Asymptotic analysis of the operating time of a system with unreliable interchangeable elements and recovery device under.pdf Одной из основных задач теории надежности является учет влияния отказов и сбоев компонент технических комплексов на эффективность работы всей системы. В частности, широкое распространение имеют функциональные системы, в которых есть как рабочие компоненты, так и компоненты, отвечающие за восстановление последних. Для такого рода моделей известны публикации, в которых рассматривается система с несколькими одинаковыми элементами, когда в каждый момент времени работает группа элементов [1] или один элемент, а другие находятся в холодном резерве или восстанавливаются [2-4]. Зачастую для определения нестационарных характеристик системы вводится марковский процесс, выписываются его уравнения Колмогорова и далее проводится их анализ [5, 6]. В подобном методе иногда можно значительно упростить нахождение искомой характеристики, установив некоторые ограничения для марковского процесса, как это выполнено, например, в работе [7]. Также характеристики системы можно определить с помощью методов имитационного моделирования [8]. Наконец, отметим: в силу того, что реальные технические комплексы должны быть устойчивыми к отказам, немаловажной задачей является вопрос предельной надежности резервированных систем, в частности, когда время работы их элементов больше времени восстановления [9, 10]. В данной работе мы рассмотрим модель системы с холодным резервом в условиях ее высокой надежности, а именно систему с n одинаковыми элементами и надежным восстанавливающим прибором при условии быстрого ремонта элемента. Установлено, что при соответствующей нормировке при увеличении скорости восстановления элемента распределение времени жизни системы сходится к экспоненциальному. Аналогичный результат был получен в работе [11], однако там распределения как времени работы, так и времени восстановления элемента полагались экспоненциальным; в настоящей работе только время восстановления элемента считается экспоненциальным, время работы элемента имеет произвольное непрерывное распределение. 1. Постановка задачи и математическая модель В работе рассматривается система, состоящая из n одинаковых элементов, в которой в каждый момент времени работает только один элемент, называемый основным, а остальные находятся в хо-41 Э.А. Головастова лодном резерве. Основной элемент может выйти из стоя, и тогда его сразу же заменяет любой резервный; отказавший элемент при этом немедленно отправляется восстанавливаться на прибор, который полагается надежным. Система выходит из строя в момент, когда все n элементов становятся неработоспособными. Также мы предполагаем, что время восстановления сломанного элемента £ имеет экспоненциальное распределение с параметром ц, а время работы элемента п имеет распределение общего вида -G(t) (G(t) - непрерывная функция для t > 0, у которой все моменты являются конечными). В частности, пусть En = b < да. Считаем, что все случайные величины, задающие систему, взаимно независимы. Цель работы - получение соотношений для функции распределения времени безотказной работы системы, а также ее асимптотики при условии быстрого восстановления элемента. Обозначим через т, - время до выхода из строя всей системы, если на момент начала ее работы имеется j неработоспособных элементов, j = 0, 1, 2, ... , n - 1. Также пусть m(0) - число неисправных элементов на момент начала работы первого основного элемента, ^(п) - число восстановленных элементов за п - промежуток времени работы первого основного элемента. Так как время ремонта элементов имеет экспоненциальное распределение, то, если бы на момент начала работы системы число неисправных элементов было сколь угодно велико, число восстановленных элементов за время п равнялось бы числу требований пуассоновского потока интенсивности ц, пришедших за время п. В соответствии с этим имеем условные вероятности: Р(С(п) = k | m(0) = j; л) = e-^ ^, к = 0,1,2,..., j-1, j = 1,2,...,n -1; к! P(C(n) = j I m(0) = j; л) = 1 -^e~m (1) к"0 к! Мы рассматриваем систему при условии быстрого восстановления отказавших элементов. Это означает, что 1/E£ = ц ^ да. Это также означает, что при ц ^ да имеет место следующая сходимость: /•ад P(E, > n) = [ е“^ dG(t) = в(ц) ^ 0 . (2) J 0 Далее покажем, что при ц ^ да для любого j = 0, 1, 2, ... , n - 1 выполнено условие t P(B(|a)n-1 тj > t) ^ е *. (3) Для краткости мы в дальнейшем иногда будем опускать в записи е(ц) зависимость от аргумента и писать просто е. По определению полагаем, что fx) ~ g(x) при x ^ а, если lim x ^ afx)/g(x) = 1. 2. Распределение времени безотказной работы системы Для определения времени безотказной работы системы мы используем метод, рассмотренный в работе [7]. То есть представим время работы системы как сумму промежутка времени работы первого основного элемента и оставшегося времени жизни системы. Тогда общее время безотказной работы системы определяется следующими стохастическими уравнениями (здесь n > 2 ): то =П + ті, т1 = (n + т1) ДС(п) =1 + (n + т2) /(C(n) = 0), j-1 Tj = (n + тj) I(C(n) = j) + X(n + тj+1-k)I(C(n) = к), 1 < j < n -1, к=0 n-2 Tn-i = (n + Tn-i) 1 (C(n) = n -1) + X(n+тп-к) 1 (C(n) = к) + n1 (C(n) = 0) =, к=1 где I(A) = 1, I(A) = 0 - индикатор события А. Выполнив преобразование Лапласа-Стилтьеса от обеих частей равенства в предыдущих соотношениях, с учетом (1) получим следующую линейную алгебраическую систему уравнений: 42 Асимптотический анализ времени работы системы с ненадежными резервными элементами где: Ф j СО = ФоО) = g(^) ФіО) , Фі(^) = (g (s) - go(s)M(s) + Ф2 (s) go(s), ' j-1 Л j-1 g (s) - X gk (s) Ф1СО + X gk (s)Фj+1-k (s), 1 < j < n - 1, у k=0 / k=0 n-2 n-2 (4) Фп- 1(s) = g(s) - X gk (s) Ф1СО + X gk OK-k (s) + go(s): k=0 k=1 о о Ф (s) = Ee-sTj, g (s) =f e~sxdG(x), go(s) =f e-(s+v)x dG(x), ( ( gj (s) = Г e-( s+ц) x ^ dG( x), j = 1,2,..., n - 2. 0 j! Jo j! Таким образом, условие (3) эквивалентно следующему условию сходимости: Ф(8(Ц)П-1 s) ^ 1 1 + bs (5) при ц ^ да и для любого j = 0, 1, 2, ..., n - 1. Также, учитывая (2), при ц ^ да получим g (вп-1 s)~1 - в"-1 bs. (6) g0 (вп :s) ~ в - вп 1s f xe dG(x) = в - вп !s y0 (ц) , 0 gj(вп-10~gj(0) - впЛ£ xe-v* dG(x) = gj(0) - впЛу,,(ц) j = 1,2,.,п - 2. Отметим также, что gj(0) = gj(ц,0) ^ 0, j = 1,2,.,п - 2; У j = У j (ц) ^ 0, j = 0,1,2,., п - 2 при ц ^ да. 3. Асимптотический анализ времени безотказной работы системы в предположении ее высокой надежности Для двух элементов в рассматриваемой системе имеем следующий аналог соотношений (4) для уравнений преобразований Лапласа-Стилтьеса распределения ее времени работы: ФоСО = g(s) ФіСО, Ф1(s) = (g(s) - go (s))Фl (s) + go (s). Тогда Ф1 (s) = ■ , ФоОО = g (s) Ф10»). go(s) 1 - g (s) + go(s) Поэтому, используя (6), получаем, что при ц ^ да g(вs) ~1 - вbs, gtOO 00 Уо ~ в. Таким образом, следует, что функции фо(&?) и фі(&у) стремятся к 1/(1 + bs) при ц ^ да, и (5) верно для двух элементов в системе. Далее, при n > 2 и ц ^ да имеем g(вп-1s) ~1 - вп-1sb. Фо(вп-1s) Ф1(вп-1s) Фо(вп-1s) Ф1(вп-1s) 43 Э.