахождения наилучшего решения задачи синтеза МДС используется метод, основанный на применении ортогональных входных последовательностей. Ортогональные входные последовательности строятся с учетом особенности конкретных классов МДС. В работах [3, 4, 16-18] в случаях n е {1,2,3} для некоторых нелинейных МДС (nD-НМДС) найдены соответствующие условия ортогональности входной последовательности и разработаны алгоритмы их построения. Одним из классов nD-НМДС является 40-НМДС [19], который имеет более общую структуру, чем nD-НМДС, n е {1,2,3} . В работе [20] рассмотрен вопрос нахождения наилучшего решения задачи синтеза, и для решения этой задачи отмечена необходимость нахождения условий ортогональности для входных последовательностей 4D-НMДC. А в данной работе рассматривается вопрос вывода условий ортогональности входных последовательностей двоичных 4D-НMДC. 1. Постановка задачи Рассмотрим двоичную 40-НМДС с фиксированной памятью n0, ограниченной связью P = р х P2 х Рз, степенью S, описываемую в виде двухзначного аналога полинома Вольтерры [20]: s \\ y[n ci, С 2, Сз] = ££ £ £ hv U, ё, p, Йх i=1 v=1 (j , КДу Ф 0), (Ѵр е {1,...,^2})(3а е {1,...5^})(3у е {1,=> (/иаДу Ф 0), (Ѵуе{1,...,^з})(Эае{1,...^1})(Эре{1,...,^2})=>(іяаду Ф 0); £а е {1,...,га},ст = 1,з); L(£) =Ll(£l) 'xL2(£2) хЖ(^з) ^ Ь2(12) = {а = (а1,...,а1г)У)(2,i, v)} , dy y(2,i,v) >0, y=1,...,R2(i,v), (6) где d (2,i,v) есть элемент матрицы V2(i,v)TV2(i,v), а для всех ve{1,...,A}, i e{1,...,S} , v'e{1,...,Ay}, i'e{1,...,S}, (i, v) Ф (i', v') выполнялось соотношение V2(i, vfV2(i\\ v') = 0r (,,v)XR (,,v-), (7) где в (7) через 0r (,,v)Xr {1 ,v) обозначена нулевая матрица с размерностью R2(i, v) х R2(i', v'). Доказательство. По определению матрицы V имеем: VTV = (V3T(a)V3(P)), a = \\S , p = \\S . (8) По (8) для того, чтобы V удовлетворяла условию ортогональности, необходимо и достаточно, чтобы для всех ae{1,..., S} выполнялись соотношения (9) V3(a)TV,(a) = diag{du(3,a),...,d^^r(a)(3,a)} , dy y(3,a) >0, y = 1,...,R,(a) , где d (3, a) есть элемент матрицы V3(a)TV3(a), а для всех ae{1,..., S}, Pe{1,..., S} , a^p выполнялось соотношение V3(a)TV3(p) = 0R3(a),R3(p). (10) Из формулы V3(i) = (V2(i,1) ... V2(i, Ai)) имеем V3(i)TV>(0 = ( V2(i,a)TV3(i,p)), a = 1Л , p = i. (11) Из (11) следует, что для того, чтобы V3 (a) удовлетворяла условию ортогональности (9), необходимо и достаточно, чтобы для всех v e {1,..., Аг} выполнялись V2O',v)TV(i,v) = diag{du(2,i,v),...,dRi0>)(2,i,v)} , dy y(2,v) >0, y=1,...,R2(i,v) , (12) где dyy(2,i,v) есть элемент матрицы V2(i,v)TV3(i,v) , а для всех ae{1,...,A} , Pe{1,...,A} , a^p выполнялось V2(i, a)TV2(i,P) = 0r(i,a),r(i,a). (13) Таким образом, учитывая соотношения (8)-(13), для удовлетворения матрицей V условия ортогональности (5) необходимыми и достаточными условиями являются условия (6), (7). Теорема доказана. Соотношения (6) есть условие собственной ортогональности каждой последовательности (4), а соотношения (7) - взаимной ортогональности последовательностей (4) и последовательностей (u,,v' [n, c1, c2, C3]: n e[0, N], Ca£[0,Ca ], a = 1,3}, v'e{1,..., }, i' e{1,..., S} . 