OPTIMAL CONTROL OF TAX PROCEEDS .pdf 1. Постановка задачиЗадача оптимального управления рассматривается на конечном интервале времени [0,7]. Произведённый продукт Y(t) может использоваться и как потребительский для удовлетворения потребностей населения, и как фондообразующий для создания новых производственных мощностей. В процессе производства используются два фактора: труд L(t) и капитал K(t).Пусть C(t) - непроизводственное потребление в производственной сфере в момент времени t, а I(t) - капиталовложения в момент времени t. В качестве внешнего управления рассмотрим функцию v(t) - налоговую ставку на прибыль производственной сферы, которая удовлетворяет ограничениямVmin < V(t) < Vmax ,(1)где Vmin - минимальная налоговая ставка: 0 0.Начальное состояние экономики задаётся значением капиталовооружённости рабочего в момент времени t = 0:k(0) = ko, ko > 0, (15) а условие экономического горизонта задаётся равенствомk(7) = kT, kT > 0. (16) Управление экономикой заключается в выборе налоговой ставки V(t) с целью обеспечения максимальной суммы удельных налоговых отчислений:J = T\n(t)e-Stdt = jv(t)(1 - у) f (k(t))e-Stdt, (17) 00где 8 - постоянная норма дисконтирования при следующих ограничениях: k' (t) = s(1 -v(t-Y) f (k(t)) -Xk(t),k(0) = ko, ko > 0, k(7) = кт, кт > 0, vmin < V(t) < vmax , t E [0, T] .2. Алгоритм оптимального управленияВ результате решения поставленной задачи с применением принципа максимума Понтрягина [2] получено релейное трёхуровневое оптимальное управлениеvmax >еСЛИ q(t) < 1;v(t) = \ vmin,если q(t) > 1; (18). min 0, q(7) (k(7) - = 0, q(T) > 0, (19)где использовано обозначение q(t) = v(t)e5t, v(t) - сопряжённая переменная функции Гамильтона.3. Анализ решенияАнализ системы дифференциальных уравнений (19) облегчается тем, что она автономна, в правые части уравнений не входит в явном виде время t.Найдём участки знакопостоянства производных q'(t) и к' (t). Пусть q(t) > 1, тогда в силу (18) V(t) = Vmin= 0,q\t) = (X + 8)q(t) - (svmin (1 - Y) + q(t - vmin )(1 - y)^^ '(* (t)). (20) Если q'(t) > 0 , тоq(t) > svmin(1 -у)f' (k(t))q'(t) < 0 соответствуетqV) S + X- s(1 -v min )(1 -у) f' ( k (t))'q ' (t) = 0 соответствуетq(t) =SVmin(1 -Y)f,(^(()). (21)ЧУ> 8 + X- s(1 -v min )(1 -y)f '{к (t))V 'Введем обозначение:ф1(* (t)) =svmin (1 -Y) f'(. к (t)). (22)^yy" 8 + X-s(1 -vmin )(1 -Y).f '(k (t))V 'Исследуем поведение функции tpj(k(t)). Поскольку по неоклассическим условиям f'(k(t)) > 0 , то чтобы 0 , если q(t) > ф^МУ));q'(t) < 0 , если q(t) < ф^О);q '(t) = 0 , если q(t) = фДО)). (25)Рассмотрим уравнение для k(t) системы (19). Поскольку V(t) = Vmin , тоXесли k'(t) > 0 , то f (k(t)) >-k(t);s(1 "Vmin)(1 -У)Xесли k '(t) < 0 , то f (k(t)) < -k(t);s(1 -Vmin )(1 -y)если k '(t) = 0, то f (k(t)) = -k(t).s(1 -Vmin )(1 -y)В силу неоклассических условий f(k(t)) является монотонно возрастающей функцией. Поэтому уравнениеf (k (t))=^-k (t)s(1 -Vmin )(1 -y)имеет единственный положительный корень ki. Тогда для q(t) >1 получим следующее:k (t)> 0, если k < ki; k (t)< 0, если k > ki;k '(t) = 0 , если k = ki. (26)XВеличина k* < k1, так как f (k*) >s(1 -vmin )(1 -у)Рассмотрим случай q(t) sVmax(1 "Г)f'(k(t)), еслиq '(t) > 0 ,q(t) 8 + X- s(1 -Vmax )(1 -y)f(k(t))4> 'Функцияф2 (k(t))^maxV MJ v "b + Xs(1 -Vmax )(1 -Y).f '(k (t))является неотрицательной функцией при выполнении условия,8 + Xи монотонно убывающей. График её проходит через точку (k*,1). Таким образом, для q(t) 0, то f (k(t)) > -k(t),s(1 -vmax )(1 -y)Xесли k '(t) < 0 , то f (k(t)) < -k(t),Xесли k '(t) = 0, то f (k(t)) = -k(t),XУравнение f (k (t)) =k (t) имеет единственный положительныйs(1 -Vmax )(1 -Y)корень k2.Итак, для q(t) 0, если k < k2;k (t)< 0, если k > k2;k '(t) = 0 , если k = k2. (29)Величина k* > k2, так какf (k*) k*, и v(t) = vmin, если k0 < k*. В момент времени 7* налоговая ставка полагается равной V*, значение которой определяется по формуле (31). На протяжении всего промежутка времени [7*,7**] v(t) = v* и k(t) = k*. В момент времени 7** и на протяжении всего промежутка времени [7**,7] v(t) = vmax, если kT < k* и v(t) = vmin, если kT > k*. За время 7 - 7** значение фондовооруженности от оптимального значения k* переходит в конечное kT.Итак, алгоритм оптимального управления односекторной экономикой на конечном интервале [0,7] осуществляется в четыре этапа:1)весь интервал времени [0,7] разбивается на три интервала:[0,7] = [0,7*] + [T*,T**] + [T**,T];2)оптимальное управление налоговой ставкой V(t) является кусочно-постоянной функцией с тремя возможными значениями {vmin, vmax, v*}, где v* оп-ределяется формулой (31), причём vmin,< v* < vmax, , а k* является единственнымрешением дифференциального уравнения, д + Хf (k ({))=^-т;s(l-у)3))на интервале времени [7*,7**] v(t) = v* и фондовооружённость сохраняет постоянное значение k*.На интервале времени [0,7*] могут быть две ситуации:а)v(t) = vmin; если k0 < k*, то фондовооружённость k(t) возрастает от k0 до k*;б)v(t) = vmax; если k0 > k*, то фондовооружённость k(t) убывает от k0 до k*.На интервале времени [7**,7] также могут возникнуть две ситуации:а)v(t) = vmin; если kT > k*, то фондовооружённость k(t) возрастает от k* до kT;б)v(t) = vmax; если kT < k*, то фондовооружённость k(t) убывает от k* до kT;4))значения 7* и 7** определяются приведёнными выше формулами в зависимости от начального и конечного состояния экономики.

Скачать электронную версию публикации