Application of characteristic functions for research asymptotical average characteristics of unstable networks plural access with the source of repeated calls, functioning in the casual environment. .pdf Применение аппарата характеристических функций для исследования компьютерных сетей, управляемых протоколами случайного множественного доступа, предложено в работе [1].В данной работе представим развитие этого подхода применительно к математическим моделям неустойчивых сетей множественного доступа с источником повторных вызовов (ИПВ), производительность которого зависит от неконтролируемых внешних воздействий - случайной среды. В качестве математической модели случайной среды рассмотрим однородную цепь Маркова с непрерывным временем.1. Математическая модельРассмотрим математическую модель сети множественного доступа с оповещением о конфликте в виде однолинейной системы массового обслуживания (СМО), на вход которой поступает простейший с параметром X поток заявок. Прибор этой СМО может находиться в одном из трех состояний: k = 0, если он свободен; k = 1, если он занят обслуживанием заявки; k = 2, если на приборе реализуется этап оповещения о конфликте. Заявка, заставшая в момент поступления прибор свободным, начинает немедленно обслуживаться. Продолжительность обслуживания заявки на приборе имеет экспоненциальное распределение с параметром р. Если в течение обслуживания этой заявки другие требования на прибор не поступают, то исходная заявка по завершении обслуживания покидает систему. Если во время обслуживания одной заявки поступает другая, то возникает конфликт. От этого момента начинается этап оповещения о конфликте. Заявки, попавшие в конфликт, а также поступившие на этапе оповещения о конфликте, переходят в источник повторных вызовов (ИПВ). Число заявок в ИПВ обозначим i. Длины интервалов оповещения о конфликте также имеют экспоненциальное распределение с параметром 1/a, где a - средняя продолжительность этих интервалов.Сеть функционирует в случайной среде. В качестве математической модели случайной среды рассмотрим однородную цепь Маркова s(t) с конечным множеством состояний s = 1,2,...S и непрерывным временем, инфинитезимальные характеристики которой обозначим q .Здесь при si^s2,. P(s(t + At) = s2 |s(t) = s,)qr = lim -^^--^- ,SlSl At^ß Atа при si = s2 = s_ P(s(t + At) = s|s(t) = s)-1qss = a1™At .sОчевидно, что ^ q = 0 .Будем полагать, что влияние случайной среды на функционирование сети определяется зависимостью интенсивности у обслуживания заявок в ИПВ от состояний s случайной среды, то есть у = y(s). Вероятность окончания обслуживания заявки на приборе за бесконечно малый промежуток времени At равна у(s)At + o(t), при условии, что среда находится в состоянии s.В силу свойств приведенной математической модели, трехмерный случайный процесс {k(t),i(t),s(t)} изменения во времени состояний (k,i) математической модели сети связи и состояний s математической модели случайной среды является цепью Маркова с непрерывным временем.Обозначим P(k(t) = k, i(t) = i, s(t) = s) = Pk (i, s, t).В любой момент времени для распределения Pk(i,s,t) должно выполняться условие нормировкиоо 2 S(г, s, t) = 1.i=0 k=0 s=1Можно показать, что распределение Pk(i,s,t) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений КолмогороваdP (i st)1 S' ' + (Х + iY(s))Po (i,s,t) = HP (i,s,t) +-P2(i,s,t) + £ P0(i, s{,t)q ,dtasi=1 1dP (i st) S 1V' ' ' + (X + iy(s) + ц)P(i,s,t) = XP0(i,s,t) + (i +1)y(s)P0(i +1,s,t) + £p(i,s,t)qv ,dt5P2(i,sj) +^x+ 1_ is^) = (._ist) + %p(._2,^).dt V a,s+(i _ 1)Y(s)p (i _ 1, s, t) + X P> (i, si, t.Представим интенсивность у обращения заявок на прибор из ИПВ в виде у(s) = уст(s), получим^,(i ,1 „ i i f i 1 ^ „ j i. . f i 1 ^ „ j i , . H- l 1 V T \ -i- ■» f I 7 С Г Ij ,- + (A, + r/CT(s))Po(i,s,t) = nP(i,s,t) +-P(i,s,t) + £P(i,si,t,Щ (!' *'') + (Х + iya(s) + ц) P(i, s, t) =dtS= XP0 (i, s, t) + (i +1) y

Скачать электронную версию публикации