Method of synthesis of a reduced-order modal regulator.pdf В литературе, посвященной вопросам синтеза систем автоматического управления, чаще всего подразумевается синтез ПИ- и ПИД-законов регулирования (см., напр.: [1-3]). В этом смысле ПИД-законы регулирования именуются традиционными. Такое внимание к ним объясняется прежде всего тем, что до недавнего времени ПИД-регуляторы были единственными регуляторами, выпускаемыми промышленностью. ПИД-регуляторы доказали свою эффективность при управлении объектами, которые хорошо описываются дифференциальными уравнениями до 2-го порядка включительно. Однако, с одной стороны, интенсивное использование средств информатики и цифровой автоматики (микропроцессорных контроллеров, SCADA-систем и т.п.) при управлении технологическими процессами в промышленности позволяет перейти от традиционных ПИ- и ПИД-законов регулирования к более сложным, например модальным. С другой стороны, все большее число технологических процессов (объектов управления) описывается дифференциальными уравнениями высокого (начиная с 3-го) порядка [4-7]. Для объектов управления высокого порядка регулировочных возможностей ПИД-регулятора может быть недостаточно: очевидно, что повышая порядок модели объекта, следует адекватно повышать порядок регулятора. Метод модального управления, изложенный в работах [8-10], позволяет синтезировать регулятор для объектов управления произвольного порядка; данный метод предполагает, что объект управления описывается линейным дифференциальным уравнением n-го порядка (п - любое целое неотрицательное число) без запаздывания. Модальный регулятор ищется также в виде линейного дифференциального уравнения. Качество управления задается в виде области S на комплексной плоскости, определяющей желаемое расположение полюсов передаточной функции замкнутой системы. В книге [9] доказано, что модальный регулятор порядка п - 1 и выше обеспечивает любое заданное расположение полюсов передаточной функции замкнутой системы и тем самым гарантирует устойчивость и заданные корневые показатели качества для замкнутой системы. Регулятор (п - 1)-го порядка в работе [9] предложено называть модальным регулятором полного порядка. В настоящей статье рассматривается задача понижения порядка модального регулятора. Данная задача является актуальной: понижение порядка регулятора позволит снизить влияние возможных ошибок при реализации закона регулирования, повысит надежность замкнутой системы (за счет понижения порядка замкнутой системы), и позволит сэкономить вычислительные ресурсы при расчете регулятора. Самым простым способом понижения порядка регулятора является редукция (упрощение) исходной модели объекта управления. Методам редукции посвящено значительное число публикаций (см., напр.: [11-14]); такие методы подразумевают разделение быстрых и медленных движе-12 Метод синтеза модального регулятора пониженного порядка ний системы. В данной работе на основе подобного разделения динамик в объекте управления разработан метод обоснованного понижения порядка модального регулятора. Далее приняты следующие обозначения: = - равно по определению; * - комплексное сопряжение; j - мнимая единица; Rn, Cn - пространства n-мерных векторов x = (хІ5...xn), коэффициенты которых соответственно вещественные или мнимые числа; s - комплексная переменная; S - область на C1; dS - граница области S; int S - внутренняя часть области S; t - непрерывное время; р1 - оператор i-й степени дифференцирования по времени: рг = d’/dt ; i е 0,n, p0 = 1. Полиномиальным оператором степени l будем называть дифференциальный оператор вида і f (і, Р) =lLfiP, г=0 где fi - постоянные коэффициенты (г е 0,1). В изображениях по Лапласу оператору fl, р) соответствует алгебраический полином і f (і, s) = f, г=0 определенный на C1; здесь за s обозначена переменная преобразования Лапласа (s е C1). Множество корней (нулей) полинома fl, s) будем обозначать Л(/): Л(/) = {Ѵ/('А) = 0, /ей}. Передаточную функцию далее будем сокращенно записывать как ПФ. 1. Метод понижения порядка модального регулятора 1.1. Постановка задачи синтеза регулятора пониженного порядка Пусть одномерный линейный стационарный динамический объект управления задан дифференциальным уравнением n-го порядка a (n, p)y(t) = b (m, p)u(t), n > m,1 (1) где y(t) - управляемая переменная (выходной сигнал), u(t) - управляющая переменная (входной сигнал). Модальный регулятор ищется в виде дифференциального уравнения l-го порядка р(1,р)u(0 = а(1,р)у(t)+г(q,р)g(0, l> q,2 Рі = і, (2) где g(t) - входной сигнал для замкнутой системы (рис. 1). g (t). Регулятор u(t) Объект управления y(t^ Рис. 1. Структурная схема замкнутой системы управления Fig. 1. Block diagram of a closed control system Уравнение замкнутой системы имеет вид: acl (n +1, р )y(t) = bcl (m + q, p )g (t), (3) где acl (n +1, p) = a (n, p)p(l, p)- b (m, p )а(і, p), bcl (m + q,p) = b(m,p)%(q,p). 