Asymptotic properties and robustness of trimmed versions estimates of standard deviation and mean absolute deviations.pdf При обработке результатов измерений ХхХп, полученных в эксперименте путем наблюдений за признаком X изучаемого объекта, традиционно вычисляются по статистическим данным XjХп оценки математического ожидания M(X) и дисперсии D(X) (или стандартного отклонения [ D (X )]1/2) и коэффициента корреляции, что вполне оправдано для гауссовской модели наблюдений. Однако оценки этих числовых характеристик изучаемой случайной величины X подвержены сильному влиянию грубых ошибок (выбросов), которые обычно присутствуют в реальных данных Хх,..., Хп эксперимента [1-5]. Для больших совокупностей данных, особенно при их автоматизированной обработке на ЭВМ, тщательный анализ данных с целью обнаружения «выпадающих» наблюдений и их корректировки трудно осуществим. В таких ситуациях используются робастные процедуры [5-8], которые, с одной стороны, оказываются нечувствительными к наличию умеренного засорения данных грубыми ошибками, а с другой стороны, ведут себя «достаточно хорошо» при идеальных условиях нормальности или какого-либо другого предположения о типе распределения данных. В настоящее время разработано большое количество робастных оценок параметра положения в качестве альтернативы оценке математического ожидания, которые имеют ограниченные функции влияния и «защищены» от наличия выбросов в выборке. Многие из этих оценок принадлежат к общим классам M-, L-, R- и MD-оценок, которые хорошо изучены и описаны в литературе (см., напр.: [6-12]. Менее изученными являются робастные оценки масштабного параметра, который используется в качестве «меры», характеризующей степень разброса случайной величины, и определяется в виде функционала S(F) от функции распределения F наблюдений. Общие требования, предъявляемые к таким функционалам, сформулированы в работах [2, 4]. Традиционно используемые на практике оценки масштабного параметра, такие как оценка S (0) стандартного отклонения S1(F), и оценка S2 (0) среднего абсолютных отклонений Si(F), имеют неограниченные функции влияния, и они очень чувствительны к наличию выбросов в выборке (см., напр.: [6-8]). В данной работе предложены урезанные варианты этих оценок S(а) и S2(а), 0 < а < 1/2, которые вычисляются не по исходной выборкеХ1,...,Хп, а на основе упорядоченной статистики Х(і),...,Х(п), из которой предварительно удаляются [ап] наименьших и наибольших поряд-91 В.П. Шуленин ковых статистик. Получены асимптотические формулы для вычисления характеристик качества оценок, основанные на «стадартизованных диспериях» оценок. Показано, что эти характеристики существенно зависят от параметра а . На практике это приводит к дополнительным усилиям по выбору данного параметра. По этой причине в работе предложены адаптивные варианты оценок, для которых параметр а (X1,..., Xn) доопределяется на основе информации, содержащейся в исходной выборке. Приводятся результаты сравнения оценок масштабного параметра в условиях различных моделей наблюдений. Полученные результаты, приводят к следующему выводу. Предложенная адаптивная оценка Sj (а) стандартного отклонения имеет ограниченную функцию влияния, она «защищена» от наличия выбросов в выборке, имеет высокую эффективность в условиях гауссовской модели и может быть рекомендована к использованию на практике для оценивания масштабного параметра при умеренных объемах выборки и при возможных отклонениях от модели, вызванных наличием выбросов в выборке. 1. Общий подход к построению оценок масштабного параметра Введем необходимые понятия и обозначения. Пусть X - изучаемая случайная величина с функцией распределения (ф.р.) F(x), x е R , которая абсолютно непрерывна, имеет плотность fx), x е R1, и симметрична относительно точки Ѳх, т.е. F е35|Ѳ , где 3^ѳ = {F: F(x) = 1 - F(2QX- x), Vx е R1}. Везде ниже обратную (квантильную) функцию для ф.р. F(x) будем обозначать через F -1 (t) = inf{x: F(x) > t}, 0 < t < 1. Масштабный параметр функции распределения F используется в качестве меры, характеризующей степень разброса случайной величины (с.в.) X с ф.р. F. Рассмотрим такие меры, которые могут быть представлены в виде функционала S(F), F еЗ, заданного на множестве допустимых распределений 3 в условиях эксперимента, связанного с изучением с.в. X по статистическим данным Xj,...,Xn, полученным в серии n независимых и повторных наблюдений над с.в. X. Выборочная оценка S(X1,...,Xn) функционала S(F), F еЗ, построенная методом подстановки, записывается в виде: S(X1,...,Xn) = S(Fn), где Fn(x) - эмпирическая функция распределения, построенная по выборке Xj,...,Xn. Везде ниже порядковые статистики исходной выборки Xj,...,Xn будем обозначать через X(j),...,X^n). Общие требования, которым должен удовлетворять функционал S(F), описывающий разброс случайной величины X, сформулированы в работах [2, 4]. Для формулировки этих требований отметим, что о случайных величинах Xi и X2 с функциями распределений Fi и F2 говорят, что с.в. X2 стохастически больше чем с.в. Xi (при этом используют обозначение в виде F1 x) < P(X2 > x), Vx е R1. Отметим также, что F1 F2 (x), Vx е R1 и F 1 (t) < F2-1 (t), 0 < t < 1. Далее, разброс с.в. X относительно Ѳx (масштабный параметр с.в. X) определяют в терминах «расстояния» X от Ѳх, т.е. с помощью величины | X - Ѳх |, при этом говорят, что с.в. Xi имеет больший разброс относительно Ѳ , чем с.в. X относительно Ѳх, если с.в. | X1 - ^ | стохастически больше с.в. | X - Ѳx |. Функционал S(F) определяет масштабный параметр ф.р. F, если он удовлетворяет следующим условиям. Условие 1. Монотонность функционала S(F) относительно стохастического возрастания распределений, т. е. выполняется выражение S(FJ) < S(F2) для Fy 0 . Например, если в (1) в качестве параметра положения выбрать среднее значение T1(F), и положить V(t) = t, 0 < t < 1, то при у = 1 получим среднее абсолютных отклонений S2(F) = M{| X -M(X)|}, оценка которого запишется в виде: S2(0) = n-1Z | X - X |. При у = 2 будем иметь стандартное отклонение S (F) = {M(X-M(X))2}12, оценка которого запишется в виде: Sj(0) = {n^hZ(Xj -X)2}12. Если же положить V(t) = t/(1 -а), 0

Скачать электронную версию публикации