Method of synthesis of a modal regulator for a linear discrete-time system with interval uncertainty of coefficients.pdf В результате идентификации технологических процессов модель объекта управления чаще всего восстанавливается в виде линейного дифференциального или разностного уравнения заданного порядка, коэффициенты которого определены с точностью до некоторых интервалов. В большинстве классических схем синтеза регулятор рассчитывается для модели с точно заданными коэффициентами. В случае объекта управления с интервальной неопределенностью коэффициентов регулятор может быть рассчитан по классическим схемам для модели со средними значениями из заданных интервалов. При этом после замыкания объекта управления с интервальной неопределенностью коэффициентов модальным регулятором в характеристическом полиноме замкнутой системы появляется неопределенность. Поскольку свойства устойчивости и качества управления системы определяются расположением нулей ее характеристического полинома, возникает вопрос: при каких размерах интервальной неопределенности в объекте управления замкнутая система еще сохранит свойства устойчивости (робастная устойчивость) и качества управления (робастное качество управления)? В схеме модального управления [1. С. 8-21, 2. С. 9-12] качество управления задается в виде области Q на комплексной плоскости, определяющей желаемое расположение нулей характеристического полинома. Следовательно, вопросы исследования (проверки) робастной устойчивости и робастного качества управления могут быть рассмотрены с единых позиций: требуется проверить, принадлежат ли нули заданного семейства полиномов области Q. Для непрерывных систем управления проблема исследования робастной устойчивости и робастного качества управления широко представлена в литературе. Можно выделить три главных направления, в рамках которых решается данная задача: принцип исключения нуля [3-6]; теория H [7-9]; метод LMI [10-13]. В целом для непрерывных систем сформулированная задача исследования робастного качества управления является полностью решенной. Следует отметить, что большинство из указанных методов и результатов не имеет аналогов для дискретных систем управления: так, например, в [14] показано, что для дискретных систем несправедлива теорема Харитонова. В настоящей статье в развитие результатов, изложенных в [14], разрабатывается методика исследования робастного качества управления для дискретных систем. В статье приняты следующие обозначения: - - равно по определению; Rn - пространство n-мерных вещественных векторов x - [хІ5 • • •, xn ]; С1 - комплексная плоскость; j - мнимая единица; s - переменная (в общем случае комплексная); s* - число, комплексно сопряженное числу s; t - дискретное время (t = 0, ±1, ±2, ...); z - оператор опережения на один такт: zx(t) - x(t +1) ; Q - область на С1; 5Q - граница области Q; int Q - внутренняя часть области Q. Оператор вида п i=0 (1) назовем полиномиальным оператором степени n. Выполняя в (1) замену z на s, где s переменная, получаем алгебраический полином f(n, s) =2 fi • s‘ . n i=0 Множество нулей полинома f(n, s) обозначим Л(/): Семейство операторов вида F = {f e Rn+1: f ef-f; f0 +f ], f0 Ф 0, bf > 0, i el, n} (2) назовем интервальным полиномиальным оператором степени n. 5 Управление динамическими системами / Control of dynamical systems Выполняя в (2) замену z на s, получаем интервальный полином f(n, F, s ) = |./(/, f,s )='Zfl ■s f e f|. (3) Интервальный полином (3) можно представить в виде: f (n, F, s) = f 0 (n, s) + Af (n, AF, s), (4) где i=0 обычный полином, а Af (n, AF, s ) = jf (n, 5f, s )= X f ■ si : 5f = f •••, Sf ]еАғ|, AF = )5f eRn+1: Sf e[-Aft; f J i = 0^} интервальный полином с симметричными интервалами неопределШности коэффициентов. 