Performance of a selective failure mode transport protocol under conditions of contention for the bandwidth of the data .pdf Важнейшей операционной характеристикой абонентского соединения, управляемого транспортным протоколом компьютерной сети, является его пропускная способность. Данный показатель в значительной мере определяется интенсивностью внешних по отношению к данному соединению потоков, имеющих с ним хотя бы часть общего маршрута. Традиционной моделью многозвенного транспортного соединения являются сети систем массового обслуживания (СМО). Однако аналитическое исследование сетей СМО возможно лишь при существенных ограничениях на входной поток, дисциплины обслуживания требований и конкурентный трафик от других абонентов, имеющих хотя бы часть общего маршрута с исследуемым соединением, и буферную емкость транзитных узлов. Кроме того, модель транспортного соединения в виде сети СМО не позволяет учесть особенности управляющих протокольных процедур. Основным индикатором «внешней» нагрузки на тракт, в котором проложено исследуемое транспортное соединение, являются размеры очередей перед протокольными блоками данных рассматриваемого соединения в транзитных узлах. Мониторинг такого индикатора позволяет оценить распределение длин очередей в транзитных узлах от внешних по отношению к анализируемому соединению сетевых потоков и использовать при расчете операционных характеристик соединения и выборе протокольных параметров на время сеанса связи между заданной парой абонентов. Известные модели асинхронных управляющих процедур отдельного звена передачи данных и транспортного протокола [1-8] ориентированы на анализ операционных характеристик при монопольном использовании каналов связи и не позволяют учитывать нагрузку на разделяемые сетевые ресурсы, обеспечиваемую соседством с другими виртуальными соединениями, агрегируемыми на различных участках пути в отдельных звеньях маршрута заданного абонентского соединения, и проявляющуюся в виде «внешних» очередей в транзитных узлах. Не исследовано влияние предельно малых длительностей тайм-аута при переменной круговой задержке, обусловленной переменной нагрузкой на транспортном соединении. Анализ процессов управления параметрами транспортного протокола в нагруженном транспортном соединении [9-11] выполнен при существенных ограничениях на значения протокольных параметров и характеристик тракта передачи данных. В данной работе предложена математическая модель транспортного соединения, управляемого транспортным протоколом в режиме селективного отказа, учитывающая кроме фактора искажений в прямом и обратном трактах передачи данных и механизмов повторных передач, обусловленных искажениями и истечением тайм-аута неприема ответа от получателя потока информации, еще и очереди ненулевой длины от «внешних» межабонентских соединений для длительностей сквозного тайм-аута с интервальными ограничениями и ограничениями снизу. 1. Индикаторная модель тракта передачи данных Рассмотрим обмен между абонентами, соединенными многозвенным трактом передачи данных. Предположим, что выполняются следующие допущения. Узлы тракта соединены дуплексными кана-13 Математическое моделирование / Mathematical modeling лами связи, имеющими одинаковое быстродействие в обоих направлениях. Длина тракта, выраженная в количестве участков переприема, равна Dn. Обратный канал, по которому доставляются подтверждения отправителю о корректности приема последовательности сегментов данных, имеет