Mathematigal model of incomercial fund functioning under the twice stohastic payments flow .pdf Под некоммерческим фондом понимается организация, созданная для сбора и распределения денежных средств без получения прибыли. Построению и исследованию моделей некоммерческих фондов посвящены, например, работы [1 - 4]. Среди некоммерческих фондов особую группу составляют так называемые государственные внебюджетные фонды РФ. Основная особенность деятельности этих фондов состоит в том, что поступление и расходование средств внебюджетных фондов определяется законодательством, которое устанавливает не только размеры страховых взносов, но и временные границы перечисления средств в фонды. Так, в настоящее время перечисление средств во внебюджетные фонды должно осуществляться до 15 числа месяца, следующего за отчетным. Этот факт приводит к тому, что интенсивность потока страховых платежей имеет существенно различные значения в первой и второй половине месяца. В то же время моменты изменения интенсивности потока зависят от многих случайных факторов и не могут рассматриваться как детерминированные. Подходящей моделью является дважды стохастический пуассоновский поток [6] c двумя состояниями интенсивности X = Xj и X = X2.Основной характеристикой состояния фонда является его капитал s(t) в момент времени t. В работе предполагается, что с капиталом фонда могут происходить следующие изменения:1. В фонд поступают денежные средства. Поступающие денежные суммы (премии) являются независимыми одинаково распределенными величинами с экспоненциальным распределением(1)Будем считать, что моменты поступления денежных средств образуют дважды стохастический пуассоновский поток с переменной интенсивностью X(t), которая может принимать два значения X(t) = Xj и X(t) = X2. Переход из состояния X(t) = Xj в состояние X(t) = X2 за малое время At происходит с вероятностью aJAt+o(At), а из состояния X(t) = X2 в состояние X(t) = Xj с вероятностью а2Дг+о(Дг). Финальные вероятности состояний X(t) = Xj и X(t) = X2 равны соответственно(2)4 -> п22. Фонд расходует поступившие денежные средства. Будем считать, что расходование денежных средств происходит непрерывно во времени со скоростью b(s), так что за время Дt выплата составляет Ь(?)Дг. Предполагается, что управление расходованием денежных средств имеет релейный характер т.е.Ъ0) = \ (3)для некоторого порогового значения капитала s0. Так как фонд не имеет цели получения прибыли, будем считать, чтоЬ0 = (1 -9) Х0 a, b = (1 + 9) Х0 a, (4)гдеX0 = - (5)at +a 2- средняя интенсивность потока страховых выплат и 0 < 0 < 1. Таким образом, при s < s0 фонд расходует в среднем меньше, чем собирает, а при s > s0 расходует в среднем больше, чем собирает.Наконец, будем считать, что при s < 0 фонд не прекращает своей деятельности, но наступает период неплатежеспособности фонда, обязательства фонда выполняются по мере поступления денежных средств.2. Плотность распределения капиталаОбозначим p(s, t) - плотность распределения вероятностей капитала фонда s в момент времени t при условии, что интенсивность поступления денежных средств X(t) = X,, i = 1,2. Рассмотрим два близких момента времени t и Пусть в момент времени t+Дt Х(+Д/) = Xj и капитал фонда s(t) = s. Тогда на интервале времени длиной Д1 могли произойти следующие события:1..