Estimation by method of moments of the parameter of the uniform distribution of the duration of unextendable random dead.pdf В современных телекоммуникационных системах [1, 2] входящие потоки событий наиболее адекватно описывают дважды стохастические потоки событий - потоки, у которых случайными являются моменты наступления событий и интенсивность. Поэтому исследование дважды стохастических потоков является актуальной задачей. В общем случае дважды стохастические потоки событий являются коррелированными потоками [2]. Дважды стохастические потоки делятся на два класса: первый класс составляют потоки, сопровождающий процесс (интенсивность) которых есть непрерывный случайный процесс [3, 4]; второй -потоки, сопровождающий процесс (интенсивность) которых есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным (произвольным) числом состояний [5, 6]. В зависимости от того, каким образом происходит переход интенсивности из состояния в состояние, выделяется три типа дважды стохастических потоков: 1) синхронные потоки (потоки, у которых состояние сопровождающего процесса меняется в случайные моменты времени, являющиеся моментами наступления событий) [7-10]; 2) асинхронные потоки (потоки, у которых переход из состояния в состояние сопровождающего процесса происходит в случайные моменты времени и не зависит от моментов наступления событий) [11-14]; 3) полусинхронные потоки (потоки, у которых одна часть состояний сопровождающего процесса меняется в моменты наступления событий потока, другая часть состояний сопровождающего процесса меняется в произвольные моменты времени, не связанные с моментами наступления событий потока) [15-18]. На практике часто приходится иметь дело с потоками, у которых не все события доступны наблюдению. Как правило, причиной ненаблюдаемости служит мертвое время регистрирующих приборов [19], порождаемое зарегистрированным событием, так что другие события, наступившие в этот период, теряются. Регистрирующие приборы при этом делятся на два вида: с непродлевающимся мертвым временем и продлевающимся. Кроме того, длительность мертвого времени может быть как детерминированной величиной, одинаковой для всех событий, так и случайной с тем или иным законом распределения. В реальных регистрирующих устройствах величина и характер мертвого времени зависят от многих факторов, причем регистрирующие приборы обладают значением длительности мертвого времени, ограниченным сверху некоторой величиной. Переходя к случайному мертвому времени [19], вполне естественно рассматривать его распределение как равномерное на некотором отрезке. 48 Горцев А.М., Веткина А.В. Оценивание методом моментов параметра равномерного распределения В данной работе исследуется полусинхронный дважды стохастический поток событий с интенсивностью, являющейся кусочно-постоянным случайным процессом с двумя состояниями. На параметр потока накладывается условие, такое что исходный коррелированный поток вырождается в рекуррентный. Рассматривается два случая функционирования такого потока: общий и особый. Производится оценивание параметра длительности случайного мертвого времени, распределенного по равномерному закону. Для этого выводится аналитическая формула математического ожидания длительности интервала между соседними событиями наблюдаемого потока и находится оценка параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося случайного мертвого времени с использованием уравнения моментов. С помощью построенной имитационной модели наблюдаемого потока реализуются статистические эксперименты для получения численных результатов оценивания. 