1. Схема синтеза робастного модального регулятора и задача исследования робастного качества управления Пусть линейный одномерный дискретный объект управления задан разностным уравнением n-го порядка с интервальной неопределінностью коэффициентов a(n, A, z)y(t) = b(m, B, z]u(t), n > m, a° = 1, Aan = 0, (5) здесь u - входной (управляющий) сигнал, y - выходной (управляемый) сигнал, a(n, A, z) и b(m, B, z) -интервальные операторы вида (4). Модель a 0 (n, z)y(t ) = b0 (m, z )u(t), (6) принадлежащую семейству моделей (5), назовем номинальной. Качество управления назначается в виде области Q, определяющей допустимое расположение нулей характеристического полинома на C1. Будем предполагать, что область Q удовлетворяет следующим условиям: замкнута; расположена внутри окружности единичного радиуса; односвязна; для любой точки raeQ также выполняется ю* eQ . В технологии синтеза модального регулятора (изложенной, например, в [1. С. 8-21]) регулятор ищется в виде разностного уравнения (п-і)-го порядка w(n -1, z)u(t) = v(n -1, z)y(t) + h(q, z)g(t), q < n -1, wn-i = 1, (7) здесь g - входной сигнал замкнутой системы управления. Коэффициенты операторов w(n - 1, z) и v(n - 1, z) регулятора (7) рассчитываются из условия обращения в тождество уравнения aet (2n -1, s) = a0 (n, s) ■ w(n -1, s) - b0 (m, s) ■ v(n -1, s), afn-1 = 1, (8) где aet(2n - 1, s) - заданный характеристический полином эталонной системы управления (далее -эталон); выбор эталона ограничен условием л( aet )с int Q. (9) Выбор полинома h(q, s) не влияет на свойства робастной устойчивости и робастного качества управления, поэтому вопрос расчета полинома h(q, s) в настоящей работе не рассматривается. В уравнении (8), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной s, получаем систему из 2n - 1 линейных алгебраических уравнений относительно 2n - 1 неизвестных коэффициентов полиномов w(n - 1, s) и v(n - 1, s) [1. С. 12-13]. Данная система однозначно разрешима, если нули полинома a0(n, s) не совпадают с нулями полинома b0(m, s) (см.: [2. С. 11]). После замыкания исходного объекта (5) регулятором, синтезированным по схеме (7)-(9), получим уравнение замкнутой системы 6 Паршуков А.Н. Метод синтеза модального регулятора для линейного дискретного объекта управления ac (2n -1, A, B, z)y(t) = bc (m + q, B, z)g(t) здесь ac (2n -1, A, B, s) = a(n, A, s) • w(n -1, s) - b(m, B, s) • v(n -1, s), bc (m + q, B, s) = b(m, B, s) • h(q, s) Множество полиномов ac(2n - 1, A, B, s) назовем семейством характеристических полиномов замкнутой системы. Это семейство может быть записано через свои элементы: ac (2л -1, A, B, s)=ac (2n -1,5a, 5b, s): 5a eAA, 5b eAs} (10) где ac (2n -1,5a, 5b, s) = aet (2n -1, s) + a(n -1,5a, s) • w(n -1, s)- b(m, 5b, s)• v(n -1, s) Под нулями семейства характеристических полиномов (10) будем понимать совокупность всех нулей всех полиномов, входящих в семейство (10): A(ac )={ц : 35a eAA, 35b eAB,ac (2n -1,5a, 5b, ) = 0, i = 1,2n -1]. Будем считать, что замкнутая система с характеристическим полиномом (10) обладает робастным качеством управления, если множество Л(ас) лежит внутри области Q: л( ac )с int Q. (11) При наличии интервальной неопределенности коэффициентов в объекте управления нельзя заранее гарантировать, что модальный регулятор, рассчитанный по формулам (7)-(9), будет обеспечивать выполнение условия (11). Таким образом, задача синтеза модального регулятора в условиях неопределенности в объекте управления состоит из следующих этапов: 1) синтез модального регулятора для номинального объекта (6) (по формулам (7)-(9)); 2) последующая проверка выполнения условия (11) для заданного семейства характеристических полиномов (10) (задача исследования робастного качества управления). В следующем разделе разрабатывается вычислительная технология исследования робастного качества управления для семейства характеристических полиномов вида (10). 2. Вычислительная технология исследования робастного качества управления 2.1. Критерий робастного качества управления Далее, чтобы упростить запись выражений, мы будем указывать не все аргументы функций, а только те из них, которые существенны для проводимых рассуждений. При этом при изменении контекста рассуждений будет изменяться и состав аргументов. Множество полиномов (10) является аффинным семейством полиномов: a c (s) = | p(es )=Po(s)+ n+m+1 , . r X e • Pi(s): e = [eb i=1 en+m+1 ]e E (12) где po(s), ..., Pn+m+1(s) - полиномы Po (s) = aet (2n -1, s) i-1 n(„)_J Aai-1s 1 •w(n -1 s) ‘ ^Abi_„_1si“n“1 •v(n -1,s i e 1, n, • w(n -1, s) • v(n -1, s), i e n +1, n + m +1, а область E представляет собой (n + m + 1)-мерный куб E = |e e Rn+m+1 : |e | < 1, Vi e1,n + m +1]. Рассмотрим две комплексные плоскости: (Яе(ю), у'Іш(ю)) и (Re(£), уІш(£,)). Полином po(s) отображает точку ю на первой комплексной плоскости в точку £о = ро(ю) второй. В указанном смысле 7 Управление динамическими системами / Control of dynamical systems точку to называют геометрическим образом полинома po(s) для точки ю. Аналогично аффинное семейство полиномов (12) будет отображать точку ю в множество (13) е(ю) = IPo (ю) + S • Pi (ю): e е Е|. Множество Е(ю) является геометрическим образом семейства полиномов (12) для точки ю. Доказано (см.: [6. С. 174]), что геометрический образ аффинного семейства полиномов (12) представляет выпуклый многоугольник на C1, вершины которого определяются вершинными полиномами {po(s) ± Pi(s), i =1, ..., n + m +1}. Общее число вершин многоугольника не превышает 2(n + m + 1). Точки {£р(ю) ± %(ю), i = 1, ..., n + m + 1} комплексной плоскости, соответствующие вершинным полиномам, называются точками-кандидатами. Существует множество алгоритмов вычисления координат вершин выпуклого многоугольника по известным точкам-кандидатам (например, алгоритмы Грэхема, Джарвиса и др. [15. С. 106-112]). Многоугольник Е(ю), построенный по своим точкам-кандидатам, будем записывать в виде: Е(ю) = Conv {о (®)±^i (®), i е1 i е 1, n + m +1 На основе принципа аргумента и понятия геометрического образа семейства полиномов можем сформулировать критерий робастного качества управления. Лемма 1. Пусть все нули полинома po(s) лежат внутри заданной области Q. Тогда для того, чтобы множество нулей семейства полиномов (12) также лежало внутри Ц необходимо и достаточно, чтобы выполнялось (14) 0 ^Е(ш), ѴюеШ . Доказательство. Все полиномы, входящие в (12), имеют одинаковый порядок. По условию теоремы все нули полинома po(s) лежат внутри Q. Любой другой полином семейства (12) получается вариацией вектора параметров е. При вариации e изменение числа нулей, лежащих внутри Q, может происходить только в том случае, когда хотя бы один из нулей выйдет на границу области Q и условие (14) будет нарушено. Что и требовалось доказать. Точка £,о(ю) является центром многоугольника (13), следовательно, множество (13) может быть записано