Control of a robot manipulator in conditions of uncertainty.pdf В настоящее время существует большое количество различных типов подвижных роботов, или манипуляционных систем (экскаваторы, погрузчики, бурильные установки и пр.). Несмотря на возрастающее число работ в направлении создания систем управления для существующих моделей манипуляторов, имеется ряд не вполне решенных вопросов: невысокая точность следящего управления; сложность технической реализации системы управления с учетом вопросов устойчивости и т.п. Теоретические вопросы управления подобными устройствами наиболее подробно изложены в [1-4]. Среди подвижных роботов выделяются трехзвенные роботы-манипуляторы, состоящие из трех звеньев: стрела, рукоять и исполнительный механизм, соединенных между собой шарнирными механизмами. Наиболее подробно математическая теория управления подобными роботами изложена в [5-12]. В [5-8] для управления роботами предложено использовать так называемые скользящие режимы [13], что приводит к определенным вычислительным трудностям. В [14] авторами в предположении, что все координаты и параметры робота доступны измерениям или вычислениям, предложен новый и достаточно простой аналитический метод построения законов управления для рассматриваемых трехзвенных роботов-манипуляторов. Получено решение задачи перевода исполнительного механизма из одного неподвижного положения в другое неподвижное положение, и решена задача планировки - равномерного движения исполнительного механизма манипулятора вдоль заданной горизонтальной поверхности. Настоящая работа является продолжением [14]. Здесь рассматривается задача, когда в математической модели робота имеются какие-то неизвестные параметры. Для определенности в качестве робота выступает экскаватор, а исполнительным механизмом является ковш. Неизвестный параметр -масса зачерпнутого ковшом грунта. 1. Схема робота-манипулятора Схема робота-манипулятора приведена на рис. 1. Здесь 0А - стрела, АВ - рукоять, ВС - исполнительный механизм (ковш). В точках 0, А и В расположены шарнирные механизмы, которые выполняют поворот звеньев. Параметры робота: І1, І2, Із - длины звеньев 0А, АВ, ВС соответственно, ш\\, m2, 4 Управление роботом-манипулятором в условиях неопределенности тз - массы звеньев. Конфигурация (состояние) робота однозначно определяется углами между звеньями а, в, у или координатами точек A(xi, yi), В(х2, у2), С(хз, уз). Между этими величинами есть однозначное соответствие (см. Приложение 1). Рис. 1. Схема робота-манипулятора Fig. 1. Robot manipulator diagram Массу зачерпнутого ковшом грунта обозначим через т4. Она является неизвестной величиной. Представим ее в виде т4 = qm0, где т0 - максимальная масса грунта, которую может зачерпнуть ковш, q - неизвестная константа, лежащая в интервале 0 < q < 1. 2. Уравнения движения Для краткости введем обозначения: Фт = [аДу]т, zт = [ X!,х2,Хз,yl,y2,Уз]т. Вращательное движение звеньев вокруг точек О, А и В описывается уравнениями Здф,=м,-ед, /=і,2,з, (і) где Мк - управляющие моменты, Jk - моменты инерции, Rk - весовые моменты (произведение веса тела на плечо - проекцию центра тяжести звена на ось 0Х). Конкретный вид этих величин с учетом массы грунта приведен в Приложении 2, здесь их удобно рассмотреть в виде: R (z, q) = R (z) + qAR(z), / (z, q) = J. (z) + qAJ(z), /=1,2,3. В результате уравнения (1) переписываются в виде: (J,(z) + qA/,(z))(p, =МІ -11 (z) - qAll(z). /=1,2,3, или Если q Mi-Ri(z)-qARi(z) (Ji(z) + qAJi(z)) ’ /=1,2,3. 0, то получаем уравнения Ф, = J7{z) /=1,2,3, (2) (3) которые описывают движение экскаватора при отсутствии грунта. Задача 1. Определенная задача. На интервале времени (0, tK) найти такие управляющие моменты Мі, при которых система (3) из начального неподвижного состояния ф(0) = ф0, ф(0) = 0, (4) переходит в другое неподвижное состояние ф(0 = ф\\ Ф(О = 0- (5) Решение этой задачи получено в [14] и состоит в том, что в (3) делается замена M = J.u. + R , /=1,2,3, (6) где и = [//і, //2, //з]т - новые управления. Тогда из (3) получаем уравнения Ф, =Щ, г =1,2,3. (7) 5 Ю.