Meyer wavelets with multiple scale factors N > 2.pdf Вейвлет-анализ предоставляет мощный инструментарий для решения различных задач математического моделирования. Особенно эффективно вейвлет-анализ используется для изучения медицинских данных [1-3]. В настоящее время известно и эффективно используется множество вейвлетов [4, 5]. Среди них вейвлеты Мейера выделяются тем, что они обеспечивают наиболее четкое разделение сигнала по частотным диапазонам и имеют быстро убывающие фильтры. Использование степеней двойки для построения теории вейвлетов и при их использовании удобно во многих отношениях, хотя и не является обязательным. Можно вместо коэффициента масштабирования 2 использовать любое целое число N, и даже рациональное, большее единицы [4]. Развитию этой темы посвящены работы [5, 6]. Вейвлет-анализ с коэффициентом масштабирования N > 2 имеет определенные преимущества, обеспечивая разделение сигнала на N частотных диапазонов уже при однократном вейвлет-разложении. Примеры вейвлет-анализа данных фондового рынка с коэффициентами масштабирования 4, 5 и 8 представлены в работе [5]. В работах [7, 8] показана возможность использования вейвлет-анализа с коэффициентом масштабирования 3 для изучения сигналов ЭЭГ. В работе [8] предложены построение и использование аналогов вейвлетов Мейера с произвольным коэффициентом масштабирования N > 2. Однако в случае четного N один из фильтров вейвлетов, а именно фильтр вейвлета ^N-1(x) имеет бесконечную импульсную характеристику и слабое убывание на бесконечности, что затрудняет практическое использование таких вейвлетов в случае четного N > 2. В данной работе предлагается другой подход к построению вейвлетов Мейера, которые не имеют отмеченных выше недостатков. Определены вейвлеты Мейера с произвольным коэффициентом масштабирования N, которые вполне подходят для нечетных значений N. Основное содержание работы заключается в построении вейвлетов Мейера с кратными коэффициентами масштабирования MN. Учитывая, что для N = 2 вейвлеты Мейера ф(х) и у(х) определены [4, 5] и имеют быстро убывающие фильтры, этот прием решает указанную выше проблему с фильтрами вейвлетов Мейера для четного N > 2. Отметим, что в отличие от работы [8] здесь предлагается более унифицированный подход к определению N-вейвлетов Мейера, когда в качестве масштабирующей функции для всех коэффициентов масштабирования N берется одна и та же функция Мейера ф(х). 1. Предварительные сведения Напомним основные положения вейвлет-анализа с масштабным коэффициентом N > 2 (развитие этой темы см.: [5]). Функция ф(х) е L 2(R) называется масштабирующей с коэффициентом N, если она удовлетворяет соотношению ф(х) = Jn£И°пф(Nx - п), (1) neZ где набор действительных чисел {h®} называется масштабирующим фильтром функции ф(х). Для масштабирующей функции ф(х) определяется частотная функция формулой 0 - іпу п (2) (3) H "(а)=TN £ h После преобразования Фурье масштабирующее соотношение (1) принимает вид: ф(»)=H" ( N> (у} 85 Обработка информации / Data processing Масштабирующей функции ф(х) соответствует N - 1 вейвлетов Ѵ(х), ••• , V Чх), определенных равенствами V(x) = JN^һкпфт - n), k = 1,2,...,N -1, (4) neZ где коэффициенты разложения {hk}neZ называются фильтрами вейвлетов. В частотной области соотношения (4) принимают вид: (5) V (ш) = Hk І^ІФІ^І, k = 1,2,..., N -1, где Я(ю) - частотные функции, соответствующие вейвлетам Vk(x)- (6) Hk (ш) = --L Xhke-пш, k = 1,2,..,N -1. VNneZ Вейвлеты называются ортогональными, если сдвиги масштабированных вейвлетов Vk,n (x)=4Nv ( n x-n), n e Z, k = 1, 2, ..., N - 1, образуют полную ортонормированную систему функций в Z2(R). Для ортогональности частотные функции вейвлетов должны удовлетворять свойству унитарности матрицы [4, 5]: H и(ш) H0 |ш- 2% я°и-2^1) N 2%(N -1) Н1ш) H1 |ш- - 1 N Я1 со- N Н 1 ш - 2%(N -1) N HN-1(ш) HN -1| ш- - 1 N (7) 2. Вейвлеты Мейера Масштабирующая функция Мейера ф(х) для коэффициента N = 2 определяется через задание ее преобразования Фурье равенством 1, 2% 2% ш e 3 3 (8) . | % I 3 . . 2% . .4% ф(ш) = ^cos| -ѵі- Iш I-1ІІ, - < Iш I 0, и ѵ(х) + ѵ(1 - x) = 1 [4, 5]. Распространенным выбором функции ѵ(х) является следующая полиномиальная интерполяция: ѵ(х) = х4(35 - 84х+70х2 - 20х3) между 0 и 1 на промежутке [0, 1]. Теорема 1. Масштабирующая функция Мейера ф(х) является N-масштабирующей для любого натурального N > 2. Доказательство. Достаточно показать, что существует частотная функция Я°(ю) для которой выполнено масштабирующее соотношение в форме образов Фурье: ф(ш) = H0 ^ф. Вследствие 2%-периодичности функцию Я°(ю) достаточно определить на промежутке [-%, %]. Поскольку функция ш ф(ш) обращается в нуль вне промежутка [-4%/3, 4%/3] и ф| - | = 1 на промежутке 86 2%N 2%N На весь промежуток [-%, %] функции Н+(ю) можно продолжить как по четности, так и по нечетности. Далее мы уточним, как это сделать из требования унитарности матрицы (7). Вне промежутка [-%, %] функции Н+(ю) продолжаются по периодичности. Последняя частотная функция Н^-1+(ю) на [0, %] определяется формулой: -V-ю - 2 ^ 2% 3( N-1)-1 V , юе (N-1)% % (N-1)% % 2 Jj _ N 3N ’ N 3N _ юе (N -1)% % --- +-, % N 3N , для остальных ю е [0, %]. sin \\ (% (3N (11) Подкур П.Н., Смоленцев Н.К. Вейвлеты Мейера с кратными коэффициентами масштабирования N > 2 включающем [-4%/3, 4%/3], то H0 |^-^J = (p(ro) на [-4%/3, 4%/3], или H0(ю) = p(Nю) на промежутке [-4%/3N, 4%/3N]. Таким образом, получаем искомую функцию Н°(ю): 2% 2% 1, ю е 3 N 3 N ТТ0. . I % (3N. . 2% . . 4% H (ю) = 2. Представленная конструкция хорошо работает для нечетных N > 2, однако в случае четного N один из фильтров вейвлетов, а именно фильтр вейвлета ^N-1(x), имеет бесконечную импульсную характеристику и слабое убывание на бесконечности. Далее для решения этой проблемы в работе используются кратные коэффициенты масштабирования MN. Показано, что если заданы вейвлеты с коэффициентами масштабирования M и N, то можно определить вейвлеты с коэффициентом масштабирования MN. Показано также, что если заданные M- и N-вейвлеты имеют функцию Мейера ф(х) в качестве масштабирующей, то и в результате получаются MN-вейвлеты с той же масштабирующей функцией Мейера ф(х). Учитывая, что для N = 2 вейвлеты Мейера ф(х) и у(х) хорошо известны и имеют быстро убывающие фильтры, это решает указанную выше проблему с фильтрами вейвлетов для четного коэффициента масштабирования и полностью решает вопрос определения вейвлетов Мейера с произвольным коэффициентом масштабирования N > 2.

Скачать электронную версию публикации