Investigating the effect of filter parameters based on truncated order statistics (TOS-filter) on its output characteris.pdf Во многих системах обработки локационной информации, работающих в пассивном режиме, системах спектрального анализа и анализа вибраций решаются задачи обнаружения сигнала на фоне помехи, причем статистические свойства сигнала и помехи одинаковы, и единственным их отличием являются энергии (дисперсии). В простейшей форме операция обнаружения - это задача проверки двух статистических гипотез: нулевой гипотезы Но, когда данные относятся только к шуму, и альтернативной гипотезы Ні, когда данные относятся к совместному воздействию сигнала и шума. При решении задачи обнаружения приемник вычисляет отношение правдоподобия, которое представляет собой отношение плотностей распределения вероятностей для гипотез Ні и Но [1] . Модель обнаружения в этих задачах обычно представляется как энергетический порог, установленный над средним значением помехи (энергетический приемник) [2]. Блок-схему такого приемника можно представить как последовательно соединенные согласующий фильтр, квадратичный детектор, интегратор и блок принятия решения. Задача входного фильтра, стоящего перед детектором, -максимально «разделить» статистики Но и Ні, используя различия в статистических и частотных параметрах шума и сигнала (согласованная фильтрация) [3]. Таким образом, информативны только случаи превышения порога, а шумовой фон лишь «забивает» тракт обработки, особенно при принятии решения оператором. Поэтому представляет интерес создание алгоритмов, осуществляющих поиск сигнала без учета составляющих шумового фона. В случае, когда таких различий (кроме различных дисперсий) нет или частотный спектр сигнала неизвестен или изменяется случайным образом, целесообразно использовать фильтр на основе усеченной порядковой статистики (УПС-фильтр) [4-6], на который в схеме энергетического приемника заменяется интегратор. В настоящей работе методами математического моделирования исследуется влияние задаваемых параметров УПС-фильтра на его выходные характеристики. 1. Алгоритм работы УПС-фильтра Пусть на интервале [0, Го] наблюдается сигнал N X = £ S 2(ІМ), (1) І=1 где То = NAt, At = 1/(2AF), At - интервал дискретизации по времени, AF - полоса пропускания входного фильтра системы обнаружения. В случае дискретизации по времени решение о наличии или отсутствии сигнала принимается по набору полученных в результате предварительной обработки значений N независимых гауссовских случайных величин У, 52, ..., SN, имеющих нулевое математическое ожидание и одинаковую дисперсию о2. Здесь о2 = Ош2 в случае отсутствия сигнала (от2 - дисперсия помехи) и о2 = Ош2 + ос2 в случае присутствия сигнала (ос2 - дисперсия полезной составляющей). Статистику X можно представить в виде X = 62Z, где Z - случайная величина, имеющая Х2-распределение с n степенями свободы, а о2 = ош2 в случае гипотезы Но и о2 = ос2 + ош2 в случае альтернативы Ні. Формула (1) описывает классический энергетический приемник (интегратор). В одиночном акте наблюдения (испытании) в нашем распоряжении имеется выборка из N результатов наблюдений - выборка (вектор) Х. Выписав отношение правдоподобия для гипотез Ні и Но, N получаем достаточную статистику Л( X) = X Xi. І = 1 Приведенный выше «классический» алгоритм базируется на существовании равномерно наиболее мощного критерия для проверки гипотезы Но против альтернативы Ні. При этом используется вся информация, содержащаяся в оцениваемой выборке Х. Алгоритм работы УПС-фильтра: і. То разбивается на т одинаковых интервалов, в каждом из которых согласно (1) вычисляется последовательность выборок Xj ~ {Хі, ., Хі, ., Хт}. 43 Математическое моделирование /Mathematical modeling 2. Накапливается с оцениваемых выборок Xj. 3. По накопленным выборкам строится матрица Ху размерностью m строк на c столбцов (с - «глубина» матрицы памяти) - {Хі, ..., Хі, ..., Xm}j, где 1 < j < с. 4. В каждом столбце матрицы Ху строится порядковая статистика X(ij, где 1 < i < m, - упорядоченные величины статистики Хі, такие что Х(і) < Х(2) < ... < X(i) < ... < X» 5. В каждой строке полученной матрицы X(ij определяются оценки математических ожиданий 1 c (вектор m ) mi = - Z X «■ , где 1 < i < m. c j=і 6. Порог отсечения k (первый порог) определяется из условия к = arg min|h0 - mi |, (2) i где 1 < I < m, а ho определяется по формуле а = j /ш (x)dx = 2n2 О Пп/2) "0 I x Oo dx, (3) где а - заданный квантиль, n = N/m, oo2 - дисперсия шума, так как известными параметрами являются 2 только статистические свойства помехи, а именно математическое ожидание цо и дисперсия oo2. m 7. Вычисляется оценка W. = Z X(i)j . i=к Таким образом, на выходе УПС-фильтра получаем последовательность отфильтрованных оценок Wj, задача обнаружения по которым решается по «классическому» алгоритму обнаружения (задача проверки двух гипотез). УПС-фильтр работает по принципу скользящего окна, т.