Modification of the Euler's method with equalization for solving of differential equations with variable delay .pdf Проблема численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом при постоянных или переменных, но строго положительных конечных запаздываниях решается сравнительно просто с использованием алгоритмов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений без запаздывания на основе известного метода шагов [1]. Однако эта проблема резко усложняется в случае, если переменные запаздывания (в том числе случайные) могут принимать как угодно малые значения. В этом случае метод шагов неприменим. А поскольку любые методы численного интегрирование дифференциальных уравнений оперируют с конечным, отличным от нуля шагом интегрирования, не обязательно соизмеримым с произвольно изменяющимися запаздываниями, в процессе численного интегрирования приходится прибегать к интерполяции решения в точках, где значения решения не были вычислены.В [4] предложен алгоритм такой интерполяции для случая произвольного, в том числе как угодно близкого к нулю, постоянного запаздывания, модифицирующий известную схему метода Эйлера с уравниванием второго порядка точности. В данной работе этот подход развивается и распространяется на случай переменных запаздываний, в том числе случайных и как угодно малых. При этом проводится оценка порядка точности модифицированного для случая переменного запаздывания итерационного метода Эйлера с уравниванием. Показывается, что модифицированный итерационный метод Эйлера с уравниванием, как и его первое приближение (метод Хьюна), сохраняют второй порядок точности.1. Постановка задачиРассмотрим начальную задачу для обыкновенного (в общем случае нелинейного) дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной, с переменным запаздыванием т(г):dtf ((,у(t),y((-T(t))), t0 < t < T ,(1)с заданными начальными условиямиy 0) = Ф О), t е [г0 - max т (t), t0); у (t0) = у0 , (2) где ф (t) - начальная функция, y0 - начальное значение решения, причем ф (t0) не обязательно равно y0.Пусть функция ф (t) непрерывна, функция f (t, y, z) непрерывна по всем аргументам и удовлетворяет условиям Липшица по второму аргументу. Тогда, как известно [1], решение начальной задачи для дифференциального уравнения (1) существует и единственно. В случае возможного скачка начального условия (ф (t0) Ф у0), а также в случае, если начальная функция ф (t) не удовлетворяетдифференциальному уравнению (1), решение y (t) при t > t0 испытывает скачки производной первого рода. Непрерывное и всюду дифференцируемое решение возможно лишь в случае, если ф (t) удовлетворяет условиюdф (t0 - 0 Vdt = f ({0 > ф (t0 ) > ф (t0 - т (t0 ))) .При постоянном, заранее известном т для интегрирования дифференциального уравнения с запаздывающем аргументом (1) при начальных условиях (2) можно использовать известный метод шагов [1]. Однако в случае переменного т = т (t), тем более случайно изменяющегося во времени, метод шагов не применим. В этом случае задача интегрирования нелинейного дифференциального уравнения (1) существенно усложняется. Существует множество вычислительных схем решения начальной задачи для нелинейного дифференциального уравнения с переменным запаздыванием [2]. Однако по большей части эти методы либо носят частный характер, либо весьма сложны в реализации.В данной работе предлагается метод численного решения начальной задачи для дифференциального уравнения (1), обобщающий метод Эйлера с уравниванием при отсутствии запаздывания [3] и при постоянном запаздывании [4] на случай переменного (в том числе случайного и как угодно малого) запаздывания т (t).Для дальнейшего анализа необходимо конкретизировать свойства функции х(г).Пусть х(?) случайно изменяется во времени. В простейшем случае такое случайное изменение можно описать кусочно-постоянной случайной функцией, порождаемой случайным временным рядом тк, k = 1,2,..., в котором все тк неотрицательны, статистически независимы и имеют одинаковую плотность распределения p (тк). Например, p (хк) = 1/Tmax - равномерное в интервале [0, Tmax > 0]распределение. Тогда при любом разбиении t0 < tx < - < tn = T интервала интегрирования [t0,T] на n примыкающих друг к другу интервалов [tk,tk+1),к = 1, n -1, имеем т (t) в виде случайного «меандра»:и-1т(0 = ZTk-К'* * t < tk+i^ t е [t0,T). (3)k=1Поскольку любое запаздывание тк с некоторой отличной от нуля вероятностью может оказаться меньше любого заданного s> 0, хорошо известный для решения дифференциального уравнения с запаздыванием метод шагов [1] оказывается, вообще говоря, неприменимым (для его применимости необходимо, чтобы min т(t) > 0). В связи с этим для интегрирования дифференциального уравнения со случайно изменяющимся запаздыванием приходится применять вычислительные методы, использующие интерполяцию значений решения в точках, где не были вычислены значения решения при применении той или иной вычислительной схемы интегрирования.