Интенсивность X(t) = Xj не изменилась, и денежные средства не поступали, т.е. Дs = -b(s^t. Вероятность этого события равна(1 - o^t)(1 - ?цД0 = 1 - (aj + Xj^t + o(Дt).2..Интенсивность X(t) = Xj не изменилась, имеются денежные поступления, т.е. Д = -b(s^t + x. Вероятность этого события равна(1 - ajДt)XjДt + о(Д/) = XjДt + o(Дt).3..Интенсивность X(t) перешла из состояния X(t) = X2 в состояние X(t) = Xj и Д = -b(s^t (денежные средства не поступали). Вероятность этого события равнаа2Д(x)dx + а[Л (s,t).dtds 0Рассмотрим далее стационарный случай. Пусть pi (s) = lim pi (s, t), i = 1,2 . Перенесем начало отсчета в точку s = s0. Тогда для _pj(s) и _p2(s) в области s < 0 справедливы уравненияb0 dP^S = («i + xi) Pi (s) -Xi J Pi (s - х)ф( x)dx + a 2 p (s),0bo -^1^ = (a2 + X2)p (s) -X2 JP2(s - *M+ aiP(s), (7)0а в области s > 0b dpi (s) 1 ds; (ai + Xi)pi (s) -Xi Jp (s - х)ф(x)dx - a2p (s),0bi dP2 (s)0Кроме того, плотности p(s) должны удовлетворять условиям нормировкидаjр^(s)ds = 71;, i = 1,2 . (9)-соРешение системы (7) в области s < 0 будем искать в видер (s) = \ekk + A2/2 2, р2 (s) = B,«*s + B2ek-S, (10)где ki, k2 > 0. Подставляя (10) в (7) и приравнивая коэффициенты при ekl", eklS, получим систему уравнений для определения A1, A2, B1, B2:A (ro (k, Xi)) + a2Bx = 0, BX (r0 (k, X2)-a2) + oq A = 0,A2 (r0 (k2, X1)-a1 ) + a2 B2 = 0 B2 0b (k2 'X 2 ) - a2 ) + a1 A2 = 0гдеr,(k,X) = k(о, --^-), i = 0,1 .(12)1 + kaПервая пара уравнений из (11) образует однородную линейную систему относительно A1, A2. Для существования нетривиального решения системы ее определитель должен быть равен нулю, т.е.Д = (г0 (кг, Хг)-a1)(r0 (кг, Хг)-щ)-ага2 = 0илиro (ki,Хг)г0 (кг,X2) -агг0 (ki,X2) - a2r0(kx,Xx) = 0 .Условие существования нетривиального решения второй пары уравнений системы (11) имеет вид (13), где k1 заменяется на k2. Таким образом, k1 и k2 должны быть положительными корнями уравненияzf0 (z) = r0 (z X1 )r0 (z> X2 ) - a1r0 (z> X2 ) - a2r0 (z> X1) = °>гдеfo(z) = zfbo -^-Ybo --bfL] _0l Гb0 -^Va2 Гb0 --+fL). (14)^ 1 + z- Д 1 + z- У Г 1 + za ) Г 1 + za )Исследуем функцию/0(z). При z - oo /0(z) - oo, а при z» /0(z)--oo. Далее, /о (0) = -ai (bo "X2a) -a2(bo "Xia)или, с учетом (4) и (5),f0 (0) = (alX2 + a2kl )aQ> 0. Пусть z - корень уравненияai ( bo--r22L ) + a2 Гbo -7^a- ) = 0. Г 1 + za ) Г 1 + za )Тогдаz = -°0 => 0ab0 (1 -9) aиf (z) =dT"^< 0 ,так как либо X1 < X0, либо X2 < X0. Отсюда следует, что уравнение fo(z) = 0 имеет три корня: k0 < 0; k1, k2 > 0 и, следовательно, решение в виде (10) существует. При этом из системы (11) коэффициенты B1, B2 могут быть выражены следующим образом:B = v(b0,k)A, в2 = v(bo,k2)A2,(15)гдеv(b'k) = -7^/4 / .