Asymptotic-diffusion analysis of retrial queue with two-way communication and unreliable server.pdf В настоящее время системы массового обслуживания с повторными обращениями к прибору (RQ-системы) являются очень популярными математическими моделями различных реальных телекоммуникационных и сервисных систем. Такие системы характеризуются тем, что поступившая в систему заявка в случае занятости сервера обслуживанием другой заявки не теряется, а отправляется на орбиту и после случайной задержки пытается вновь занять прибор. С ранними исследованиями RQ-систем можно ознакомиться в монографиях [1, 2]. Оригинальные СМО с орбитой пришли на смену системам с ожиданием и описывали поведение телефонных систем, а впоследствии применялись для моделирования сетей случайного доступа. Вклад повторных обращений к прибору в моделировании call-центров обсуждается в работах [3-5]. В последнее время с развитием так называемых смешанных call-центров RQ-системы стали рассматриваться как модели систем связи с двумя типами занятости прибора, а именно поступающими и вызываемыми заявками. Последние присутствуют в системе всегда, прибор может обратиться к таким заявкам во время простоя, чтобы увеличить производительность системы. Идея вызываемых заявок, которые получают обслуживание по инициативе прибора, принадлежит Туану Фунг-Дуку [6-8]. Он и его соавторы исследуют свойства систем с вызываемыми заявками с помощью оригинальных численных методов. В статьях [9, 10] рассматриваются RQ-системы с вызываемыми заявками и ненадежным прибором. Такие системы применяются для моделирования радиосетей, в которых узел связи подвержен поломкам и может выходить из строя, что существенно влияет на производительность сети. Надежности систем с вызываемыми заявками также посвящены работы [11-13]. В них авторы исследуют системы с различными дополнительными свойствами вышеописанных моделей, такими как ограниченное число входящих источников, поиск заявок на орбите и произвольное распределение длительности восстановления прибора. В качестве метода исследования используется имитационное моделирование. В RQ-системах с поломками прибора ненадежность обычно понимается как физическое свойство узла связи [14-17]. В моделях call-центров под прибором может пониматься не только само устройство (телефон), но и оператор, совершающий звонки. В таких случаях под поломкой прибора понимается прекращение работы системы по инициативе оператора. В статьях [18, 19], мы предлага-74 Исследование RQ-системы M|M|1 с разнотипными вызываемыми заявками ем исследование марковской RQ-системы с вызываемыми заявками и ненадежным прибором с помощью методов асимптотического анализа. Интенсивность поломок имеет различные значения для разных состояний прибора. В частности, мы полагаем, что прибор не подвержен поломкам, когда обслуживает вызываемые заявки, так как вызываются они самим прибором. В данной работе к исследованию модели, описанной в статьях [18, 19], применяется метод асимптотически-диффузионного анализа, представленный в работе [20] для исследования RQ-системы с групповым поступлением заявок. Этот метод существенно расширяет область применимости предельных характеристик системы, на основе которых мы строим диффузионную аппроксимацию распределения вероятностей числа заявок на орбите. Результаты получены в предельном условии большой задержки заявок на орбите, что означает, что параметр экспоненциального распределения длительности задержки на орбите должен быть достаточно мал. Однако мы покажем, что диффузионная аппроксимация применима и в случаях, когда значения параметра далеки от предельных. 