Методы первого порядка точности (метод ломаных Эйлера и подобные ему) не используются при интегрировании дифференциальных уравнений, в том числе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, в силу его низкой точности (медленной сходимости к точному решению с уменьшением шага интегрирования). Поэтому рассмотрим схему второго порядка точности - метод Эйлера с уравниванием [3, 5], называемый также итерационным методом Эйлера [5], методом Эйлера с пересчетом [6], симметричной схемой Эйлера [7], и его упрощенный (неитерационный) вариант - метод Хьюна [8] (он же - усовершенствованный метод Эйлера - Коши [9]). Модифицируем эту схему для решения дифференциального уравнения с произвольным, в том числе и как угодно малым запаздыванием, введя в нее возможность интерполяции.2. Обобщение метода Эйлера с уравниванием и метода Хьюна на случай переменного запаздыванияРассмотрим дифференциальное уравнение (1) при произвольных изменениях запаздывания во времени: т = т(/). Разобьем интервал [t0,T] на n примыкающих друг к другу подынтервалов равной длины h = (T -10)/n разбиением: t0 < ti < - < tk < - < tn = T , где tk = t0 + kh , k = 1, n. Проинтегрируем формально дифференциальное уравнение (1) на интервале [t0, t ] с учетом начальных условий (2):tу(t) = уо + jf ((,У(t),y(t-T(t)))dt.Используя это выражение при t = tk и t = tk+l, получаем рекуррентное соотношение*k +1у (A+i ) = у (tk)+ j f ((, у (t ^ у (t-т (t Ш. (4)Считая функцию f (t, y (t), y (t -т (t))) непрерывной функцией своих аргументов, представим приближенно при малом шаге интегрирования h значение интеграла в правой части точного соотношения (4) по формуле трапеции:у (tk+i ) = у (tk)+-2 (f (tk, у (tk), у (tk-т (tk))) ++f (tk+i, y (tk+i), y (tk+i- т (tk+i)))). (5)Обозначая yk = y (tk), Tk = т (tk), представим рекуррентное уравнение (5), определяющее приближенное решение уравнения (1) при начальных условиях (2), в видеh -yk+i = yk + -(f (tk,yk,y(tk -Tk)) +f (tk+i,yk+i,y(tk+i ))), k = 0,n, (6)с начальным условием y0 в момент времени t0 и начальной функцией p (tk - тк) при tk -хк < t0 и ф (tk+1 - хк+1) при tk+1 -хк+1 < to .В случае автономного уравнения (1) функция f (t, y (t), y (t-т (t))) не зависит явно от t: f = f (y (t), y (t - t(t))). В этом случае уравнение (6) принимает более простой вид:h Ук+i = Ук + 2(f(yk>у(Л-*k))+f(уk+i>у(л+i)))> k = °>n. (7)Ограничимся в дальнейшем случаем автономного уравнения (1). Это не нарушает общности рассуждений, так как любое неавтономное уравнение вида (1) можно свести к автономной системе уравнений, расширив состояние yx (t) = y (t)дополнительным состоянием y2 (t) = t, так что расширенное состояние примет вид двумерного вектора состояния y (t) = (yx (t) y2 (t)). Тогда уравнение (1) станет системой уравнений автономного вида dy(t)/dt = f(y(г),y(г-т(t)), гдеf = /(((У(t), Ji (t-t(t))).V2 (t)) - двумерная вектор-функция.Для автономного дифференциального уравнения в качестве начальной функция ф (г) удобно взять функцию Ф (t) = y*, тождественно равную постоянномуравновесному значению решения (точке покоя) у*, обращающему в нуль правуючасть автономного дифференциального уравнения dy /dt = f (y ,y ) = 0 .Уравнение (7) обобщает известное соотношение метода Эйлера с уравниванием на случай переменного хк. Как и в схеме Эйлера с уравниванием, уравнение (6) будем решать при каждом фиксированном k относительно ук+1 методом последовательных приближений (простых итераций), используя в качестве начального приближения решение по схеме метода Эйлера, использующего вычисление интеграла в правой части (3) по формуле прямоугольников:yfli = Ук + hf (ук, y (tk -tk )),(8)= Ук + h (f (Ук, У (tk-tk)) +f y(v) (tk+1 "xk+1))), v = 0,1,2,^ . (9)Окончание процесса последовательных приближений происходит по достижении требуемой абсолютной точности решения s:- y&l

Скачать электронную версию публикации