длину Do. Заданы вероятности искажения сегмента в канале связи для прямого Rn (d), d = 1, Dn и обратного Ra (d), d = 1, Da направлений передачи каждого участка переприема. Тогда достоверности передачи сегментов данных вдоль тракта от источника до адресата и обратно составят Dn Do Fn = П (1 - Rn (d)); F0 = п (1 - Ro(d)). d=1 d=1 Время обработки сегментов в узлах тракта одинаково. Взаимодействующие абоненты имеют неограниченный поток сегментов для передачи, а обмен выполняется сегментами одинаковой длины. Подтверждения получателя о корректности приема принимаемых данных переносятся в сегментах встречного потока. Полагаем, что повторная передача сегментов организована в соответствии с селективной процедурой отказа [1]. Считаем, кроме того, что потерь сегментов из-за отсутствия буферной памяти в узлах тракта не происходит. Задана функция вероятностей Ъп, n = О, N того, что каждый сегмент из потока анализируемого соединения в транзитных узлах встретит очередь размера n < N, где N - максимальный размер очереди, определяемый емкостью буферных пулов транзитных узлов. Будем называть тактом время t, необходимое для вывода сегмента в линию. Такт определяется суммой времени вывода сегмента в линию, времени распространения сигнала в канале связи и времени обработки сегмента принимающим узлом. Тайм-аут S, выраженный в длительностях t, запускается перед началом передачи первого сегмента последовательности и фиксируется для всех сегментов в пределах ширины окна. Будем считать, что размер окна управляющего протокола определяется величиной W, а S > W задает длительность тайм-аута ожидания подтверждения корректности доставки данных. Очевидно, что сумму длин прямого и обратного трактов передачи данных D = Dn + Da можно интерпретировать как длительность круговой задержки в ненагруженном монопольно используемом тракте, выраженную в тактах t. После передачи очередного сегмента протокол копирует его в очередь переданных, но не подтвержденных данных и запускает тайм-аут. Как только размер очереди становится равным ширине окна W, управляющий протокол приостанавливает передачу в ожидании получения квитанции или истечения тайм-аута ожидания подтверждения S. При получении подтверждения из очереди удаляются сегменты, дошедшие до адресата без искажений. По истечении тайм-аута S соответствующий сегмент передается повторно, и тайм-аут запускается вновь. Тогда время получения отправителем сквозной квитанции распределено по геометрическому закону с параметром Fo и длительностью такта дискретизации t. Функционирование виртуального соединения, управляемого транспортным протоколом, в нагруженном многозвенном тракте передачи данных с очередями сегментов перед отправляемыми данными или подтверждениями может быть описано марковизированным процессом динамики очереди переданных, но не подтвержденных сегментов, в котором размер очереди перед прямым или обратным потоком данных исследуемого соединения является дополнительной переменной Марковского процесса. В состоянии цепи Маркова (i, n) источник отправил последовательность размера i-n сегментов, которая в процессе переноса в одном из звеньев встретила очередь длиной n сегментов. Значениям координаты i = 0,W + n, n = О, N состояний цепи Маркова соответствуют количество переданных, но не подтвержденных получателем сегментов и время от начала передачи последовательности, а значениям i = W + n +1, S - 1, n = О, N - время, в течение которого отправитель не активен и ожидает получения квитанции о корректности приема переданной последовательности из W сегментов. Обозначим через P(i,n), i = О, S - 1, n = О,N, - вероятности состояний цепи Маркова. Тогда последовательность переданных, но не подтвержденных сегментов данных рассматриваемого виртуального соединения при очереди нулевой длины растет до состояния цепи Маркова с координатами (D - 1,О) с вероятно-14 Михеев П.