А. Головастова То есть фо(в”"; 5) ~ фі(в”_і 5). Далее в целях представления рассуждений в более компактном и понятном виде мы иногда будем опускать зависимость от аргумента s”-1s в записи функций ф;(5). Разделив второе уравнение в (4) на фі, получим 1 = (g - go) + - go. Ф1 При ц ^ да, используя (6), справедливо следующее асимптотическое равенство: 1 ~ 1 - sn-1sb - S + вп-^у0 + -(в - вn-1sy0) . Фі ’ Оставляя в последнем выражении наиболее медленно убывающие по s слагаемые, получаем ф2~1 + вп-2sb . Ф1 То есть ф2 ~ фі и ф2 ~ фі(1 + sn-2 sb). Для 2 < j < n - 1, повторяя ту же самую процедуру, получаем Ф- - = ( g - go - g1 -“--gj-1 ) + Фі ’ Снова, переходя в последнем равенстве к асимптотической эквивалентности, используя (6), мы, оставляя наиболее медленно убывающие по s слагаемые, получаем 1 + sn-Jsb ~1 - в + g (0) х sn-J sb + (в - s”-1sy0), Ф1 Ф^1~1 + вп-]-1sb. Ф1 То есть ф,-+і ~ фі и ф,-+1 ~ фі х (1 + sn-j-1 sb). В частности, фп-і ~ фі и фп-і ~ фі х (1 + ssb). Таким образом, при ц ^ да справедливы соотношения: фк^п-і s) ~ фо^п-і s), к = і, 2, ... , п - і, и фj ~ фі х (1 + sn-j sb), j = 2, ... , п - і. В практическом отношении это означает, что при условии быстрого ремонта функция распределения времени жизни системы не зависит от числа неисправных элементов на момент начала ее работы. Однако эта функция распределения при увеличении скорости восстановления элементов сходится тем медленнее к предельному распределению, чем больше отказавших элементов на момент начала работы системы. Разделим последнее уравнение системы (4) на фі. Тогда с учетом последнего результата, оставив самые медленно убывающие по s слагаемые в асимптотическом равенстве, мы получим ф х (1 + ssb) ~ ф х (1 -в+ssb х g(0)) + (в -sn-1sy0), Ф х (в + ssb -ssb х g (0)) ~ в х (1 -вп-2sy0). Итак, фі^^ s) ~ і/(і + bs), когда ц ^ да, и, принимая во внимание полученные ранее соотношения, утверждение (5) также верно для любого п > 2. 4. Пример численного анализа В этом разделе приведем результаты применения выводов проведенного теоретического исследования для конкретного примера, а именно: в условиях рассмотренной системы положим п = 4; в качестве распределения времени работы элемента возьмем распределение Эрланга с параметрами к = 6, Ѳ = 1/6, (т.е. здесь b = і). Тогда, получив по формулам (4) выражения для преобразования Лапласа-Стилтьеса функций распределения времени жизни системы, построим их графики для различных значений параметра ц (рис. 1-4). 44 (Tl'S) °Ф [ТІ'5)ТФ Асимптотический анализ времени работы системы с ненадежными резервными элементами Рис. 1. Визуализация сходимости функции фѳ(і) при значениях параметра ц е {3, 5, 10, 15, 20} к (1 + s) 1 Fig. 1. Visualization of the convergence of the function фо^) to (1 + s)-1 when ц е {3, 5, 10, 15, 20} -ц=3 -ц=5 -ц=10 - |і=15 - ц=20 -l/(l+s) s Рис. 2. Визуализация сходимости функции ф1^) при значениях параметра ц = 3, 5, 10, 15, 20 к (1 + s) 1 Fig. 2. Visualization of the convergence of the function ф1^) to (1 + s)-1 when ц е {3, 5, 10, 15, 20} 45 Э.А. Головастова

Скачать электронную версию публикации