Method of the sifted stream for research of system GI/GI/?. .pdf Системы массового обслуживания (СМО) с неограниченным числом приборов рассматриваются в качестве математических моделей широкого класса реальных систем в различных предметных областях.В классической теории массового обслуживания существует не так много моделей, исследование которых удаётся выполнить аналитическими методами и получить окончательные результаты в виде формул для вероятностно-временных характеристик исследуемых систем массового обслуживания. Это, прежде всего, марковские системы, процесс изменения состояний которых определяется цепями Маркова, то есть дискретными марковскими процессами; однолинейные полумарковские системы, исследование которых реализуется методом вложенных цепей Маркова, в частности известна формула Поллачекас - Хинчина, а также формулы Эрланга для N-линейных систем с произвольным временем обслуживания, процесс изменения состояний которых является немарковским и даже немаркови-зируемым. В этих моделях входящие потоки определены классом стационарных пуассоновских либо рекуррентных потоков.В то же время многочисленные исследования реальных потоков в различных предметных областях, в частности в экономических системах, позволили сделать вывод о существенной неадекватности классических моделей потоков (пуассо-новских и рекуррентных) реальным данным. С другой стороны, реальные системы, в которых наблюдаются эффекты повторных обращений заявок к обслуживающему прибору, конфликты заявок, наличие интервалов недоступности, требуют рассмотрения моделей, выходящих за рамки множества классических систем массового обслуживания.Исследование таких моделей выполняется, как правило, численными методами либо имитационным моделированием, со всеми недостатками, вытекающими из этих методов.Альтернативным подходом является применение метода асимптотического анализа для исследования таких систем.1. Постановка задачиB( x)A( x)B( x)Рассмотрим СМО с неограниченным числом приборов, на вход которой поступает рекуррентный поток, определяемый функцией распределения A(x) длин интервалов между моментами наступления его событий (рис. 1).Обозначим через i(t) число приборов, занятых в момент времени t, а стационарное распределение вероятностей значений процесса i(t) как ГТ(7) = P{i(t) = i}.Для исследования такой системы применим метод просеянного потока.Предлагаемый метод позволяет проблему исследования немарковской системы обслуживания с неограниченным числом приборов свести к задаче анализа нестационарного марковизируемого потока.2. Метод просеянного потокаПусть на вход системы с неограниченным числом приборов поступает некоторый поток заявок. На оси времени t отметим (рис. 2) моменты наступления событий этого потока (верхняя ось рисунка).Выделим некоторый момент времени ti. Не нарушая общности можно считать, что tx = 0. Будем полагать, что заявка входящего потока, поступившая в системув момент времени t < tx = 0 с вероятностьюS (t) = 1 - B(-t),формирует событие просеянного потока, а с вероятностью 1 - S (t) не рассматривается.Очевидно, что заявки, не попавшие в просеянный поток, завершат обслуживание и покинут систему до момента t1, в то время как все заявки просеянного потока в момент t1 будут находиться в системе, занимая её приборы.Обозначим через n(t) число событий просеянного потока, наступивших до момента времени t.Если в некоторый начальный момент времени t0 < tx система обслуживаниясвободна, то есть в ней нет обслуживаемых заявок, то для момента времени t1 выполняется равенство»'(*!) = «(^1) ,(1)то есть число i(t1) приборов, занятых в рассматриваемой системе обслуживания, равно числу n(t1) событий просеянного потока, наступивших до момента времени t1 .Полагая входящий поток стационарным, для определения стационарных характеристик случайного процесса i(tx), будем рассматривать условие t0 =-x0,где x0 - такое значение аргумента x функции распределения B(x), что B(x0) = 1.В частности, возможно x0 =. Следовательно, S(t) = 0, при всех t < t0, поэтомупри t < t0 не наступают события в просеянном потоке.Равенство ()) является основным для дальнейших исследований, так как проблему исследования немарковизируемой системы обслуживания с неограниченным числом приборов сводит к задаче анализа просеянного нестационарногопотока, определяемого процессом n(t). Найдя характеристики этого случайного процесса в произвольный момент времени t, где t0 < t < tx, положим t = tx, тогда, в силу равенства ()), его характеристики совпадают с характеристиками величины i(ti).3. Вывод уравнения КолмогороваОбозначим через z(t) длину интервала от момента t до момента наступления следующего события в рекуррентном потоке.Выполним исследование двумерного марковского процесса {z(t), n(t)}, его распределение вероятностей обозначимP(z, n, t) = P{z(t) < z, n(t) = n} . Стандартным At-методом запишемP( z -At, n, t + At) = P( z, n, t) - P(At, n, t) + P(At, n, t )(1 - S (t)) A( z) ++P(At, n -1, t) S (t) A( z) + o(At),откуда получим уравнение КолмогороваdP( z, n, t) = dP( z, n, t) dP(0, n, t) +dtdz dz+ 8P(01n1t1 (1 _ s (t))A(z) +дР(0, n -1, t) s (0 A(z), dz dz из которого очевидно получаемdtdz [}] dz+S (t) A( z). (2)z4. Метод характеристических функцийОбозначимЯ (z, и,t) = X e7'""P(z, n,t) = R (z)M [ejun(t) | z(?) < z} . (3)Следовательно, функция H (z, и, г) удовлетворяет уравнениюdH(z,и,t) =dH(z,u,t) _ [1 _(1 _S(t))A(z)]H(0,t) +dtdz dz+eju mbuA s(t)a(z). (4) zПолучим для этой функции задачу Коши:dH (z, и, t) dH (z, и, t) dH (0, u, t){S(t)A(z)[Vй -1] + A(z)-1},(5)Этап 1. Определим R( z).Функция R( z) удовлетворяет уравнениюR'(z)-R'(0){1 - A(z)} = 0 , 0 < z co j0R'(0) = 1Значит,R(z) = - f(l - A(x)) dx .0Этап 2. Определим функцию Ф{ (w, т). При z -»да в уравнении (10) получим^ dFl (да, w, т, s) = dFx (0, w, х, s) {S ^jEW _ 1 j}дт dz Поделив левую и правую части этого равенства на г :ÖFl (да, w, т, в) = dFt (0, w, т, в) L (т) -1] |5хdz Iв Iи полагая s - 0 , получим, что для Fx (z, w, т) выполняется равенствоdFx (z, w, х) dF (0, w, x)"S1(x) jw.В силу равенства (13) имеемдф (w, t)Ф1 (w, t) R'(0) S (t) jw,подставив в которое R'(0) =1, получим для функции Ф: (w, т) линейное одно-ародное дифференциальное уравнение первого порядкасф (w, х) 1jwS (х)Ф! (w, х),5х арешение которого имеет видФ1 (w, т) = exp < j'wKj J S1 (x)dx I,L т0 jгде к = -. Подставляя это выражение в (13), получим равенство (11). Теорема aдоказана.В силу замен (9), а также равенства (13), можно записать асимптотическое, при s - 0 , приближённое равенствоH(z, u, t) = F (z, w, t, s) » Fi (z, w, t) = R(z)exp

Скачать электронную версию публикации