И. Параев, С.И. Колесникова, С.А. Цветницкая В (7) на интервале времени (0, tK) программное управление ui, иг, из выбирается так, чтобы система (7) из начального неподвижного состояния (4) переходила в другое неподвижное состояние (5). Решение этой задачи приведено в Приложении 3. Если q > 0, то получается неопределенная задача, когда в уравнения входит неизвестная константа. Кроме того, чтобы система оказалась в неподвижном состоянии, необходимо, как следует из (2), выполнение равенства M,= R(z) + qAR(z), i=1,2,3, (8) в которое входит неизвестная величина q. Задача 2. Неопределенная задача. Для системы (2) на интервале времени (0, tK) найти такие управляющие моменты Мі, при которых система из начального неподвижного состояния (4) переходит в другое неподвижное состояние (5) или в его некоторую окрестность. 3. Решение задачи 2 В (2) сделаем замену Mi = Ji (z)(Ui + АЫі ) + Ri (z), i = 1,2,3, (9) где Ui - программное управление из определенной задачи, Ди- - какая-то новая управляющая добавка. В результате получаем ./, (z)(ui + Ли,.) - qARi (z) Ф,=- J, (z) + qAJ, (z) ■ = u, + Au, -qh,(z,q), i=1,2,3, (10) где h, (z, q) = i=1,2,3. AJ (z)(u + Au ) + AR (z) Ji (z) + qAJ, (z) Решение уравнения (10) отличается от решения задачи 1. Введем отклонения АФ, (t) = Ф, (t) - Ф* (t), i = 1,2,3, где ф,.^) - решение задачи 1, т.е. ф*(t) удовлетворяет уравнению (7), а также начальным и конечным условиям (4) и (5). Вычитая (7) из (10), получаем Аф,- = Ли, _ Jhi( 0. Если в качестве многочлена Д(Х) взять биноминальный многочлен Д(Х) = ^3 + 3юА? + 3ю2^ + ю3, где ю - параметр, определяющий степень затухания, то получаем d = 3ю, к = -3ю2, к2 = 8ю3. 7 Ю.И. Параев, С.И. Колесникова, С.А. Цветницкая Отсюда 3 лФст = 2 яК Пст = °. ю При больших значениях ю и при достаточно большом интервале времени (0, tK) значение Дфст становится достаточно малым, и скорость его изменения стремится к нулю. Аналогичный результат получается, если в качестве многочлена Д(^) взять многочлен Баттер-ворда [15] Л(А,) = Х3+23, где ю - параметр, определяющий степень затухания. В этом случае получаем d = 2ю, k = -2ю2, k2 = 3ю3. Отсюда 2 ЛФсг = 2 ?Мст = ° , ю и при большом ю значение Дфст становится достаточно малым. Окончательное решение задачи 2 состоит в том, что управляющие моменты Мі вычисляются согласно (9), где Ui - программное управление для определенной задачи (П2), Ди(7) определено в (14). При этом предполагается, что все координаты z(t) доступны измерению, поэтому величины Ji(z) и Ri(z) могут быть вычислены по формулам из Приложения 2. 5. Моделирование Для простоты будем предполагать, что плотность звеньев постоянна и их центры тяжести совпадают с геометрическими центрам. Это позволяет для вычисления моментов инерции и весовых моментов использовать формулы из Приложения 2. Исходные данные: длины звеньев: h = 5 м, І2 = 3 м, Із = 1,5 м; массы звеньев: ш\\ = 500 кг, m2 = 300 кг, тз = 100 кг, то = 200 кг. Начальное состояние ковша определяется координатами Х2 = 4; j2 = 0,1; хз = 5,5; уз = 0,1. (17) Конечное состояние ковша определяется координатами х2 = 6; у2 = 2,5; хз = 7,5; уз = 2,5. (18) С помощью формулы (П1) можно вычислить, что начальному состоянию (17) соответствуют значения х1 = з,924, у1 = 3,1 и начальные значения углов ф(0) = [0,6685 0,9277 1,5962]. Аналогично конечному состоянию (18) соответствуют значения х1 = з,924, у1 = 3,1 и конечные значения углов ф(к = [0,8546 1,8494 2,78з9] . На рис. 3 приведены результаты моделирования перевода ковша из начального состояния в конечное. Кривые 4 и 1 соответствует начальному и заданному конечному положению робота, кривые 3 и 2 - траектории передвижения за счет программного управления и совместного применения программного управления и ПИД-регулятора соответственно. Из рис. 3 следует, что использование ПИД-регулятора существенно улучшает результат управления. Рис. 3. Перевод ковша из начального состояния в конечное: a - q = 0,5; b - q = 1 Fig. з. Transfer of the bucket from the initial state to the final state: a - q = 0,5; b - q = 1 8 Управление роботом-манипулятором в условиях неопределенности a b Рис. 4. Переходные процессы для отклонения Дф(Г) Fig. 4. Transients for deviation Дф(і) На рис. 4 приведены переходные процессы для отклонения Дф(0 для разных значений коэффициентов затухания ю. На рис. 4, а коэффициенты регулятора (14) выбираются на основании биноминального многочлена, на рис. 4, b - на основании многочлена Баттерворда. В первом случае получаем апериодический процесс, во втором случае - колебательный процесс. Из рис. 4 следует, что с увеличением коэффициента затухания ю конечное значение Дф(^) убывает. Заключение Решена задача перевода ковша экскаватора из одного неподвижного положения в другое неподвижное в условиях неопределенности. Неизвестным параметром здесь является масса зачерпнутого ковшом грунта. Решением задачи является управление, состоящее из суммы программного управления, получающегося в результате решении задачи при отсутствии неизвестного грунта, и выхода ПИД-регулятора. Приведены результаты численного моделирования. Предложенный подход к решению задач управления роботами-манипуляторами можно распространить на другие виды неопределенностей: неточное измерение текущих координат звеньев, воздействие внешних случайных воздействий. Приложение 1 Соотношения между углами и координатами Если заданы углы а, в, у, то '2 X = l cos(a), y = lsin(a), x2 = x -12cos(a+P), y2 = y -12sin(a+P ), x3 = x +13 cos(a+P-y), y = y2 +13 sin(a+P-y). Если заданы координаты точек А(хі, уі), В(х2, ут), С(хз, уз), то a = arcsin(y /1), P = 'An - a + arccos((y - y2) / Z2), Y = a+P - arcsin ((y3 - y2)/13). Если задано положение третьего звена, т.е. заданы координаты точек В(х2, ут) и С(хз, уз), то для построения всей конфигурации робота нужно найти координаты точки А(хі, уі). Она является точкой пересечения двух окружностей: одна с центром в точке 0 и радиусом Іі, другая с центром в точке В и радиусом І2. Как показано в [14], координаты точки А(хі, уі) равны x2 L 2 где (П1) 9 Ю.И. Параев, С.И. Колесникова, С.А. Цветницкая Приложение 2 Моменты инерции и весовые моменты Если центры масс звеньев и грунта расположены в точках a(xi',yi'), b(x2, уг), с(хз',ys'), d(x4', у4') (см. рис. 1), то R (z) = gmx + gm2 x'2 + gm3 x3 + gm4 x'4, R2(z) = gm2(x2 - %) + gm3(x3 - %) + gm4(x4 - %), R3(z) = gm3(x3 - X2) + gm4(x4 - X2), где g - ускорение силы тяжести. Если допустить, что плотность звеньев постоянна, то моменты инерции - произведения массы тела на квадрат расстояния между осью вращения и центром тяжести тела согласно теореме о среднем равны ч2( х2 J (z) = m (у2 + у2) + m2( x22 + у22) + m3( x32 + у32) + m4( x2 + у42), j2 (z) = m2 ((x2 - % )2+(у2 - у )2)+m3 ((x3 - % )2+(у3 - у )2)+m4 ((x4 - % )2+(у4 - у )2), J3(z) = m3 ((x3 - X2)2 + (у3 -У2)2) + m4 ((x4 - X2)2 + (у4 -У2)2). Если представить m4 = qmo, то эти выражения удобно переписать в виде: R (z q)=Ri(z) + яЩ(z) Ji (z q) = Ji(z)+qAJi (z) 1=i,2,3, где R (z) = gm x + gm2 x2 + gm3 x3, AR (z) = gm0 x4, R2 (z) = gm2(x2 - X) + gm3 (x3 - %), AR2 (z) = gmo(x4 - %), R3 (z) = gm3(x3 - %2), AR3 (z) = gmo('4 - '2), и Ji (z) = mi (xi2 + yl2) + m2 (x22 + у22) + m3 (x32 + у32), J2 (z) = m2 ((x2 - % )2 + (y2 - Уі )2 ) + m3 ((x3 - % )2 + (y3 - Уі )2 ), J3(z) = m3 ((x3 - х2)2 + (y3 -У2)2), AJi(z) = mo( x42 + y42), AJ2 (z) = mo ((x4 - % )2 + (y4 - Уі )2), AJ3(z) = mo ((x4 - %2)2 + (y4 -У2)2). Приложение 3 Решение задачи 1 Чтобы перевести систему из одного неподвижного состояния в другое неподвижное состояние, необходимо, чтобы скорость движения сначала увеличивалась, а затем убывала до нуля. Поэтому ускорение должно быть сначала положительным, а затем отрицательным, или наоборот, в зависимости от того, в какую сторону происходит движение. В (7) ускорение равно управлению, поэтому управление можно взять в виде: ui (t) у. -у. для 0 < t < t, для ti

Скачать электронную версию публикации