(16)b(l + ak) -k2 aРассмотрим теперь область s > 0. Решение системы (8) будем искать в видеp (s) = Cxem + C2em, p (s) = Dxem + D2em s, (17)где m1, w2 < 0. Подставляя (17) в (8) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях экспоненты, получим следующую систему для определения C1, C2, Di, D2:C1(r1(m1,X1)-a1) + a2D1 = 0, D1(r1(m1,X2)-a2) + alCl = 0,C2, Xj )) + a2 D2 = 0, D2 (ri (m2, X2 )-a 2 ) + a1C2 = 0 (18)где r,(w,X) определено в (12). Аналогично предыдущему случаю, первая и вторая пары уравнений системы (18) имеют нетривиальное решение, если m1, m2 являются корнями уравнения /1(z) = 0, где /1(z) определяется соотношением (14) с заменой b0 на b1. Можно показать, что уравнение /i(z) = 0 имеет три корня m1, m2 < 0, w3 > 0 и, следовательно, решение системы (8) в виде (17) существует. При этом из системы (18) коэффициенты D1, D2 могут быть выражены в видеd = v(bx,m)Ci, D2 = v(bx,m2)c2 .(19)Получим теперь недостающие уравнения для определения коэффициентов решений (10) и (17). Во-первых, решения (10), (17) в точке s = 0 должны удовлетворять условиям сшиванияp (s) = СхеЩ1 + C2em, p2 (s) = Dxem + D2em,A1 A2(20)где pi(-x) при x > 0 определяются формулами (10), а /7,(0+0) формулами (17). Откуда получаемD,D2В, В2C1 . C21 + am1 1 + am2 1 + ak1 1 + ak2 1 + яш1 1 + яи2 1 + ak1 1 + ak2Наконец, условия нормировки (9) даютml m2 kx k2BBDi D2m1m2k1k2(21)Таким образом, для построения решения необходимо определить корни многочленов f0(z) иfi(z), а затем решить систему линейных уравнений (11), (18), (20), (21), которая соотношениями (15) и (19) сводится к системе из четырех уравнений. Явный вид получившегося решения не приводится ввиду его громоздкости.0 -10На рис. 1 приведены графики p(s) при следующих значениях параметров: X = 100, Х2 = 10, a = 1, ai = 0,2, a2 = 0,6.3. Среднее значение длительности периода неплатежеспособностиНеплатежеспособность фонда наступает при s < 0. Обозначим через tt (s) -среднюю продолжительность периода неплатежеспособности фонда при условии, что в начале периода капитал фонда равен s(t) = s (s < 0) и интенсивность поступления денежных средств X(t) = X,, i = 1, 2. Пусть в начальный момент времени t интенсивность X(t) = Xi. По прошествии времени At капитал фонда изменится на случайную величину As, а интенсивность X(t) либо останется равной Xi с вероятностью 1 - aiAt + o(At), либо примет значение X2 с вероятностью aiAt + o(At). Усредняя по возможным ситуациям, получим\ (s) = At + (1 - XxAt )(1 - ax At) \ (s - b0 At) +XxAt(1 - oqAt) J tx (s + x)ф(x)dx + oqAt)t2 (s - b0At) + o(At),0где учтено, что при s + x > 0 период неплатежеспособности заканчивается. Считая функцию t1 (s) дифференцируемой и переходя к пределу при At-0, получимb0 dt* (s) + (Хх +а[)tx (s) -Хх f tx (s + x)cp(x)dx -a1t2 (s) = 1. (22) ds 0Аналогично,dt (s) -sb0 + (X2 +a2)72(s) -^2 f72 (s + x)q>(t[(s) = 1. (23) -s 0 Решение ti (s) системы (22), (23) будем искать в видеTi (s) = Ais + Bi + Cie*", i = 1,2, k > 0 .(24) Подставляя (24) в (22) и (23), получим систему уравнений для определения Ai, Bi, C,:C1(a1 + ku0(X1,k))-a1C2 = 0, C2(a2 + ku0(X2,k))-a2CX = 0,Axa + B^ = 0, A2a + B2 -^ = 0,ak -1ak -1Axlo (X1) + a1 (B1 - B2) = 1, A2/0 ) + «2 (B2 - B1) = 1, Ax = A2, (25)гдещ (X, k) = b + , / (X) = b - Xa, i = 0,1. (26)ak -1В результате получаем, что шесть коэффициентов Ai, B;, Ci при данном k должны определяться из системы семи уравнений. Для того чтобы получившаяся система уравнений была совместной, необходимо, чтобы первые два уравнения системы были пропорциональны. Откуда следует, что параметр k должен удовлетворять уравнению( 0, k2 = 0, k3, k4 < 0. Поэтому в (24) k = ki, так как иначе ti (s) имеет экспоненциальный характер возрастания. Окончательно, с учетом (27), система (25) примет видa2C1w0 (X1, k) -a1C2w0 (X 2, k) = 0,CCAxa + Bx!