1. Математическая модель наблюдаемого потока. Постановка задачи Рассматривается стационарный режим функционирования полусинхронного дважды стохастического потока событий, сопровождающий процесс (интенсивность) которого есть кусочно-постоянный стационарный случайный процесс X(t) с двумя состояниями Si и S2. Будем говорить, что имеет место первое состояние процесса (потока) Si, если X(t) = ^1, и, наоборот, имеет место второе состояние процесса (потока) S2, если X(t) = Х2 > %2 - 0). Если имеет место первое состояние процесса Si, то в течение временного интервала, когда Х(і) = ^1, поступает пуассоновский поток событий с интенсивностью Xi. Если имеет место второе состояние процесса S2, то в течение временного интервала, когда X(t) = ^2, поступает пуассоновский поток событий с интенсивностью ^. Переход из состояния Si процесса X(t) в состояние S2 возможен только в момент наступления события (свойство синхронности потока), при этом этот переход осуществляется с вероятностью p (с вероятностью i - p процесс X(t) остается в состоянии Si). Переход из состояния S2 процесса X(t) в состояние Si может осуществляться в произвольный момент времени, не связанный с моментом наступления события (свойство асинхронности потока). При этом длительность пребывания процесса X(t) во втором состоянии есть случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону F(t) = 1 - e~ait, t - 0 , где а2 - интенсивность смены состояния S2 на Si. Так как переход из второго состояния в первое не привязан к моменту наступления события во втором состоянии, то поток называется полусинхронным дважды стохастическим потоком событий. В сделанных предположениях Х(і) - скрытый марковский процесс (X(t) -принципиально ненаблюдаемый процесс; наблюдаемыми являются только моменты наступления событий потока). После каждого зарегистрированного события в момент времени tk наступает период мертвого времени случайной длительности, который порождается этим событием, так что другие события исходного потока, наступившие в течение этого периода мертвого времени, недоступны наблюдению и не вызывают его продления (непродлевающееся мертвое время). Принимается, что случайная длительность мертвого времени распределена по равномерному закону с плотностью вероятности p(T) = 1/ T*, где T - значение длительности мертвого времени, 0 < T < T*. Исследуется частный случай функционирования полусинхронного потока событий, когда p = i, т.е. такой поток, который при каждом наступлении события в первом состоянии мгновенно переходит во второе. При выполнении данного условия исходный поток, действующий в условиях детерминированного мертвого времени, становится рекуррентным потоком: Р (т1, т2 I T) = Р (т1 1 T) P (т2 1 T), т1 - T, т2 - T, где p (т IT) - плотность вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в полусинхронном потоке, p(тІ5т2 | T) - совместная плотность вероятности [20. С. 254]. Вместе с тем рассматриваются общий и особый случаи соотношения параметров данного потока: когда Я1 - Х2 - а2 ф 0 и когда А,1 - Х2 - а2 = 0. 49 Обработка информации / Data processing Возможный вариант возникающей ситуации приведен на рис. 1, где S1 и S2 - состояния случайного процесса X(t); временная ось (0, t) - ось моментов наступления наблюдаемых событий в моменты времени tr, t2, ...; временная ось (0, t®) - ось наступления событий в моменты времени t\\^, t2^,... в первом (S0 состоянии процесса Ц0, на которой также указаны значения длительностей T(1), т2^. мертвых времен, порождаемых наблюдаемыми событиями потока; аналогично для временной оси (0, t-2-1); белыми кружками обозначены наблюдаемые события, черными - ненаблюдаемые, штриховкой - периоды мертвого времени; траектория процесса X(t) привязана к временной оси (0, t-1-). Рис. 1. Формирование наблюдаемого потока событий Fig. 1. Formation of the observed event flow Цели данной работы: 1. На основании выборки моментов наступления событий tx,t2,...,tn наблюдаемых потоков в общем и особом случаях на временном интервале (0, Tm), где Тт - время наблюдения за потоком (tn < Tm), оценить параметр равномерного распределения длительности непродлевающегося случайного мертвого времени T*. 2. Исследовать оценку T* для общего и особого случаев рассматриваемого потока. Для этого провести статистические эксперименты, устанавливающие стационарный режим и определяющие свойства полученных оценок. 