1. Математическая модель Рассмотрим RQ-систему, описанную в работах [18, 19]. На вход поступает простейший поток заявок с интенсивностью X. Заявка входящего потока, поступившая в систему и обнаружившая прибор свободным, занимает его и обслуживается в течение экспоненциально распределенного времени с параметром ці. Если же в момент поступления заявка застает прибор занятым, она мгновенно уходит на орбиту и повторяет попытку занять прибор по истечении случайного времени, распределенного экспоненциально с параметром о. Когда прибор свободен, он вызывает заявки различных типов. От типа вызываемой заявки п зависят интенсивность вызывания an и интенсивность обслуживания цп. Для удобства пронумеруем типы вызываемых заявок от 2 до N. Поломки прибора имеют интенсивность уо, когда он свободен, или интенсивность уі, когда обслуживает заявку входящего потока. Длительность периода восстановления имеет экспоненциальное распределение с параметром у2. В момент поломки (выхода из строя) прибора обслуживаемая заявка переходит на орбиту. Будем считать, что прибор не может выйти из строя при обслуживании вызываемых заявок, так как обслуживание инициировано самим прибором. Обозначим процесс k(t) - состояние прибора в момент времени t. Этот процесс может принимать следующие значения: 0, если прибор свободен; 1, если прибор обслуживает заявку из потока или орбиты; п, если обслуживается вызываемая заявка типа п, п = 2, 3, ..., N; N + 1, если прибор находится в состоянии восстановления. Также введем случайный процесс i(t) - число заявок на орбите в момент времени t. 2. Система дифференциальных уравнений Колмогорова Ставится задача нахождения стационарного распределения числа заявок на орбите. Рассмотрим двумерный марковский процесс {k(t), i(t)}. Для распределения вероятностей P{k(t) = k, i(t) = i} = Pk(i, t) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова 6t (X + + У!)P (i, t) + XP0 (i, t) + a(i + 1)P0 (i +1, t) + XP-1 (i -1, t), P (i, t) 6t (X + )Pn (i, t) + XPn (i -1, t) + a„Po (i, t), n = 2, N, 6Pn+i(i, t) 6t (X + У2 )PN+1 (i, t) + XPN+1 (i -1, t) + УoPo (i, t) + УіР (i -1, t). (1) 75 А.А. Назаров, С.В. Пауль, О.Д. Лизюра, К.С. Шульгина . да . . Введем частичные характеристические функции, обозначив j = s~ 1, Hk (и, t) = 0 e]UlPk (i, t), i=k = 0, N +1. Преобразуя систему уравнений (1), получим 8- Н, t) Н - т тт / 8- Н, t) - тт ^ ^ тт г ^ -0-= - Х + 0 аи +Уо О-Оt) + jo---+ -MkHk(0t) + у2--і(H H t n=2 ) H k=1 HHl(U,t} = (^(e]U -1) -m -уі)Hi(и,t) + ХИ-(и,t) - joe-U dt HHn (u, t) dt HHn+і(и, t) H = (Х(Ди -1) - Mn )Hn (и, t) + OnH- (и, t), n = 2, N, dt = (Х(Ди -1) - у) )Hn+1 (и, t) + у-H- (и, t) + уxeJUH (и, t). (2) Суммируя уравнения системы (2), запишем дополнительное уравнение (3) HH^A = (ej -1) \\joe~1u HH°^- + у^и, t) + Х^Hn (и, t) \\, dt I Ни n=1 которое нам понадобится для дальнейшего анализа. Систему (2), (3) будем решать методом асимптотически-диффузионного анализа в предельном условии о ^ 0. 3. Первый этап асимптотически-диффузионного анализа Обозначим о = е и введем следующие замены в системе (2) и уравнении (3): т = te, u = ew, Hk(u, t) = Fk(w, т, е). Получим систему dFn(w, x, s) Л - Т, ч HF,-, х, s) N n^ ^ n s ^ s-7-= - Х + уо + 0 On О- х, s) + + j-т-+ -MkFk О х, s) + у) -1- х, s0 dx V n=) ) dw k=1 HF1(w,x,s) jsw is 1 17 ( \\ ■-jsw HF-(w,x,s) dx dw s--= (X(eJ -1)-M-Y1)F1(w,x,s) + XF-(w,x,s) - je 1 -0s HFn (w, x,s) = (X(esw -1) -Mn )Fn (w, x, s) + OnF- (w, x, s), n = 2, N, dx HFn+1(w, x, s) dx HF (w, x, s) = (X(eJSW -1) - у2 s+1 (w, x, s) + у-F- (w, x, s) + у88 (w, x, s), = (ejSw -1) 0 + У1Г1 + Я 2 Гп . (8) n=1 В силу того, что скалярная функция х(т) аргумента т является предельным при s ^ 0, нормированным величиной s = о средним значением оі(т/о) числа заявок на орбите, то выполняется равенство (5). Теорема доказана. Вероятности rk можно найти из (8) с учетом условия нормировки. Так как коэффициенты системы уравнений (8) зависят от х, величины rk также можно представить как rk(x), однако мы опустим аргумент для упрощения выкладок. Также обозначим функцию а(х): N+1 а(X) = -xr0 + у 1r + Я Z Гп . (9) n=1 4. Второй этап асимптотически диффузионного анализа и (2) J-x(at) В системе (2) и уравнении (3) введем замены Hk(u,t) = Hk (u,t)e a , k = 0, 1, ..., N + 1, и получим систему уравнений ан0(и, t) at + jux'(at)Hl(2)(u,t) = -^Я + Z «п + У0 + 0(0)00H,^2)(u,t) + ja dH(0(u,t) a N +2 NkHkT> (u, t)+y 2 HN+l(u, t x k=1 °Hi (h,t) + juX (at)H1(2)(u,t) = (l(eju -1) -N1 -у^Н^и,t) + at +(Я + x(at)e Ju)H^2)(u, t) - jae Ju -0 ан02)(и, t) Oh 77 А.А. Назаров, С.В. Пауль, О.Д. Лизюра, К.С. Шульгина °H%{Щ*) + jux'(ot)H2\\u,t) = (X(eju -1)-ц„)ИП\\и,t) + a„H02)(u,t), n = 2,N, Ot OHN+1 (u, t) Ot + jux'(Ot)HN2h(u,t) = (X(eJU -1) - у2)HN2h(u,t) + у0H02\\u,t) + ^e juH

Скачать электронную версию публикации