А., Поддубный В.В., Приступа П.В. и др. Быстродействие транспортного протокола стью Ь0 . Дальнейший рост размера этой последовательности происходит с вероятностью Ь0(1 - Fo) . В состояниях (i, n), i = D - 1 + n, S - 1, n = 0, N, возможно получение отправителем квитанции, и в зависимости от результатов доставки отправитель передает новые сегменты (при положительной квитанции) либо повторно - искаженные. Поскольку отправленная последовательность сегментов исследуемого виртуального соединения может встретить очередь ненулевой длины в любой момент процесса передачи (на пути последовательности до адресата или при переносе подтверждения отправителю информационного потока), то переход из состояния (i,0), i = 0, S - 2, в состояние (i, n), i = 0, S - 2, n = 1, N, происходит с вероятностью Ьп . 2. Вероятности состояний цепи Маркова Обозначим через %-mm переходные вероятности цепи Маркова, где (/, п) - координаты исходного, а (j, m) - измененного состояния цепи. Тогда динамику процесса передачи информационного потока в режиме селективного отказа в нагруженном тракте передачи данных можно задать следующими значениями переходных вероятностей: Ь0, i = 0, D - 2, n = 0; j = i +1, m = 0; b)(1 - Fo), i = D - 1, S - 2, n = 0; j = i +1, m = 0; bm, i = 0, S - 2, n = 0; j = i, m = 1, N; b Fo, i = D - 1,W - 1, n = 0; j = D - 1, m = 0; b0 Fo, i = W ,W + D - 2, n = 0; j = W + D - 2 - i, m = 0; TJm (1) b0 Fo, i = W + D - 1, S - 2, n = 0; j = 0, m = 0; < _ 1, i = S - 1, n = 0, N; j = 0, m = 0; 1, i = 0, D - 2 + n, n = 1, N; j = i +1, m = n; 1 - Fo, i = D - 1 + n, S - 2, n = 1, N; j = i +1, m = n. Fo, i = D - 1 + n,W - 1 + n, n = 1, N; j = D - 1, m = 0; Fo, i = W + n,W + n + D - 2, n = 1, N; j = W + n + D - 2 - i, m = 0; ^ Fo, i = W + n + D - 1, S - 2, n = 1N; j = 0, m = 0. Разнообразие вида решения системы уравнений равновесия для вероятностей состояний цепи Маркова определяется соотношениями между протокольными параметрами W, S, общей длиной тракта (круговой задержкой) D и максимальным размером длин очередей N. Поскольку длительность тайм-аута должна превышать ширину окна, быть не короче круговой задержки (S > D), а также превышать время ожидания в очередях из протокольных блоков данных сопутствующего трафика до начала передачи в транзитных узлах, то выделяется широкое разнообразие вариантов решения для различных областей изменения значений протокольных параметров и длин очередей. Анализ процесса передачи в аналитическом виде для произвольных значений протокольных параметров в условиях соперничества за сетевые ресурсы возможен только в предположении, что «внешние» очереди имеют ненулевую длину (Ь0 = 0). 