2. Уравнение моментов для оценивания параметра T Введем xk = tk+1 - tk, k = 1,2,..., - значение длительности к-го интервала между соседними событиями наблюдаемого потока (тк > 0) . Так как рассматривается стационарный режим функционирования наблюдаемого потока, то плотность вероятности значений длительности к-го интервала есть p(тк ) = p(т) , т> 0 , для любого к, т.е. момент наступления события есть т = 0. Для оценки неизвестного параметра T* равномерного распределения длительности случайного непродлевающегося мертвого времени используется метод моментов [21]. Для этого находится теоретический момент - математическое ожидание случайной величины т (длительность интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке) M (т | T *), после чего ММ-оценка параметра Т находится численно из уравнения моментов M(т | T*) = C, где C - выборочное среднее, n „ C = (1/ n) 2 Тк, Тк = tk+1 - tk > 0, являющееся оценкой математического ожидания M (т | T ). к=1 Из работы [20] имеем, что плотность вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в полусинхронном потоке, функционирующем в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности T, в общем случае имеет вид: 50 Горцев А.М., Веткина А.В. Оценивание методом моментов параметра равномерного распределения где y(T) = a Р (x I T) = ■ [О, 0 T, 2 (^1 ^2 a2 \\p) (1) p (^1 ^2 ) X1 -A,2 -a2 ^ 0; x1, x2 - смеж- 1-- (1-p )X 2-(a2 + ^2 ) ep+a2 )T ные интервалы между наблюдаемыми событиями. Для обобщенного полусинхронного потока событий с непродлевающимся мертвым временем фиксированной длительности T в особом случае Я1 - А,2 -a2 = 0 справедливы формулы Г 0,0 < x < T, p(X|T-a2(1-5)^2(T)(1-^ (x-T))]e(x-T), x>T, (2) 1_ f (a2 + pX0T (hP + a2 )(^1 -^ 2-a 2 ) где к2 (T) = к2 - |^7x2 -к2 (0| T)]e (a2+pXl1T, к p^1 2 = , Л , к2 a2 + pk1 (0|T)= p%1 -к2 [a2 (1 - p + 5p )-^1 (1 - p )] *1 + [a2 (1 - p + 5p) - ^1 (1 - p)]e"(a2+РХі)Т 5 - вероятность инициирования дополнительного события при переходе процесса Ці) из второго состояния в первое (0 < 5 < 1) . Подчеркнем, что внесение непродлевающегося случайного мертвого времени в математическую модель полусинхронного потока событий может только изменить (в меньшую или большую сторону) корреляцию в потоке по сравнению с ситуацией отсутствия мертвого времени (T* = 0) либо с ситуацией наличия детерминированного мертвого времени (T > 0), но не устранить ее полностью. Тогда искомая плотность вероятности p(x) примет вид p(x) = J p(x,T)dT =J p(T)p(x IT)dT , (T) (T) где p(x,T) - совместная плотность вероятности значений т и Т; условная плотность вероятности p(x | T) определяется выражениями (1) и (2) для общего и особого случаей соответственно при подстановке параметров р = 1 и 5 = 0; равномерная плотность p(T) определена в разделе 1; (T) - область интегрирования значений случайной величины - длительности непродлевающегося случайного мертвого времени. Отметим, что внесение непродлевающегося случайного мертвого времени в математическую модель для случая рекуррентного потока, когда p = 1 и 5 = 0, оставляет наблюдаемый поток в классе рекуррентных потоков. Область значений случайной величины мертвого времени представляет собой объединение двух областей, когда 0 < x < T и когда x > T , поэтому выражение для плотностир(т) имеет следующий вид: x A(x) = J p(T) p(x IT )dT, 0 T . 0 Подставляя выражение (1) при p = 1 в (3) и учитывая, что p(T) = 1/ T , 0 < T < T* для общего случая - Х2 - a2 ^ 0, находим p(x) = ^{1 -e^x-e“(^ +a2)x+ e_(^2 +a2)xJ, 0 0. (9) Аналитически доказано, что математическое ожидание M(т | T ), определяемое формулой (8) для общего случая и формулой (9) для особого случая, является возрастающей функцией переменной (параметра) T* (T * > 0). Из этого следует, что уравнение моментов M(т | T*) = C имеет единственное решение. Уравнение моментов может не иметь решения только в одном единственном случае, когда C < M(т | T* = 0) , тогда принимается T* = 0. При этом оценки, получаемые методом моментов, являются состоятельными (выполнены условия теоремы о состоятельности оценок [21]). 