- = 0, A2a + B22- = 0,ak -1ak -1Axl0 (Xx) + ax (Bx - B2) = 1, A2/0 (X2) + a2(B2 - Bx) = 1, Ax = A2, (28)где k = ki - положительный корень уравнения (27). Решение системы (25) имеет видA = A12 /0 (Xi )a2 + /0 (X 2 )ai'Г-П^ (Xi) - ^ (X2)Ci =ai«o {X2, k ^-- w,/0 (Xi )a2 + /0 (X 2 )a1C2 = a2u0 (X1, k)T7T-, „ , ™,da C C2(ak-1)B, = -Aa--, B2 = -Aa2-, m -(ak -1)(ak -1) u0 (Xx, k )a2 + u0 (X2, k )axНа рис. 2 приведены графики средних ti(s) при следующих значениях параметров: Xi = 100, = 10, a = 1, ai = 0,2, a2 = 0,6.4. Среднее значение длительности периода повышенных платежей0 -10Период повышенных выплат наступает, когда капитал фонда s > s0. Обозначим через m,(s) среднее значение продолжительности периода повышенных выплат, если в начале периода капитал фонда равен s и X(t) = X,-, i = 1, 2. По прошествии времени At капитал фонда изменится на случайную величину As, а интенсивность X(t) либо останется равной X1 с вероятностью 1 - a1At + o(At), либо примет значение X2 с вероятностью a1At + o(At). Усредняя по возможным ситуациям, получимmx (s) = At + (1 -XxAt - axAt)mx (s - bxAt) +да+XX jmx (s + x)q>(x)dx + alAtm2 (s - bxAt) + o(At).(29)0Считая функцию m1(s) дифференцируемой и переходя к пределу при At-0, получим при s > s0Ъх -1- + (Xj + aj )ml (s) - Xj \ mx (s + х)ф(x)dx -alm2 (s) = 1. ds (30)Наконец, при s(t) = s0 и As = -b1At период повышенных выплат заканчивается за время At. Поэтому при s(t) = s0 уравнение (29) примет видсоml (s0) = At + XyAt J ml (s0 + x)cp( + o(A?).0(31)Откуда при At - 0 получим начальное условиеmi(so) = 0 .(32) (33)(34)Аналогично для m2(s) получается уравнение dm2 (s)b-d2- + (X2 + a2 )m2 (s) -X2 jm2 (s + x)cp(x)dx -a2wt (s) = 1,с начальным условиемm2 (s0) = 0 .Решение m,(s) системы (30), (32) будем искать в видеmi(s) = Ais + B + Cieks, i = 1,2, k < 0 .Подставляя (34) в (30), (32) и начальные условия (31), (33), получим систему уравнений для определения A„ B„ C;:Cx (a + ku{ (Xt, k)) -alC2 = 0, C2 (a2 + kux (X2, k)) - a2C\ = 0,Ajs0 + B + C1eks° = 0, A2s0 + B2 + C2e*"0 = 0, Axlx (Xx) + at (B - B2) = 1, A2/! (X2) + a2 (B2 - Bx) = 1, Ax = A2,где к), /i(/V) определены в (26). Система (35) будет совместной, если параметр к удовлетворяет уравнению(oq + кщ (Хх, k ))(а 2 + кщ (Х2, k)) - axa 2 = 0 .(36)Уравнение (36) имеет четыре корня к < 0, к2 = 0, k3, к4 > 0. Поэтому в (34) к = ki, так как иначе m,{s) экспоненциально возрастает. Окончательно, с учетом (36), система (35) примет видCja2uj (Xj, k) + C2ajuj (X2, k) = 0, Axs0 + Bj + Cjeks° = 0,A2s0 + B2 + C2ekS0 = 0, Ax\ (Xx) + at (Bx - B2) = 1,A22x (X2) + a2(B2 - Bx) = 1, A = A2, (37) где k = k1 - отрицательный корень уравнения (36). Решение системы (37) имеет вид/1 (Xi)ct 2 + /1 (X2 )aiC2 =a2u1 (X1,k), Cj = a1u1 (X2, k)-/1(X1)a2+/1(X2)a1/j(X2 ) - /j(Xj) _/1 (Xj)a2 + /j (X2 )aj-s0kBi -- AsoB2 = Ajs0C2e 1щ (Xx, к )a2 + щ (X2, к )axНа рис. 3 приведены графики средних m,(s) при следующих значениях параметров: Х1 = 100, Х2 = 10, a = 1, a1 = 0,2, a2 = 0,6.

Скачать электронную версию публикации