3. Анализ процесса передачи с ограничениями снизу на длительность тайм-аута Рассмотрим процесс передачи для протокольных параметров, связанных c общей длиной тракта и максимальным размером очереди неравенствами вида W > D, S > D + W+N-1. Система уравнений равновесия при этом записывается следующим образом: 15 Математическое моделирование / Mathematical modeling N S-2 N P(0,0) = Fo Z Z PC*,n) + Z P(S - 1,n); (2) n=1i=D+w+n-2 n=0 N _ P(*,0) = Fo Z P(D + ж + n - 2 - i, n), i = 1, D - 2; (3) n=1 N W+n-1 P(D -1,0) = Z Z FoP(i, n); (4) n=1 i =D+n-1 P(0, n) = bnP(0,0), n = 1N; (5) P(i, n) = P(i -1,0) + bnP(i, 0), i = 1, D - 1, n = 1N; (6) P(i, n) = P(i - 1, n), i = D, D + n - 1, n = 1, N; (7) P(i, n) = (1 - Fo )P(i - 1, n), i = D + n, S - 1, n = 1N. (8) Найдем решение данной системы уравнений. Согласно уравнению (7) получаем: P(i,n) = P(D - 1,n), i = D,D + n - 1, n = 1,N , а из (8) имеем: P(i,n) = (1 - Fo) D "+1 p(d - 1,n), i = D + n, S - 1,n = 1, N . С учетом данных соотношений из (3), (4) для i = 1,D - 1 находим P(i, 0) = Fo (1 - Fo )w-l-1 Z P(D - 1, m), i = 1, D - 2 , P(D - 1,0) = (1 - (1 - Fo )w-D+1) Z P(D - 1, m) . Подставm=1 m=1 ляя найденные соотношения в (6), с учетом (5) получаем P(i, n) = bn i = 1, D - 2, n = 1, N, / \\ N P(0,0) + (1 - Fo )w--1 (1 - (1 - Fo ) ) Z P(D - 1, m) m=1 P( D - 1, n) = bn , n = 1, N . / \\ N P(0,0) + (1 - (1 - Fa )w-1) Z P(D - 1, m) m=1 Отсюда последовательно для n = 1, N выражаем P(D - 1, n) через вероятности состояний / \\ N P(0,0) + (1 - (1 - Fo)w-1) Z P(D - 1, m) P(D - 1, m), m = n +1,N : P(D - 1, n) = 1 - (1 -(1 - F0 )w -1 )Z b m=1 При n = N отсюда приходим к P(D - 1, N) = bNP(0,0) (1 - Fo ) w n = 1, N. (9) 3j-. Подставляя данное соотношение в (9), для значений n от N - 1 до 1 рекурсивно находим функциональные выражения для вероятностей состояний P(D - 1, n) через P(0,0): P(D - 1, n) = -nP-n = 1, N . Отсюда из найденных ранее соот- (1 - Fo ) ношений окончательно получаем распределение вероятностей состояний цепи Маркова (1 -(1 - Fo )w-D+1) P (0,0) 'L0) = (1-Fow1 ’ b„P(0,0) P(i,0) = FoP(0,0),i = 1, D - 2 ; P(D - 1,0) = - (1 - Fo ) P(i, n) = bnP(0,0), i = 0, D - 2, n = 1, N; P(i, n) = - (1 - Fo ) (1 - Fo) w-1 ’ i = D - 1, D + n - 1, n = 1, N; (1 - Fo ) а из условия нормировки находим вероятность начального состояния 16 P(0,0) = ■ F0 (1-F0 )w w-1 N 1 + Fo (1 + N) - (1 - Fo )w + (1 - Fo )w-D+1 N 1- Z bm (1 - Fo ) m=1 ч , где N = Z nbn . S-w-m n=1 Михеев П.А., Поддубный В.В., Приступа П.В. и др. Быстродействие транспортного протокола Рассмотрим найденное решение в ряде частных случаев. Для детерминированного обратного тракта (Fo = 1) пространство значимых состояний (i, п) образует плоскость равнобедренного по координаb 1 там i и п треугольника i = D -1,D -1 + n,n = 0,N : P(D -1,0) =-=■, P(i,n) =-^ , i = D -1,D -1 + n, 2 + N 2 + N n = vN. При неограниченной ширине окна (W = да) состояния (i, п), i = 0,D - 2, n = 0,N, являются невозвратными (P(i,n) = 0) , и вероятности состояния цепи Маркова принимают вид: P(D -1,0) = -Fo - ; P(i, n) = 1 + Fo (1 + N); v ^ bnFo (1 - Fo ) bF -^, i = D -1, D + n -1, n = 1, N : P(i, n) = - 1 + Fo (1 + N) i-D-n+1 _ i > D + n, n = 1, N . 1 + Fo (1 + N) ’ Рассмотрим процесс передачи данных в условиях недогруженного соединения, когда ширина окна не превышает длительности круговой задержки (1 < W < D), а размер тайм-аута ограничен снизу (S > D + W+N -1). Согласно (1) система уравнений равновесия, приведенная выше, изменится следующим образом. Уравнения (2), (5), (8) останутся без изменений, (3) - справедливо при i = 1,W -1, уравнение (4) примет вид: P(D -1,0) = 0, уравнение (6) - справедливо для i = 1, W -1, n = 1,N , урав нение (7) - при i = W,D + n -1, n = 1,N . Решение системы уравнений равновесия имеет вид: P(i,0) = F°PP^°L, i = 1,w-1; P(i, n) = (1 - F0 ) bnP(0,0) (1 - F0 ) i = 0,W-1,n = 1,N ; ГТ7. , bn(1 - Fo)i-D-n+l P(0,0) P(i, n) = bnP(0,і°')і,i = W-1, D + n-1, n = 1, N; P(i, n) = W j (1 - Fo)W-1 (1 - F0)W-1 i = D + n, S -1, n = 1, N, а из условия нормировки получаем вероятность начального состояния P(0,0) = ■ Fo (1 - F0 ) W-1 2 + Fo (D - W + N) - (1 - F0 )W -X bm (1 - F0 )S-D+1m m=1 (10) При Fo = 1 значимыми будут только состояния P(W -1,0) = 1 D - W + N + 2 P(i, n) = D - W + N + 2 i = W -1, D + n -1, n = 1, N. Неограниченная длительность тайм-аута (S ) приводит к вероятности начального состояния следующего вида: P(0,0) = протокола (W = 1) распределение принимает вид: F0 (1 - Fo ) W-1 2 + F0 (D - W + N) - (1 - F0 ) W . Для старт-стопного P(i,n) = bnP(0,0), i = 0,D + n -1,n = 1,N, P(i,n) = bn(1 -Fa)i^-п+1 P(0,0), i = D + n,S -1,n = 1,N, P(0,0) = F„ N 1 + Fo (D + N) -X bm (1 - Fo) m=1 4. Анализ процесса передачи при интервальных ограничениях на длительность тайм-аута Рассмотрим функционирование транспортного соединения при интервальных ограничениях на протокольные параметры и максимальный размер очереди вида: W > D, D + W -1 < S < D + W + N -1, 1 < N < D - 2 либо W > D, W+N+1< S < D + W+N-1, D-2 < N .Приданных ограничениях уравнения (2)-(3) исходной системы уравнений равновесия (2)-(8) преобразуются к виду: 17 Математическое моделирование / Mathematical modeling S-D-W+1 S-2 N (11) (12) (13) P(0,0) = Fa Z Z P(i,n + Z p(s - 1,n), n=0 n=1 i=D+W+n-2 S-D-W+i _ P(i,0) = Fo Z P(D + W + n - 2 - i, n), i = 1, D + W + N - S - 1, n=1 N P(i, 0) = Fo Z P(D + W + n - 2 - i,n),i = D + W + N - S,D - 2 . n=1 Из уравнений (7), (8), (12), (13), (4) находим P(i,n) = P(D - 1,n),i = D,D + n - 1, n = 1, N, P(i, n) = (1 - F0)'-D-n+1 P(D - 1,n), i = D + n, S - 1, n = 1, N, S-D-W+i _ P(i,0) = Fo (1 - F0 ) W-i-1 Z P(D - 1, m), i = 1, D + W + N - S - 1, m=1 N _ P(i, 0) = Fo (1 - Fo )W-i-1 Z P(D - 1, m), i = D + W + N - S, D - 2, m=1 (\\ N 1 - (1 - Fo )W-D+1 )Z P(D - 1, m) . m=1 Подставляя данные зависимости в (6), с учетом (5) получаем P(i, n) = b. . S-D-W+i S-D-W P(0,0) + (1 - Fo)W-I-1 Z P(D - l,m) - (1 - Fo)W-1 Z P(D - l,m) - S -D-W+i Z P( D - 1, m)(1 - Fo) m=S-D-W+1 m =1 S-D-m m=1 , i = 1, D + W + N - S - 1, n = 1, N. N S-D-W P(i, n) = bn P(0,0) + (1 - Fo)W-l-l Z P(D - 1,m) - (1 - Fo)W-1 Z P(D - 1,m) - m =1 m =1 S-D-m N Z P(D - 1, m)(1 - fo ) m=S-D-W+1 i = D + W + N - S, D - 2, n = 1, N. P(D - 1, n) = b S-D-W P(0,0) + (1 - (1 - F0)W-1) “Z P(D - 1,m) + m=1 n = 1, N. N / \\ + Z P(D - 1,m)(1 - (1 - Fo)S-D-m ) m=S-D-W+1 Далее последовательно для n = 1, S - D - W выражаем P(D - 1, n) через вероятности состояний P(D - 1,m) , m = n +1,N и переписываем данное уравнение в виде: . S-D-W P(D - 1, n) = bn P(0,0) + (1 - (1 - FoW-1 ГУ' P(D - 1,m) + Z P(D - 1,m)(1 - (1 - Fo)s-D-m) v ' m=S-D-W+1 v 7 m=n+1 n 1-(1-(1-Fo)W-1 )z^ b, n=1N. (14) m=1 m , S-D-W 1-(1-f0 )W -1 Z bm L m=1 При n = S-D - W отсюда приходим к P(D - 1, S - D - W) =--S-D-W N / \\ P(0,0) + Z P(D - 1, m) (1 - (1 - Fo )S - D-m ) m=S-D-W+1 V ' Подставляя данное соотношение в (14), далее для значений n от S-D - W-1 до 1 находим функциональные выражения для вероятностей состояний P(D - 1,n) через P(0, 0) и P(D - 1, m), m = S - D - W +1, N и упрощаем уравнение (14) до 18 Михеев П.А., Поддубный В.В., Приступа П.