в виде: Е(ю) = ^ о (ю) + ЛЕ(ю), где ДЕ(ю) = Conv {± £, i (ю), i е 1, n + m + lj В результате условие (14) принимает вид: -%о (ю)^ДЕ(ю), ѴюеЭО, или, учитывая симметрию множества ДЕ(ю), следующую из симметрии точек-кандидатов, получаем t0 (ю)ёДЕ(ю) , ѴюеШ. (15) Таким образом, мы доказали следующую теорему: Теорема 1. Пусть все нули полиномаpo(s) лежат внутри заданной области Q. Тогда для того, чтобы множество нулей семейства полиномов (12) также лежало внутри Ц необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (15). Основная сложность проверки условия (15) состоит в необходимости: 1) эффективно строить многоугольник ДЕ(ю) для заданной точки ю е SQ; 2) эффективно проверять выполнение условия (15) для заданной точки ю е SQ. Технология проверки условия (15) изложена ниже. 2.2. Методика проверки робастного качества управления Множество точек на C1, являющихся вершинами многоугольника ДЕ(ю), обозначим 0 = {э^ еС1, к = 1,2• r] r 0. Очевидно, что многоугольник ДЕ(ц, ю) будет иметь вершины в точках {цА, k = 1,2• r}. Нетрудно убедиться в том, что многоугольник ДЕ(ц, ю) является геометрическим образом семейства полиномов, полученных из (12) после умножения всех границ интервалов на ц. Поставим следующую вспомогательную задачу: для точки ш е дО требуется найти значение ju.(^co^) = minj|j,еR1 : (со)еЭЛ5(|л,со), |а>0 }, (16) если оно существует. При решении задачи (16) будем выделять два возможных случая: r = 1 и r > 1. В случае r = 1 многоугольник ДЕ(ц, ю) вырождается в отрезок на С1 с границами в точках ±цѲі. Точка £о(ю) может принадлежать данному отрезку только в том случае, если она находится на линии а • Re (0+Р- Іт(0 = 0, а = -Іш(Ѳ1), P = Re(01), ^е С1, (17) проходящей через точки Ѳ1 и -Ѳ1. Доопределяя ц(ю) = +да в том случае, когда точка £о(ю) не принадлежит линии (17), получаем следующее решение задачи (16): (18) ( ) ^0 (ш)/Ы аRefe0 (ш))+р Іш(^0 (ш))= 0, Ц І + да, а • Re(Е,0(ш))+Р^ Іш(^0(ш))^0, в случае r = 1. Рассмотрим случай r > 1. Многоугольник ДЕ(ц, ю) может быть задан системой линейных алгебраических неравенств ак • Re(^)+Pk • Im(^) + Yk > 0, k е 1,27Г, ^е С1, (19) коэффициенты at, pk, jk определяются по формулам V к = Re (ѳк+1 -Ѳк )•Іш(ѳ к )- Іш(ѳк+1 -Ѳк )•Re (ѳк \\ У к = Hv к ^ = J Іш(ѳк+1 -ѳк \\ Vк > ^ R =J- Re(ѳк+1 -ѳк \\ Vк > 0, “к [- Іш(ѳк+1 -ѳк), Vк < 0, к і Re(ѳк+1 -ѳк), Vк < 0, здесь для простоты записи формул (20) принимается Ѳ2г+1 = Ѳ1. Точка ^о(ю) принадлежит границе Д2(ү) в следующих случаях. Случай 1: точка ^о(ю) находится на k-й стороне многоугольника ДЕ(ц, ю). При этом в данной точке k-е неравенство системы (19)-(20) обратится в равенство; соответствующее значение параметра ц обозначим за цъ цк =-(ак •Re(^0 (ш))+рк •Іш(^0 (ш))Укк|; Случай 2: точка ^о(ю) находится в k-й вершине многоугольника ДЕ(ц, ю). При этом k-е и (k + 1)-е неравенства системы (19)-(20) обратятся в равенства. Сформируем множество М+ (ш) = {Цк = -(ак •Re(^0 (ш)) + рк • Іш(^0 (ш)))/К I: Цк > 0, к е 1,2 •r} Отметим, что по смыслу задачи сразу все значения ц, (к е 1,2 • r) не могут быть отрицательны, следовательно, множество М+(ю) непусто. Таким образом, искомое значение ц(ю) при r > 1 находится по формуле ц(ш) = max{цк еМ+(ш): а •Re(^0(ш))+0 •Іш0о(ш))+Цк 01 > 0, Vе1,2•r}. (21) Изложенные рассуждения можно рассматривать как доказательство следующей леммы: Лемма 2. Решение задачи (16) для точки ш е дО определяется формулами (18) в случае г = 1 и (21) в случае г > 1. 