A method for forming a family of full-order modal regulators with an elliptic domain of coefficients belonging.pdf Проблема синтеза регуляторов состоит из двух последовательно решаемых задач: 1) найти регулятор (если он существует), обеспечивающий устойчивость и заданное качество управления замкнутой системе; 2) по возможности найти не один регулятор, а некоторое множество: множество настроек регулятора, с одной стороны, гарантирует, что некоторые неточности в настройках регулятора еще не приведут к нарушению заданного качества управления, а с другой - позволит поставить задачу поиска оптимальных настроек регулятора из допустимого множества. В настоящее время разработано большое количество методов синтеза регуляторов, учитывающих как особенности задания математической модели объекта управления, так и особенности задания целей управления; в качестве примеров можно привести работы по синтезу ПИ- и ПИД-регуляторов [1], по модальному управлению [2-3], по синтезу стабилизирующих обратных связей при наличии структурно-параметрической неопределенности в модели объекта управления [4-6] и т.д. Таким образом, первую из указанных задач можно отнести к решенным. К реализации второй задачи можно отнести два подхода: метод D-разбиения и параметризацию Юлы-Кучеры. Метод D-разбиения предложен в работе Ю.И. Неймарка [7], он позволяет строить области устойчивости замкнутой системы управления в пространстве одного или двух параметров (чаще всего - параметров регулятора). Известно (см.: [8]), что метод D-разбиения также может быть использован тогда, когда требуется обеспечить заданные корневые показатели качества: корневой запас устойчивости и колебательность. Существенным недостатком метода D-разбиения является то, что в случае нескольких переменных в качестве варьируемых следует оставить только две независимые переменные, а остальные искусственно зафиксировать. Параметризация Юлы-Кучеры [9-11] сводит задачу формирования стабилизирующих регуляторов к решению полиномиального уравнения Безу. Однако указанные методы не решают задачу формирования семейства регуляторов, обеспечивающих заданное качество управления. В настоящей статье разработан метод формирования семейства модальных регуляторов полного порядка с эллиптической областью принадлежности коэффициентов, гарантирующих заданное качество управления. Следует отметить, что аналитических методов решения поставленной задачи не существует, в этой связи представляет интерес получение оценок (сверху и снизу) радиуса эллипсоида в пространстве коэффициентов регулятора. В работе предложен алгоритм вычисления оценки сверху радиуса эллиптической области задания коэффициентов регулятора. В статье приняты следующие обозначения: = - равно по определению; Rn, Cn - пространства n-мерных векторов x = [xl;...;хп], коэффициенты которых соответственно вещественные или мнимые числа; AT - матрица, транспонированная по отношению к исходной матрице A; 0 - матрица (или вектор) необходимой размерности, состоящая из нулей; s - комплексная переменная; s - число, комплексно сопряженное числу s; S - область на C1; dS - граница области S; int S - внутренняя часть области S; t - непрерывное время; p - оператор i-й степени дифференцирования по времени: Р = Р/dti; i е 0,n, p0 = 1. Полиномиальным оператором степени n будем называть дифференциальный оператор вида a (n, p) = S atp, i = 0 где ai - постоянные коэффициенты. В изображениях по Лапласу оператору a(n, p) соответствует алгебраический полином n a(n,s) = S aisi, i=0 определенный на C1; здесь за s e C1 обозначена переменная преобразования Лапласа. Множество корней (нулей) полинома a(n, s) будем обозначать Л(а): A(a) = |xz: a(n, m, an = 1, (1) где y(t) - управляемая переменная (выходной сигнал), u(t) - управляющая переменная (входной сигнал). Модальный регулятор ищется в виде дифференциального уравнения l-го порядка р(/, p) u (/) = а(/, p) y (t) + /(/, p) g (t), Pl = 1, (2) где g(t) - входной сигнал для замкнутой системы. Уравнение замкнутой системы имеет вид: acL (n +l, p )y(t) = bcL (m +l, p )g (t), (3) где ac l' (n +l, p') = a (n, p)P(l, p) - b (m, p') ■ a(l, p), bl (m +1,p) = b(m,p)x(l,p). Качество управления назначается в виде области S, определяющей допустимое расположение корней полинома ac.l.(n + l, s) на C1, что может быть записано в виде целевого условия Л^’ S . (4) Предполагается, что S удовлетворяет следующим требованиям: расположена в ограниченной части C1 слева от мнимой оси; односвязна; для любой точки s е S также выполняется s е S. В классической постановке задачи модального управления цель управления назначается эталонной системой (эталоном) aet(n +1,p)y(t) = /’Ьт +1,p)g(t), аП‘+1 =1, (5) (6) (7) при этом характеристический полином эталона aet.(n + l, s) выбирается из условия Л(aet)

Скачать электронную версию публикации