Problem of advertisement management for production and marketing of goods. .pdf В настоящее время разрабатывается новое научное направление - динамическая экономика, когда в качестве математических моделей экономических процессов выбирается система дифференциальных или разностных уравнений. Для задач производства, хранения и сбыта товаров достаточно удачной является модель, первоначально изложенная в [1], а также уточненная в [2]. В настоящей работе проводится дальнейшее обобщение этой модели, связанное с включением в задачу проблемы влияния рекламы на темп продажи товара. В отличие от [3] рассматривается более адекватная математическая модель влияния рекламы. Получено решение задачи, а также сформулированы необходимые и достаточные условия его существования. Для простоты решения рассматривается упрощенная модель при неограниченном спросе и отсутствии затрат на хранение товара.1. Постановка задачиПусть z(t) - количество товара на складе производителя. Изменение этой величины можно описать уравнениемz = u - P, z(0) = 0, (1)где u(t) - темп производства, P(t) - темп продажи, т.е. u(t)At - количество товара, произведенного за время At, P(t) At - количество товара, проданного за это же время. Для простоты изложения будем рассматривать задачу для товара неограниченного спроса. В этом случае функция P(t) не зависит от количества товара у покупателя и ее, согласно [1, 2], можно выбрать в видеP(t) = bz(t)exp{-c},где c(t) - цена единицы товара, b - некоторый коэффициент, который определяет привлекательность товара для покупателя. Последнее может включать в себя просто какие-то знания о товаре и его свойствах. Коэффициент b может быть малым и даже b = 0, например, когда в продажу поступает совершенно новый товар. В подобном случае темп продажи оказывается малым и товар будет плохо продаваться. Цель включения рекламы состоит в увеличении привлекательности товара. В самом простом варианте можно положить b(v) = b + kv, где b - привлекательность товара без рекламы, v - затраты на рекламу, k - некоторый коэффициент эффективности рекламы. Например, коэффициент k зависит от качества рек-ламных роликов, а затраты v определяют частоту показа этих роликов по телевидению. В результате темп продажи становится равнымP(t) = (b + kv)z(t)exp{ - c}. (2) Пусть весь процесс продолжается в течение некоторого интервала времени [0,7]. Тогда общая прибыль производителя товараtJ = j[c(t)P(t) - u(t) - v(t)]dt. (3)0Для уточнения отметим, что v(t) - темп затрат на рекламу, т.е. v(t) - количество At средств, затраченных на рекламу за время At. Произведение r = kv можно рассматривать как эффективность рекламы. Количество товара z(t) определяется в стоимостном выражении. Поэтому цена единицы товара c(t) должна быть безразмерной. Если c = 1, то товар продается по себестоимости. Здесь и далее все величины не могут быть отрицательными. Будем также предполагать, что должны выполняться условия0 < u (t) < u0, 0 < v(t) < vo, (4)где и0 - максимально возможный темп производства, v0 - максимально возможный темп затрат на рекламу.В результате получается задача из теории оптимального управления: найти такие функции или управления c(t), u(t) и v(t) на интервале времени [0,77], удовлетворяющие условиям (4), при которых функционал (3) максимален. Далее под существованием решения задачи будем понимать не только существование решения, но и то, что функционал (3) положителен.2. Применение принципа максимума Л.С. ПонтрягинаВведем вспомогательную переменную p(t) и на основании (1) и (3) составим функцию ГамильтонаH(z, p, и, c, v) = /?(и - P)-cP + и + v = и(р + 1) + v - (c + p)P. (5) Минимум функции H по c(t) с учетом (2) достигается приc(t) = 1 - pt). (6) Подставляя (6) в (5) и (2), получаем, чтоH(z,p и, v) = и(р + 1) + v - P, P(t) = bo(v) z(t) exp{p}, (7) где b0(v) = b(v)/e = b0 + k0v, b0 = b/e, k0 = k/e.Минимум функции H по и с учетом (4) достигается приГ 0, если p{t) >-l, (в) u(t) =< (8) [u0, если p(t)

Скачать электронную версию публикации