9 Управление динамическими системами / Control of dynamical systems Основываясь на данной лемме, теорему 1 можем переформулировать следующим образом: Теорема 2. Пусть полином aet(2n - 1, s), принадлежащий семейству (10), удовлетворяет условию (9). Тогда для семейства полиномов (10) выполняется условие робастного качества управления (11) только в том случае, если р_ = min ц(ш)> 1, (22) шесЮ где ц(ю) - решение задачи (16). Значение р_ определяет, во сколько раз следует увеличить (при р_ > 1) или уменьшить (при ц- < 1) одновременно все интервалы в модели (5), чтобы для семейства характеристических полиномов (10) впервые было нарушено условие робастного качества управления (11). Теорема 2 является обобщением известного в комплексном анализе «принципа аргумента». При этом принцип аргумента может быть сформулирован следующим образом: для того чтобы все нули семейства полиномов ac(2n - 1, A, B, s) лежали внутри Q, необходимо и достаточно, чтобы при обходе точки ю вдоль 5Q в положительном направлении приращение аргумента каждого полинома из семейства ac(2n - 1, A, B, s) равнялось 2n(2n - 1) рад. Для того чтобы контролировать последовательность обхода квадрантов на комплексной плоскости, достаточно рассчитывать вариации аргумента в точках {юі, i = 1, ..., N} на контуре 5Q, таких что удовлетворяют условию |Ш=Ш'+! Aargac (2n _1,5a,5Ъ,ш) < п/2 рад, ѵ /1ш=ш/ fac (2n _ 1,5a, 5b, s) e ac (2n _ 1, A, B, s). Пользуясь оценками для вариации аргументов полиномов, последнее условие можно записать в виде: max A arg (ш_ s)Г ш'+1 1. Если это условие выполняется, то перейти на следующий шаг, в противном случае перейти на шаг 7. Шаг 6. Сделать вывод: исследуемое семейство характеристических полиномов (10) обладает свойством робастного качества управления. Перейти на шаг 8. Шаг 7. Сделать вывод: исследуемое семейство характеристических полиномов (10) не обладает свойством робастного качества управления. Перейти на следующий шаг. Шаг 8. Останов. 3. Пример исследования робастного качества управления Задан дискретный объект управления с интервальной неопределённостью коэффициентов а0 (2, z) + Aa (1, z)y (t) = b0 (1, z) + Ab (1, z)u (t), 10 Паршуков А.Н. Метод синтеза модального регулятора для линейного дискретного объекта управления где а0 (2, z) = z2 - 1,918z + 0,923, b° (l, z) = 0,232z - 0,179, Aa(l, z) = 10-4 [-1; l]z +10 -4 [- 2; 2], Ab(l, z) = 10 -2 [-1; l]z +10-2 [-1; l] Требования к качеству управления назначим в виде области Q = {co : ^2 ^|Н-^1, larg(ю)-ф), где Пі = 0,607, П2 = 0,961, ф = п/4 рад. Характеристический полином эталона выберем аet (3, z) = z3 - 2,715 z2 + 2,456 z - 0,741. Для номинальной модели а°( 2, 0 ) 0 (t ) = b°(1, 0 ) и (°) и эталона aet(3, z) рассчитан модальный регулятор ( z - 0,833) и (t) = (-0,156z + 0,156 ) y (t) + hg (t). Семейство характеристических полиномов замкнутой системы ac (3, z) = aet (3, z) + Aa(l, z) • w(l, z) - Ab(l, z) • v(l, z) (24) Требуется исследовать семейство полиномов (23) на робастное качество управления. Решение. В результате расчетов функции ц(ю) вдоль 5Q найдено наименьшее значение, равное 1,137. Следовательно, семейство (24) имеет робастное качество управления. Заключение В данной работе обоснована схема синтеза робастного модального регулятора. Важной частью процедуры расчета регулятора является задача исследования робастного качества управления. В статье получено обобщение принципа исключения нуля (теорема 2), на основе которого разработана вычислительная технология проверки робастного качества управления. Предложенная схема синтеза проиллюстрирована примером.

Скачать электронную версию публикации