Finite-difference method for solving non-stationary problems of convection-diffusion control.pdf Задача оптимального размещения источников тепла в отапливаемых помещениях всегда была актуальной в строительстве, металлургии, проектировании теплиц и других областях техники и технологий. В работе [1] предложено решение задачи оптимального размещения источников в неоднородных средах, скалярные стационарные поля в которых описываются эллиптическими уравнениями. В основу алгоритмов решения задачи положены способы оценки значений функционала на множестве возможных мест размещения источников, что дает возможность выбора оптимального варианта путем реализации метода ветвей и границ. В [2] рассмотрены задачи оптимального нагрева помещения на основе принципа максимума Понтрягина. Работа [3] посвящена задаче энергоэффективного теплоснабжения здания в системе центрального отопления. В [4] исследована дифференциальноразностная задача управления процессом диффузии, получен аналог принципа максимума, позволяющий определить моменты включения и выключения источника максимальной мощности. В работах [5, 6] разработаны метод и алгоритм решения нестационарный задачи об оптимальном выборе плотности источников тепла на простых геометрических областях так, чтобы температура внутри рассматриваемой области находилась в заданных пределах. При этом источники тепла обеспечивали заданный температурный режим минимальной суммарной мощности и температуру в заданном коридоре, заполненном однородной или неоднородной средой. В работе [7] рассмотрена краевая задача параболического типа. Распределение тепла в рассматриваемом теле контролируется функцией, которая находится на границе тела. В работе [8] численно решается уравнение конвекции-диффузии в двумерной геометрии для моделирования теплопередачи. Проведено тестирование и получены результаты для случаев граничных условий трех типов. Отметим, также, что в [9-11] рассмотрены численные схемы с явным конвективным и неявным диффузионным переносом. В данной работе исследуется задача управления конвекцией-диффузией на основе оптимизации линейного целевого функционала с учетом ограничений, которая решается на основе аппроксимации и сведения к задаче линейного программирования. Предлагаются методика и алгоритм решения нестационарной задачи поддержания температуры внутри области в заданных пределах путем оптимального размещения источников тепла в стержне. Для проведения вычислительных экспериментов разработано программное обеспечение. 45 Б.Х. Хайиткулов 1. Постановка задачи и ее конечномерная аппроксимация Пусть D = {a < x < b, 0 < t < T} - прямоугольник. Требуется определить функцию f (x,t) > 0, доставляющую при каждом t е [0, T] минимум линейному функционалу b J{f} = 1 f (x, t)dx ^ min (1) a при следующих условиях: 6u / ч d2u . .бы ^ - = г(х)-2 - v( xb- + f(x, t), a < x < b, 0 < t < T, б 6x 6x u(x,0) - U0 (x), a < x < b, (2) u(a, t) = ^(t), u(b, t) = ^2(t), 0 < t < T, m(x, t) < u(x, t) 0 - коэффициент температуропроводности диффузии; v(x) - компоненты скорости конвекции; f (x,t) - плотность источников тепла; u0(x), ^(t), ц2(t), m(x,t) , M(x,t) - заданные непрерывные функции, удовлетворяющие условиям сопряжения цх(0) = u0(a) , ц2(0) = u0(b). Функции m(x,t) ,M(x,t) имеют смысл функций минимального и максимального профиля температуры в области D соответственно. Плотность источников тепла описывается квадратично интегрируемой функцией f (x, t) в пространстве L2 (D). В такой математической постановке данная задача на равномерной сетке решается методом конечных разностей. Далее условия (2) заменяются на конечно-разностные аналоги, при этом используется неявная схема. Введем в D равномерную по обеим переменным разностную сетку ahx = ah хюх = {(xt, tj): xt = ih , tj = j x , i = 0,1,..., N1, j = 0,1,..., N22 сшагами h = (b - a)/N1, x = T / N2. Неявная разностная схема для задачи (2) имеет вид [10]: ,J+1 uJ: +1 - uJ: ■=li j - 2uj+1 + uj-11 ^, uІ++1 - ui-11 x - h2 i = 1,2,.,N1 -1, j = 0,1,.,N2 -1, 0, m(x, t) < (Gf)(x, t)

Скачать электронную версию публикации