В. и др. Быстродействие транспортного протокола P(D -1, n) bn N f , P(0,0) + Z P(D -1, m) (1 - (1 - Fa)5~D~m) ._m=S-D-W+1_ , ... l4S - D-W 1 -(1 - (1 - F0 )W-1 ) Z bm m=1 (15) n = 1, N . Отсюда последовательно для n = S - D - W +1, N получаем К N t \\ P(D -1, n) = ■ P(0,0) + Z P(D -1, m) (1 - (1 - F0 )S-D-m ) m=n+1 1 -(1 - (1 - Fo )W-1) S"Z W bm - Z bm (1 - (1 - Fo )S-D-m ) m=1 m=S-D-W+1 Из данного соотношения последовательно для n от N до S-D-W+1 с учетом (15) окончательно выражаем P(D - 1, n) P(D -1, п) через вероятность начального состояния P(0, 0) и согласно ранее найденным зависимостям получаем вероятности состояний цепи Маркова: P(i,0) = р(0 m S-D-W+ i S-D-W N P(0,0) T7 ГЛ T7 \\W-i-1 ^ L Y7 n T7 \\W-1 ^ L , L ГЛ T7 \\S-D-m E ~F0(1 - Fo)W Z bm , E = (1 - Fo, )W -1 Z bn m=1 m=1 ■ Z bm (1 -Fo)S m=S-D-W+1 (16) i = 1, D + W + N - S -1. P(i, 0) = P(0,0) Fo (1 - Fo)W-l-1, i = D + W + N - S,D - 2, E P(D -1,0) = (1 - (1 - Fo )W-D+1) (17) P(i, n) = P(0,0) b„ E P(0, n) = P(0,0)bn, n = 1, N (1 - F0) S-D-W + i чw"l"l z b m=1 N Z bm (1 - Fo) m=S - D-W+i+1 S-D-m i = 1, D + W + N - S -1, n = 1, N , P(i, n) = P(0,0) bn (1 - F0 )W-i-1, i = D + W + N - S, D - 2, n = T^N , E P(i, n) = -( , ) bn , i = D -1, D + n -1, n = 1, N , E P(i,n) = PMbn (1 - F0)i-D-n+1, i = D + n, S -1, n = 1N . E Вероятность начального состояния, найденная из условия нормировки, имеет вид: P(0,0) = FoE[1 + F0 (1 + N) + (1 - Fo)W-D+1 - N S-D-W N -Z bm (1 - Fo )S-D+-m - (1 - Fo )W Z bm-(1 - Fo (D + w + N - S)) z bm (1 - Fo )S-D-n m=1 m=1 m=S-D-W+1 (18) (19) (20) (21) (22) Нетрудно убедиться в том, что данное распределение сшивается с полученным ранее распределением для ограничений снизу на длительность тайм-аута при S = D + W+N -1. Проанализируем процесс информационного переноса в транспортном соединении при размере скользящего окна, не превышающем длительность круговой задержки (W < D), и интервальных ограничениях на длительность тайм-аута и максимальный размер очереди вида D + W -1< S < D + W+N -1, 1 < N < W- 2 . При данных условиях уравнение (2) исходной системы уравнений равновесия (2)-(8) S-D-W+1 S-2 N преобразуются к P(0,0) = F0 Z Z P(i,n) +Z P(S -1,n). Уравнение (3) переопределяется n=1 i=D+W+n-2 n=0 соотношениями (12) и (13). При этом уравнение (13) справедливо для множества индексов 19 Математическое моделирование / Mathematical modeling i = D + W + N - S, W -1. Уравнение (4) принимает вид P(D -1,0) = 0, уравнение (6) выполняется для i = 1, W -1, n = 1, N , уравнение (7) - для i = W, D + n - 1, n = 1, N . Стационарные вероятности состояний цепи Маркова, описываемой данными уравнениями, с точностью до вероятности начального состояния принимают вид (16)-(22), но выражения (17) и (20) справедливы для индексов i = D + W + N - S, W -1, а (21) - для i = W -1, D + n -1. Согласно условию нормировки начальное состояние определяется соотношением P(0,0) = F0El N 2 + Fo (D - W + N) -X bm (1 - Fo) m=1 S-D-W S-D+l-m _ m=1 N bm - X bm (1 - Fo ) m=S-D-W+1 S - D-m+1 При S = D + W+N -1 данное соотношение для P(0,0) совпадает с (10). Найдем вероятности состояний цепи Маркова при ограничениях W > D, D + W -1 < S < W + N +1, D - 2 < N < W - 2 либо W > D, D+N+1< S < W+N+1, 1 - 2 < N .В данных условиях уравнение (2) исходной системы уравнений локального равновесия принимает вид (11), уравнение (3) - вид (12), но _ S-W-1 W + n-1 для множества состояний i = 1, D - 2 , а уравнение (4) - вид P(D -1,0) = X X F0P(i, n) + n=1 i=D+n-1 N S-2 + X X F0P(i, n) . Принцип поиска решения полученной системы уравнений повторяет послеn=S-Wi =D+n-1 довательность действий для рассмотренных ранее ограничений W > D, D + W -1< S < D + W+N -1, 1 < N< D-2 . Тогда вероятности состояний цепи Маркова принимают вид: S-D-W+i P(i,0) = Щ^Ео (1 - Fo f-1-1' X bm , i = 1, D - 2 ; E P(D -1,0) = P(0,0) m=1 S-W -1 N E 1 - (1 - F0 )W -D+1 X bm - X bm (1 - Fo ) m=1 m=S-W S-D-m Piu n) = K E (1 - Fo) W-i-1 . S-D-W+i N X bm + X bm (1 - Fo) m=1 m=S - D-W+i+1 S-D-m i = 0, D - 2, n = 1, N ; P(i, n) = P(0,0) bn , i = D -1, D + n -1, n = 1, N ; E P(i, n) = bn (1 - F0 )1-D-n+1, i = D + n, S -1, n = VN ; E P(0,0) = F0EI ' _ S-W-2 S-D-W N mm m=1 m=1 1 + Fo (1 + N) + (1 - F0 )W-D+1 X bm - (1 - Fo )W X bm -X bm (1 - Fo m=1 S-W-2 - X m=S-D-W+1 N X m=S-W S-W-1 S-D-m X bm (1 - Fo )S-D-m + F\\(D -1) X bm (1 - Fo )S-D-m + X (D + W - S - m)bm (1 - Fo )SDm + m=S - D-W+2 N + X bm (1 - Fo )S-D-m + bm (1 - Fo )W-1 m=1 Перейдем к поиску вероятностей состояний цепи Маркова при ограничениях W > D, D + W-1< S D + W + N-1 окончательно получаем 21 Математическое моделирование / Mathematical modeling F Zc (W, S) = F N [i _ (i _ f )W _ wfo (1 - f )S_D_n+1 ] -N : , W < D; 2 + Fo (D _ W + N) _ (1 _ Fa)W _£bn (1 _ Fa)S-D-n+1 n=1 N Fo2(1 _(1 _Fo)W_D+1 )+Z-M[ 1 _(1 _Fo)W _ WFo(1 _Fo)S_D_n+l] _ n=1 n +1L_2 _ N ' 1 + F (N +1) + (1 _ F )W_D+1 _ (1 _ F )W _Eb(1 _ F)S_D_n+1 W > D. n=1 Для интервальных ограничений на длительность тайм-аута D + W _ 1< S < D + W+N _1 и размера очередей соперников 1 < N < D _ 2 быстродействие транспортного соединения в конкурентной среде передачи данных составит . , N S _D_W+1 b Zc (W, S) = Fn 1 F2 (1 _ (1 _ FFW_D+1 ” N N S _D_W+1 Jfo2(1 _(1 _f0)W_D+1 ) + eьп _ E -F[_f0 f + WF0(1 _f0[_и+1 ] L n=1 n=1 n + 1 j(1 _ Fo )S_D_n+1 [1 + Fo (S _ D _ n + 1)]j |1 + Fo (1 + N) + (1 _ Fo )W_D+1 _ (1 _ Fo )W _E bn (1 _ Fo) _D_n+1 n=S_D_W+2 n + 1 В случае абсолютно надежного обратного канала (Fo = 1) доступная полоса пропускания транспортного соединения при W < D в значительной мере определяется близостью ширины окна к длительно- F N b сти круговой задержки Zc (W, S) =-п-- E--, а для W > D - инвариантна к D Z (W, S) = Nn=1 n +1 F„ N b 1+У-n E n + 1. 2 + N симости вида: 2 + D _ W + N: . Неограниченная длительность тайм-аута (S ^да) при W < D приводит к зави- Zc (W,да) = Fn (1 _ (1 _ f )W )E Ғ _n=1 n + 1 2 + F (D _ W + N) _ (1 _ F )W а для неограниченно возрастающей ширины окна получаем Zc (да, да) = 1 + Fo (N +1) N f 2+E-no E n +1 Рис. 1. Зависимость доступной полосы пропускания от ширины окна при равномерном распределении длины очереди для различных значений N, D = 20, Fo = Fn = 0.7 и неограниченном размере тайм-аута Fig. 1. Dependence of the available bandwidth on the window width with a uniform distribution of the queue length for different values of N, D = 20, Fo = Fn = 0.7 and an unlimited timeout size 22 Михеев П.А., Поддубный В.В., Приступа П.В. и др. Быстродействие транспортного протокола Рис. 2. Зависимость доступной полосы пропускания от достоверности передачи данных при неограниченной ширине окна, D = 20, Fo = Fn = F, равномерном распределении (а) и различных значениях параметра P усеченного геометрического распределения длины очереди для N = 8 (b) Fig. 2. Dependence of the available bandwidth on the reliability of data transmission with an unlimited window width, D = 20, Fo = Fn = F, uniform distribution (a) and various values of the parameter P of the truncated geometric distribution of the queue length for N = 8 (b) Численный анализ показывает, что доступная транспортному соединению полоса пропускания для W > D практически инвариантна к длительности круговой задержки, ощутимо снижаясь от области насыщения при W = D и Fa < 1. В случае W < D доступная полоса пропускания недогружена и эффективная скорость передачи данных значительно снижается (рис. 1). С ростом конкуренции между абонентами за полосу пропускания тракта передачи данных средний размер очереди увеличивается и скорость информационного переноса быстро падает (рис. 2). 