1 Условие физической реализуемости математической модели объекта управления. 2 Условие физической реализуемости замкнутой системы. 13 А.Н. Паршуков Уравнению (3) соответствует ПФ замкнутой системы hc.i. / s ) = b (m s )х( q,s) , a(n,s)P(l,s)-b(m,s)a(l,s) ’ при этом характеристический полином замкнутой системы равен acl (n +1,s) = a(n,s)p(l,s)-b(m,s)a(l,s) . Качество управления назначается в виде области S, определяющей допустимое расположение полюсов ПФ на С1, что может быть записано в виде целевого условия A(acl)c S . (4) Предполагается, что область S удовлетворяет следующим условиям: расположена в ограниченной части С1 слева от мнимой оси; односвязна; для любой точки s е S также выполняется s* е S. Прежде чем перейти к постановке задачи синтеза, рассмотрим следующие ситуации. Ситуация 1. Все нули и полюсы ПФ объекта управления расположены внутри области S. В таком случае нет необходимости в синтезе модального регулятора полного порядка; можно показать, что в этом случае регулятор (2) представляет просто коэффициент передачи. Таким образом, в данном случае задачи синтеза динамического регулятора, по существу, нет. Ситуация 2. Все нули и полюсы ПФ объекта управления расположены в правой части С1. В этом случае следует регулировать все моды1 объекта управления, что, очевидно, можно сделать только регулятором полного порядка. Ситуация 3. Часть нулей и полюсов ПФ объекта лежат внутри области S, а оставшиеся - вне. Следовательно, регулировке подлежат не все моды объекта, а только те, которые не удовлетворяют заданному целевому условию. Очевидно, что порядок модального регулятора должен определяться количеством «неудовлетворительных» мод объекта. Таким образом, основанием для понижения порядка модального регулятора служит наличие «удовлетворительных» нулей и полюсов в ПФ объекта. Отметим, что подобные рассуждения ранее рассматривались в литературе [11-14], причем в качестве «неудовлетворительной» выступала так называемая доминирующая динамика2, определяющая основные свойства системы и, как правило, подлежащая регулированию. Исходя из вышеизложенного, можем сформулировать задачу синтеза модального регулятора пониженного порядка следующим образом: пусть заданы объект управления (1) и область S такие, что для них справедлива вышеописанная ситуация 3; требуется рассчитать настройки регулятора порядка l (l < n - 1) такие, что обеспечивают выполнение условия (4). 1.2. Метод синтеза модального регулятора пониженного порядка Для удобства дальнейших рассуждений модель объекта управления (1) представим в следующем виде: ѵ(гъp)d (rр)у) = w(r2,p)V (r p)u), n0 ^ m0 , rl ^ r2 , ѵ0 = w0 = 1 3. (5) В записи (5) явно выделены операторы v(r1, p) и w(r2, p), корни которых лежат внутри области S, т.е. выполнены А(ѵ) с int S, A(w) с int S . (6) 1 Модами называются слагаемые в свободной составляющей реакции системы, эти составляющие зависят от корней ее характеристического полинома [8. С. 5]. 2 Под доминирующей динамикой понимаются те моды, которые вносят наибольший вклад («главные моды») в свободной составляющей реакции системы. 3) Данное условие обеспечивает одинаковый коэффициент передачи моделей (1) и (7). 14 Метод синтеза модального регулятора пониженного порядка Пару операторов назовем структурными возмущениями. Операторы описывают ту часть объекта управления, которая желаемым качеством управления может не обладать и, следовательно, подлежит регулированию. Далее редуцированную модель а (nо, Р )y(t ) = b (т0, p )u(t) (7) будем называть доминирующей динамикой объекта. Модальный регулятор (2) будем рассчитывать по классической схеме синтеза [10. С. 10-14] для редуцированной модели объекта (7). Таким образом, модальный регулятор (2) будет иметь порядок l = no - 1 (т.