3. Результаты статистических экспериментов для наблюдаемого потока Для установления стационарного режима и определения свойств найденных оценок проведены статистические эксперименты. Первый статистический эксперимент (установление стационарного режима). Было получено 100 реализаций (N = 100) имитационной модели наблюдаемого потока для общего и особого случаев при T* = 1; 3 и Тт = 50, 100, ..., 1 500. Далее для каждого набора параметров было получено 100 решел ний уравнения моментов методом простой итерации при s = 0,0001, AT = 0,001. Каждое i-е решение есть значение оценки 7, . і = 1,...,100, параметра Т*. Заданный набор параметров для рекуррентного полусинхронного потока в общем случае: Хі = 2, Х2 = і, а2 = 0,2; в особом случае: Хі = 2, Х2 = 1,8, а2 = 0,2. На основании полученных данных вычислялись выборочное среднее искомых оценок „ 1 n 1 N * M(Т ) = - 2 T и их выборочная вариация V(Тг) = - £ (T - T ) , где Т - известное из имитаци- N i=1 N i=1 онной модели значение параметра. В табл. 1 приведены результаты для общего случая наблюдаемого потока при Т = 1. В первой строке таблицы указано время моделирования Тт (время наблюдения за потоком) (Тт = 50, 100, ... , 2 000 ед. времени); во второй и третьей строках - выборочное среднее Ad(Т ) и выборочная вариация V(Г*) для Т = 1. 52 Горцев А.М., Веткина А.В. Оценивание методом моментов параметра равномерного распределения Таблица 1 Численные результаты первого статистического эксперимента для T = 1, общий случай Для наглядности на рис. 2 и 3 приведены графики зависимостей Ad(Т ) и V(Т*) от значения времени моделирования Tm для T = 1, построенные по данным табл. 1. Рис. 2. График зависимости M(Т ) от Tm при T = 1 в общем случае Fig. 2. Plot of M(T ) versus Tm with T = 1 in general case Рис. 3. График зависимости V(Г) от Tm при T = 1 в общем случае Fig. 3. Plot of V(Т*) versus Tm with T = 1 in general case В табл. 2 приведены результаты для общего случая наблюдаемого потока при T = 3. Структура табл. 2 аналогична структуре табл. 1. 53 Обработка информации / Data processing Т аблица 2 Численные результаты первого статистического эксперимента для T = 3, общий случай На рис. 4 и 5 приведены графики зависимостей M(Т ) и V(Т*) от времени моделирования Tm для T = 3, построенные по данным табл. 2. Рис. 4. График зависимости M(Т ) от Tm при T = 3 в общем случае Fig. 4. Plot of M(T ) versus Tm with T = 3 in general case 0 200 400 600 800 M03 1.2xl03 1.4xl03 1.6*103 l.g^lO3 Рис.5. График зависимости V(i ) от Tm при T = 3 в общем случае Fig. 5. Plot of V(Т*) versus Tm with T = 3 in general case Из анализа результатов первого статистического эксперимента следует, что для рекуррентного полусихронного потока событий в общем случае справедливо: 54 Горцев А.М., Веткина А.В. Оценивание методом моментов параметра равномерного распределения 1) стационарный режим функционирования потока устанавливается при Тт > 1600 ед. времени, так как выборочное среднее M(Т ) стремится к постоянному значению, когда Тт > 1600 ед. времени; 2) оценка T является смещенной оценкой; причиной смещения оценки T (Т*< Т*) относительно истинного T (известного из имитационной модели) является то, что значения случайного мертвого времени Т сосредоточены около теоретического среднего (T72). Результаты первого статистического эксперимента для особого случая приведены в табл. 3, 4 для T = 1 и T = 3 соответственно, а также на рис. 6, 7 и 8, 9 для T = 1 и T = 3 соответственно. Таблица 3 Численные результаты эксперимента для T = 1, особый случай Рис. 6. График зависимости M(Т) от Tm при T = 1 в особом случае Fig. 6. Plot of M(f") versus Tm with T = 1 in special case Рис. 7. График зависимости V(T) от Tm при T = 1 в особом случае Fig. 7. Plot of V(Т') versus Tm with T = 1 in special case 55 Обработка информации / Data processing Т аблица 4 1 650 1 700 1 750 1 800 1 850 1 900 1 950 2 000 2,9049 2,9109 2,9028 2,9065 2,9033 2,9048 2,9070 2,9101 0,0125 0,0144 0,0138 0,0118 0,0128 0,0128 0,0130 0,0121 Рис. 8. График зависимости M(Т) от Tm при T = 3 в особом случае Fig. 8. Plot of MM(Т*) versus Tm with T = 3 in special case Рис.9. График зависимости