Estimation of the probability density parameters of the interval duration between events in generalized MAP with two sta.pdf Рассматривается обобщенный МАР-поток событий с n состояниями, относящийся к классу дважды стохастических потоков событий [1-3]. Изучаемый поток представляет собой адекватную математическую модель реальных потоков случайных событий в телекоммуникационных системах, спутниковых сетях связи и глобальных компьютерных сетях; сопровождающий процесс исследуемого потока есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным числом состояний [4-7]. При анализе дважды стохастических потоков событий выделяют два основных раздела задач, базой для которых служат моменты времени наступления событий в потоке: 1) оценивание состояний потока событий [8-11]; 2) оценивание параметров потока [12-15]. Задача, решаемая в настоящей статье, относится ко второму классу задач. В данной работе исследуется обобщенный МАР-поток событий с произвольным числом состояний. Находится явный вид плотности вероятности значений длительности интервала между моментами наступления событий потока [16]. Приводятся численные результаты оценивания параметров плотности вероятности значений длительности интервала между моментами наступления соседних событий исследуемого потока. Статья является непосредственным развитием работ [17, 18]. 1. Постановка задачи Исследуется обобщенный MAP-поток событий с произвольным числом состояний (далее -поток), функционирующий в установившемся стационарном режиме. Сопровождающий случайный процесс X(t) изучаемого потока представляет собой кусочно-постоянный принципиально ненаблюдаемый процесс с n состояниями: S, ..., Sn. Полагается, что при X(t) = у имеет место 7-е состояние (S), i = 1, n , процесса A.(t). При этом > У > ... > У > °. Функция распределения случайной величины - длительности пребывания процесса X(t) в состоянии S - является экспоненциальной: F (t) = 1 - e ^, t > 0, i = 1, n . В момент окончания 62 Оценка параметров плотности вероятности значений длительности интервала состояния S процесс 1(f) переходит из состояния S2 в состояние S. с вероятностью Рх (1.|1;) с наступлением события потока или с вероятностью Р0(1.|1г.) без наступления события потока, i, j = 1, n . Отметим, что для введенных вероятностей справедливо 2P0 (x ■ |x. n j=1 j=i Замечание 1. Введение вероятности Р0(1г|1г) ф 0, i = 1,n, перехода процесса 1(f) из состояния S в состояние S без наступления события приводит к обобщению классического МАР-потока с произвольным числом состояний. Утверждение. Для обобщенного МАР-потока событий с n состояниями процесс 1(f) является скрытым марковским процессом. Блочная матрица инфинитезимальных характеристик [19] процесса 1(f) имеет вид D = ||D0 |Dj ||, где D, ѴАІѴ x/^lxp X2Pi=Z^,- (0)£ Ри СО, т ^ °> (1) i=1 j=1 где п(0) - условная стационарная вероятность того, что процесс X(t) в момент времени т = 0 находится в состоянии S при условии, что в момент времени т = 0 событие потока наступило, i = 1, 2; П (0) + п(0) = 1; пусть Ру(т) - условная вероятность того, что на интервале (0, т) нет событий потока и в момент времени т значение процесса Ц(т) = Ц при условии, что в момент времени т = 0 значение процесса X(0) = Ц, и событие потока в момент времени т = 0 наступило, i, j = 1, 2; р~.(т) - соответствующая вероятности р(т) плотность вероятности, i, j = 1, 2. Для введенных величин справедливы следующие леммы. Лемма 1. Условные вероятности р(т), i, j = 1, 2, в обобщенном MAP-потоке событий имеют вид: Рп(т) 1 Z2 - Z1 {к І1 - Р,(Ч| ^2))-Z ] e z, X [Л i1 - Р0(Х2\\х2))-Z2 ]е-Z2x} ,, ^ {-Z,X -Z2X\\ Pi2(x) =-!- {e 1 - e 2 } Z2 - Z1 P=,(’) = т^т {[Л (1 - №1 K>)- zje -zX - [X (1 - Ѵ-1ІV)- z2]e Z2X}, Z2 - z1 (2) (X) =М22ІЫ { e-V- e-Z2X}, Z2 - Z1 где z12 = 4 - PA М+Ч (1 - Po(X2Iх,)) Wo 2 D = [*1 ( -Ро(І1 |y))-X2( -PQ.21X2))]2 + 2po(X2ІWX |X2), 0 0, то р. определяются в виде: да (8) Pj =1 ~(%)dx , i, j = 1 2. 0 Подставляя (4) в (8), находим Ріі = P(X1 |Xl)(l - Po(X 2 Iх ,))+ Po(X 2 |Х,)Р(Х, Iх,) (1 - Ро(Х1 Iх,))!1 - Ро(Х 2 |Х ,))-Р„(Х, |Х =)Р,(Х 2 Iх,) Pl2 = Р(х 2 |х,)(і - Ро(х 2 |х 2 ))+ Ро(х 2 Iх,) Р№ 2 |х 2) P21 =- ( - Р0 (х, |х, Ж - Р0 (х2 Iх2 ))- Р,(х, |х 2 )P0 (х2 Iх, ) Р(х1 Iх 2)^ - Р0(х, |х,))+ Р0(х, Iх 2 )Р (х, Iх,) Р’(^Гр0(х^х:))-р0(х]х:)р0(х:к') Р(х 2 Iх - Р0(х, |х,))+ Р0(х, Iх 2 )Р (х 21х,) (9) + P , ' 2 | 2 ' \\ 0 ' , | / = (! - Ро(х, Iх, ))(l - р0 (х2Iх2 ))- р0 (х, Iх2 )Ро(х2 Iх, ) ' В результате подстановки (9) в (7) и с учетом условия нормировки р (0) + л2 (0) = 1, приходим к (6). Лемма 3 доказана. Леммы 2 и 3 позволяют сформулировать следующую теорему. Теорема. В обобщенном MAP-потоке плотность вероятности длительности интервала между соседними событиями имеет вид: р(х) = у^е^ + ^ - y)z£z%, т > ° х^^р^, х,)+р(х2| х,) j - х2я2 (0)[р (х, х2)+р,(х2| х2)| у = - Z2 -х (10) z-z 2 , где zt определены в (2), лг(0) - в (6), i = 1, 2. Доказательство. Подставляя в (1) сначала (4), а затем явные выражения (6) для лг(0), i = 1, 2, осуществляя необходимые преобразования, приходим к (10). Теорема доказана. Замечание 2. Полагая в (10) вероятности Р0(ЦЦ) = 0, i, j =,n , F1 (Ц|Ц) = p, F1 (ЦЦ) = q, приходим к виду плотности распределения для синхронного потока [18], являющегося частным случаем рассматриваемого обобщенного MAP-потока событий: р(х) = ух,е~Ѵ + ^-у)х2е~Хі%, х>0, У = q , х, >х 2, 0 < p

Скачать электронную версию публикации