е. каждый новый вектор Xj с индексом с + 1 вытесняет из матрицы вектор Xj с индексом 1. В отличие от алгоритма проверки двух гипотез (энергетического приемника), для реализации предлагаемого алгоритма обнаружения необходимо предварительное накопление выборок {Хі, ., Хі, ., Xm}j, где 1 < j < с, что приводит к задержке в принятии решения на время T = jTo, где 1 < j < с. Такая задержка во многих задачах не является существенной. Следует подчеркнуть, что если в алгоритме проверки двух простых гипотез для принятия решения используется только вектор X, то в рассматриваемом алгоритме - матрица X®j, в которой текущий вектор Xj является одним из столбцов. Сравним статистические свойства случайных величин Z и W, сформированных из случайной выборки Хі, 1 < i < m, двумя различными способами: - Энергетический приемник: m • z =Z X, - имеет ^-распределение с N = nm степенями свободы и математическим ожидаi=1 нием = nmo2 и дисперсией = 2nmeA, и в силу центральной предельной теоремы при достаточ но больших значениях m ее функция плотности распределения нормализуется: Z ~ N(ц2,o2z ). - УПС-фильтр: m • W = Z X (i) , где Х(і), 1 < i < m, - упорядоченные величины (порядковые статистики) статиi=к стики Хі-, такие что Х(і) < Х(2) < . < Х(і) < ... < X(m). Статистики Х(і) также имеют центральное Х2-распределение с n степенями свободы. Если случайные величины Хі статистически независимы и одинаково распределены, то случайные величины Х(і) зависимы из-за неравенств между ними. В дальнейшем будем называть статистику W усеченной порядковой статистикой (УПС), а параметр k - порогом отсечения. Известны выражения для вычисления моментов порядковых статистик [7], которые в случае центрального х2-распределения приобретают следующий вид: 44 Рудько И.М. Исследование влияния параметров фильтра на основе усеченных порядковых статистик - математическое ожидание ц, величины Х, определяется по формуле т! дисперсия ■' (j-1)!(т - j)! о J * ix j-1 г 1 -KJ 4 о 4^ (4 I dx , 2 n \\ 2 о V о . да / Л'-1 2 = т! j"к | jX ' (j - 1)!(т - j)! J n ^ о2 1 - K,, ( x-Н» f Л kn \\4 1dx о V о (4) (5) ковариация = E [ X» x,k) ] = m! jk (m -k)!(k - j -1)!( j -1)! Jj C( x, y) xy-1T kn \\-X. j kn ^ j A dy , (6) j-1 где C(X ^ = Kn \\ - о Kn 1о2 J-K I ? k - j-1 -im-k 1 - Kn \\£ , а kn (x) и Kn (x) - плотность и функция вероятности ^-распределения с п степенями свободы. Для случайной величины W математическое ожидание определяется по формуле т Mw (k) = , 1 - k - т, j=k а дисперсия с учетом зависимости случайных величин Х() [8]: т _ °W(k) = Хо2 + 2 X ол , 1 - k - т, (7) l=k k-j Д.ѵ+,ѵ Теоретические [іу \\\\ oz, затем ow спадает, и уже при с > 4 ow < oz и быстро стремится к своему «потенциальному» значению, определяемому формулой (7), т.е. к значению, когда «глубина» памяти велика. Влияние «глубины» памяти Хц на Робн исследуется на модели обработки гидроакустической информации, рассмотренной в [10]. Моделируется проход цели мимо ненаправленного приемника, т.е. р вначале растет от нуля до максимума и после прохода траверса уменьшается до нуля. Параметры модели: время наблюдения То = 10, AF = 1 000, N = 20 000, Рлт = 0,005. Сравниваются «глубина» памяти с = 6, 12 и 18 при (т = 100, п = 200) и (т = 200, п = 100), размер статистики ks = 10 000. На рис. 6 представлены графики изменения Робн для указанных выше параметров. Из приведенных рисунков видно: - Робн для статистики W всегда больше, чем для статистики Z; - Робн для статистики W растет с увеличением «глубины» памяти с; - Робн для статистики W меньше потенциальной Робн из-за ограниченного размера матрицы Хо4 - Робн для статистики W зависит от соотношения т и п. - для статистики W сдвиг максимума Робн (сдвиг относительно траверса, т.е. pmax) определяется временем заполнение матрицы Хо/, т.е. параметром с. Для корректного сравнения Робн по статистикам W и Z при фиксированной вероятности ложной тревоги Рлт необходимо учитывать, что плотность вероятности W - Pw является, как показано выше, 49 Математическое моделирование /Mathematical modeling условной плотностью вероятности. Поэтому необходимо вводить весовой коэффициент (1 - а). Кроме того, с.к.о. оценки шума ow растет с уменьшением «глубины» матрицы Хцу. Рис. 6. Сравнение Роби статистик W и Z при различных с Fig. 6. Comparison of Pdet statistics Wand Z for different c Таким образом, порог для шума должен пересчитываться: ho - порог для Рлт, рассчитанный для плотности вероятности W- N, стдля шума; hi - порог для Рлт с учетом весового коэффициента (1 - а) (ho > hi); Һ2 - порог для Рлт, рассчитанный с учетом «глубины» с матрицы Хцу (hi < h2). Заключение Исследован алгоритм обнаружения сигналов на фоне шума, основанный на свойствах усеченных порядковых статистик (УПС-фильтр), который позволяет обеспечить большую вероятность обнаружения Робн при заданной вероятности ложной тревоги Рлт по сравнению с «классическим» алгоритмом проверки двух гипотез. Выигрыш достигается за счет введения дополнительного порога, отсекающего малые значения обрабатываемого сигнала, и использования для построения оценки этого порога информации, не использующейся в «классическом» алгоритме и содержащейся в предыдущих реализациях сигнала.

Скачать электронную версию публикации