82 Условия ортогональности входных последовательностей Теорема 2. Пусть ѵе{1,...,Д}, i е{1,..., £} . Для собственной ортогональности последовательностей (иг v[n,c,c,С]: n ^ [0,N], ca е[0,Ca],a =1,3} необходимо и достаточно, чтобы для всех (j, a, р) е Liv выполнялись соотношения (14) Ѵі(г\\ v,(j, a р))1^ v,(j, a, р)) = diag{du(1),..., dRi(i,vXj ,а,р))А(і,ѵ,(7 ,а,р))(1)} da,a(1) > 0, a = 1,...,R(i,v,( j,a,р)) , где da,a(1) есть элемент матрицы V|(i,v,(j,a,р))Г ■Vl(i,v,(j,a,р)), а для всех (j,a,р)еLt^ , (j',а', р') е Liv , (j,а, р) Ф (j, а', р') выполнялось соотношение Шv,j,a,р)Г • ^v,j,a',р') = 0R(i,v,(j^Muj^)). (15) Доказательство. По формулам (3) можем записать матрицу V (i,v)TV2 (і,v) в следующем компактном виде: (16) V2 (i, v) V2 (i, v) = (V (i, v, TT, a, рД ) V (i, v, (V, a, р)р)), a =1, |V-v |, P = 1, L По (16) ясно, что в матрице V (i, v)T V (i, v) на главной диагонали стоят элементы V (i, v, (j, a, р)а ) • V (i, v, ( j , a, р)а ), a = 1, \\Ll,v | , а элементы, стоящие вне главной диагонали, есть элементы V(i,v,(j,a,рД) • V(i,v,(j,a,р)р), a = 1,|L;>| , p = 1,|L^| , a/p. Поэтому если для каждых a = {1,...,Liv} в матрице V(i,v,(j,a,р)а)TV(i,v,(j,a,р)а) все диагональные элементы ненулевые, тогда выполняется условие (14), а если для каждых ae{1,...,|Liv}, Ре{1,...,|Li v}, a/p, матрица V1(i,v,(j,a,р)а)TV(i,v,(j,a,р)р) есть нулевая матрица, тогда выполняется условие (15). Таким образом, для удовлетворения соотношения (6) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (14) и (15). Теорема доказана. Теорема 3. Пусть: I. а) Для всех v е {1,...,Д}, i е {1,...,£} вспомогательная последовательность viv[n,c1,c2,c3] является {0,1} - последовательностью с периодом Г(i,v) +1, Д(і,v) +1, A2(i,v) + 1 и A (i, v) +1 соответственно по аргументам n, c, c2 и c3, где Г(i, v) +1 < N, Aa(i,v) +1 1 (2, U v),..., (i, v )r (i, v)(2, U v)}, dy,(2,i, v) > 0, у = 1,...,R2(i, v) , где dy,y (2,i, v) есть элемент матрицы V2(i, v)TV2(i, v), а матрица V2(i,v) образована из последовательностей [Oi v[n,q,c2,c3]: n е [0,Г(i,v)]}, c е[0,Д(і,v)], c2 е[0,A(i,v)], c3 е[0,Д,(і,v)] последовательно по формулам: ^ v, j, a р, zk ) = (18) (19) (20) ma,p,y . П П [n -т(k)(a, P, У, ^a,p,y ), c1 + P1 (7a ), c2 + P2(ap ), c3 + Рз(ру )] | [(a,P,y)eei,v ^a,p,y=l V(j,v,7,a,р) = (V0(i,v,7,a,р,д) ... V0(i,v,7,a,р,xr ,)), Г i,v V,(i, v) = (Vj(i, v,(j, a, рх) ... Vj(i, v,(7, a, р)^|)). II. а) Для всех v е {1,...,Д}, i е {1,...,S'} и (n, q, c2, c3) е [0, Г(i, v)] x [0, A (i, v)] x [0, АД v)] x [0, A3 (i, v)] 83 Ф.Г. Фейзиев, Н.Б. Абаева последовательность и'ѵ [n, c, c2, c3 ] определяется по формуле U', v [n C', C2’ C3] = 3 vjv [n, c1 , c2, c3], если (n, c1, c2, c3) e F (i, v) x ( x Ga(i, ѵ)), , a=1 3 (21) 0, если (n, c1, c2, c3) g F(i, v) x ( x Ga (i, v)), 1 2 3 a=1 a где F(i, v) = [Nl(i, v) -x(i, v),Nl(i, v) -x(i, v) + T(i, v)] c [0,T'] Ga (i, v) = [Da (i, vX Da (i, v) + Aa (i, v)] c [0 A ] , a = 1, 3, X(i, v) = fmax{mumu m 1.2.1 m 1.2. e m 1 ./■ .f 2’-i m } -1, если TVj (i, v) > 0, [о, если N1 (i, v) = 0. б) Для всех ve{1,...,X;.}, i e{1,...,S} натуральные числа Nx(i,v), Dx(i,v), D2(i,v), D3(i,v) и область [0,T'] x [0,C[] x [0,C2] x [0,C3] таковы, что для любых v' e {1,...,Хг-}, i' e {1,...,S} , (i, v) Ф

Скачать электронную версию публикации