6. Выбор значений протокольных параметров Поскольку показатель пропускной способности при неограниченном росте протокольных параметров размера окна (W) и длительности тайм-аута ожидания квитанции (5) имеет зависимость в виде кривой с насыщением, то будем искать их рациональные значения из условия заданного уровня потенциальной пропускной способности в два этапа. В силу того, что протокольные параметры связаны неравенством S > W, на первом этапе определяется рациональный размер окна Wo из условия Z(W, ж) = ywZ(ж, да) , а на втором этапе - рациональная длительность тайм-аута So из условия Z(W, S) = ysZ(W,ж) = y^ysZ(ж, ж) . Здесь yw < 1 и y < 1 - заданные уровни пропускной способности по координатам W и S соответственно. При W > D, S > D + W+N-1 аналитические соотношения для рациональных значений параметров принимают вид: W = ln - ln(1 - Fo) F 2 1 ln(1 --o) (1 - yW )(1 + Fo (1 + N)) N f 2 +Y-bL o t! n +1 (1 - Fo )D N (1 + yW (1 - FoD-1) + Fo(1 + N)) + (yW + (1 - Fo)D-1 (1 - yW + Fo(1 + N) ln(1 - Fo )D-1 iy [ 1 + Fo (1 + N) + (1 - Fo )W-D+1 - (1 - Fo )Wo ] I Fo2 + X =1 n +1 '(n + 1)Fon _(1 + Fo (1 + N) )(1 - (1 - Fo )W)X -° - F? (1 - (1 -Fo )°)\\ / \\WFo (1 + Fo (1 + N) )X и=1 n + 1 J / I И=1 -y f2 + X-^ X-l . o Xn +1 JtrF0n 23 Математическое моделирование / Mathematical modeling где ... означает округление до большего целого, y = ywys. Для недогруженного транспортного соединения (W< D) из условия Z(W,So) = ysZ(W,да) определяется рациональная длительность тайм-аута N b _n_ *П + i 1 ln(l - F0) -ln- - N b (1 - ys )(1 - Fo )D-1 (2 + Fo (D - W + N) - (1 - Fo )W n=1 n + 1 N WFo (2 + Fo (D - W + N) - (1 - Fo)W )£ n 1(n +1)(1 - Fo)n NN -ys (1 - (1 - Fo )W)I ^ I n=1 n 1 n=1 (1 - Fo)n Заключение Проведен анализ процесса соперничества информационных потоков различных межабонентских соединений за полосу пропускания разделяемых участков пути. Предложена индикаторная модель транспортного соединения, конкурирующего за полосу пропускания отдельных участков маршрута, в виде двумерной цепи Маркова с дискретным временем, описывающей динамику очереди отправленных, но не подтвержденных протокольных блоков данных. Получено распределение состояний цепи Маркова при различных условиях функционирования транспортного соединения. Найдены аналитические зависимости быстродействия транспортного соединения для различных соотношений между параметрами транспортного протокола, характеристиками сетевых каналов и нагрузочными параметрами. Численные исследования доступной полосы пропускания транспортного соединения в селективном режиме повторной передачи показали, что скорость передачи между абонентами определяется достоверностью передачи данных, распределением длин очередей протокольных блоков в транзитных узлах и соотношением между длительностью круговой задержки и шириной окна. Из условия заданного уровня потенциальной пропускной способности найдены аналитические зависимости рациональных значений протокольных параметров. Направлением дальнейших исследований необходимо выделить задачу анализа эффективности применения процедур прямой коррекции ошибок на уровне транспортного протокола при конкурентном использовании сетевых каналов связи.

Скачать электронную версию публикации