V(т ) от Tm при T = 3 в особом случае Fig. 9. Plot of V(Т*) versus Tm with T = 3 in special case Численные результаты эксперимента для T = 3, особый случай Tm 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 M ( Т *) 2,9409 2,9383 2,9173 2,8994 2,9050 2,9087 2,9050 2,9146 2,9075 2,9096 V (т *) 0,1629 0,0890 0,0537 0,0484 0,0359 0,0350 0,0356 0,0283 0,0186 0,0262 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1 000 1 050 2,9019 2,8999 2,9134 2,9057 2,9028 2,9063 2,9125 2,9011 2,9013 2,9032 2,9070 0,0218 0,0198 0,0219 0,0185 0,0218 0,0181 0,0190 0,0162 0,0175 0,0163 0,0155 1 100 1 150 1 200 1 250 1 300 1 350 1 400 1 450 1 500 1 550 1 600 2,9070 2,9056 2,9038 2,9107 2,8707 2,9058 2,9043 2,9023 2,9037 2,9013 2,9058 0,0151 0,0144 0,0163 0,0164 0,0244 0,0144 0,0138 0,0129 0,0147 0,0131 0,0163 Аналогично для особого случая рассматриваемого потока следует, что: 1) стационарный режим функционирования потока устанавливается при Тт > 1300 ед. времени; 2) оценка T является смещенной оценкой. 56 Горцев А.М., Веткина А.В. Оценивание методом моментов параметра равномерного распределения Второй статистический эксперимент (исследование влияния параметра Т на качество оценок). Второй статистический эксперимент поставлен при фиксированном времени моделирования, равном времени установления стационарного режима, полученному из первого статистического эксперимента. Варьирует параметр T = 1, 2, 3, 4, 5 остальные параметры принимаются такими же, как и в первом эксперименте. Результаты второго статистического эксперимента для общего случая рассматриваемого потока приведены в табл. 5 (Тт = 1 600 ед. времени). Таблица 5 Численные результаты второго статистического эксперимента, общий случай T 1 2 3 4 5 M (? ) 0,9085 1,9106 2,91 3,9152 4,9104 V (Т') 0,0106 0,0106 0,016 0,0247 0,0413 На рис. 10, 11 приведены графики зависимости выборочного среднего M(Т ) и выборочной вариации V(Т ) от параметра Т = 1, 2, 3, 4, 5, построенные по данным табл. 5. Рис. 10. График зависимости M(Т ) от Т в общем случае Fig. 10. Plot of M(T ) versus Т in general case Рис. 11. График зависимости V(т ) от Т в общем случае Fig. 11. Plot of V(т ) versus Т in general case Результаты второго статистического эксперимента для особого случая приведены в табл. 6 (Tm = 1 300 ед. времени), а также на рис. 12, 13. Т аблица 6 Численные результаты второго статистического эксперимента, особый случай T 1 2 3 4 5 M (f*) 0,8761 1,8795 2,886 3,8805 4,8837 V (f*) 0,0185 0,0187 0,0265 0,0350 0,0512 Рис. 12. График зависимости M(і ) от Т в общем случае Рис. 13. График зависимости V(т ) от Т в общем случае Fig. 12. Plot of M(T ) versus Т in general case Fig. 13. Plot of V(i ) versus Т in general case 57 Обработка информации / Data processing Данный эксперимент демонстрирует тот факт, что при увеличении значений параметра равномерного распределения мертвого времени T увеличивается выборочная вариация оценки. Это объясняется тем, что при больших значениях T увеличивается число потерянных событий исходного потока и, как следствие, ухудшается качество оценивания. Заключение В данной работе рассмотрен рекуррентный полусинхронный дважды стохастический поток событий в общем и особом случаях соотношения его параметров с непродлевающимся случайным мертвым временем, распределенным по равномерному закону. Аналитически получены формулы (4), (5), определяющие плотность вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке при случайном мертвом времени для общего случая A,j - Х2 - а2 а 0 и аналогичные формулы (6), (7) для особого случая Х1-Х2-а2= 0; выведены формулы (8), (9) для математического ожидания длительности интервала между соседними событиями для общего и особого случая соответственно. Методом моментов найдены состоятельные ММ-оценки параметра T равномерного распределения длительности случайного мертвого времени; полученные оценки экспериментально исследованы на качество. Приведенные результаты численных расчетов указывают на приемлемое качество оценивания.

Скачать электронную версию публикации