е. пониженный). При синтезе будем выбирать корни характеристического полинома эталонной системы aet (2«о -1,s) = ar(«о,р)Р(«о -1р)~Ъ(то,р)«(«о -1р) из условия A(aet)c int S . (8) После замыкания исходной модели объекта (5) синтезированным регулятором уравнение замкнутой системы (3) принимает следующий вид: аС/ (2«о + ri - 1, Р)y(t) = Ъс-1 (то + Г2 + Ч-, р)g(t), здесь ас/ (2«о + ri -1,р) = v(^р)а (^р)Р(«о -1,р)- ^(ъ р) Ъ (mо, р)а(«о-1, р), (9) ъс 1 (то + r + q р)=w (r2, р)ъ (mо, р)х(% р ). Выполняя в (9) несложные преобразования, получим следующее выражение для характеристического полинома замкнутой системы: ас 1 (2«о + Г -1,s) = v(ri,s)aet (2« -1,s)- (v(r,s)- w>(r2,s))br (то,s)a(«, -1,s) . (10) Из условий (6) и (8) следует, что корни первого слагаемого в (10) лежат внутри области S. Второе слагаемое в (10) вносит тем больший вклад, чем дальше отстоят корни полиномов v(ri, p) и w(r2, p). В частности, при v(ri, p) = w(r2, p) второе слагаемое в (10) обратится в ноль и корни полинома (10) гарантированно будут находиться внутри S. Замечание. Существование регулятора заданного порядка l (l < n - 1), для которого гарантированно выполняется целевое условие (4), не доказано, поэтому после расчета регулятора по схеме (5)-(9) необходимо проверить выполнение условия (4). В том случае, если условие (4) для замкнутой системы не выполняется, рекомендуется: 1) попробовать выбрать другой характеристический полином эталона aet (выбор полинома aet ограничен условием (8)); 2) повысить порядок l регулятора, для этого часть корней полиномов структурных возмущений следует отнести к полиномам доминирующей динамики. Очевидно, что описанная процедура позволит найти модальный регулятор пониженного порядка (если он существует) или приведет к модальному регулятору полного порядка. 2. Пример синтеза модального регулятора пониженного порядка Объект управления задан дифференциальным уравнением а(3, р)у()= Ъ(2, р)и(), (11) где а(3, р)=(я + 21)(s + 3)(s - 2) = р3 + 22р2 +15р -126 , Ъ(2, р) = 1о(5 + 2о)(s + 6) = 1ор2 + 2бор + 12оо . 15 А.Н. Паршуков Требования к качеству управления замкнутой системой заданы в виде области S = {5: ц2 ( aet 3 a0 (1253 A - а[ - br - br0 - 1 - 9,5 - 57,1 , b - a?' - ar0 - 81 аГ 0 V 2 - bJ V 1 0 - 9,5 J af - a[ J V 14 J а x = фо; ао; аі)т - вектор коэффициентов регулятора (15). Решая систему уравнений (16), получаем x - (б,00; - 2,82; - 0,85)T . Таким образом, регулятор пониженного порядка (17) й (t) + 6,00и (7) = -2,82у (t) - 0,85у (t) + %0g (t) . После замыкания исходного объекта управления (14) регулятором (17) получим следующий характеристический полином замкнутой системы ac■1 (4, s) - 0,047 s 4 +1,713 s3 +18,21 s2 + 78,56 s +123,9, или, в унитарном виде, ac*(4, s) - s4 + 36,42 s3 + 394,3 s2 +1710 s + 2628 . Корни характеристического уравнения замкнутой системы 5і,2 = -4,61 ± j 0,55, 53 = -5,67, 54 = -21,5 лежат внутри заданной области S. Корневые показатели качества замкнутой системы п = 4,61, Z = 0,12 несколько лучше заданных допустимых значений п = 2, Z1 = 1. t Рис. 2. Переходные процессы в замкнутых системах: график 1 соответствует регулятору полного порядка, график 2 - регулятору сокращенного порядка Fig. 2. Transients in closed systems: graph 1 corresponds to a full-order regulator, graph 2 to a reduced-order regulator На рис. 2 показаны переходные процессы в замкнутых системах. Для первого графика перерегулирование о = 0%, время реакции tp = 1,5, для второго - о = 17,5% и tp = 1,5. Заключение В статье разработан метод обоснованного понижения порядка модального регулятора. Данный метод опирается на разделение мод объекта управления по отношению к цели управления на «доми-17 А.Н. Паршуков нирующую динамику» (подлежащую регулированию) и «структурные возмущения» (уже удовлетворяющие цели управления и поэтому не учитываемые при синтезе регулятора). Расчет модального регулятора пониженного порядка сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, что позволяет реализовать его на ЭВМ. Эффективность метода проиллюстрирована примером. Предложенный в настоящей работе подход к понижению порядка одномерного регулятора допускает обобщение и на многомерный случай.

Скачать электронную версию публикации