DYNAMIC INVESTMENT PORTFOLIO OPTIMIZATION UNDER CONSTRAINTS. .pdf Проблема выбора оптимальной структуры портфеля ценных бумаг (инвестиционного портфеля - ИП) - одна из основных в финансовом менеджменте. Существуют различные подходы к управлению ИП, которые отличаются способами описания эволюции цен финансовых активов, представления динамики ИП, целями управления (выбором функции риска) [1 - 6].В работе рассматривается задача управления инвестиционным портфелем, состоящим из рисковых вложений (обыкновенных акций) и безрискового вклада (банковского счета), допускается также возможность займа по безрисковой ставке и участие в операциях продажи без покрытия. Предполагается, что цены рисковых финансовых активов описываются дискретными аналогами уравнений диффузионного типа со стохастической волатильностью. Целью управления является отслеживание желаемой траектории роста капитала, которая задается инвестором [5 - 6].Для оптимизации инвестиционного портфеля предлагается использовать методологию управления с прогнозирующей моделью [6]. Привлекательной чертой такого подхода является возможность достаточно просто в явном виде учитывать ограничения на переменные состояния и управления. При этом получается стратегия управления с обратной связью, но удается избежать так называемого «проклятия размерности», которое препятствует синтезу управлений с обратной связью при ограничениях, если применять традиционные подходы с использованием метода динамического программирования. В случае оптимизации инвестиционного портфеля метод позволяет учесть ограничения на объемы торговых операций, например на размеры займов и операций продаж без покрытия.1. Модель инвестиционного портфеляРассмотрим ИП, состоящий из n видов рисковых финансовых активов (обыкновенных акций) и одного безрискового финансового актива (банковского счета или надежных облигаций). Капитал, помещенный в рисковый актив i-го вида вмомент времени к, равен u,(k), i = 1, n, в безрисковый - u0(k) > 0, объем безриско-14В.В. Домбровский, Д.В. Домбровский, Е.А. Ляшенкового займа равен u„+1(k) > 0. Тогда общий объем вложений (капитал портфеля) в момент k будет равенV (k) =£ щ (k) + щ (k) -un+l (k) .(11i=1Отметим, что если u;(k) < 0, i = 1, n, то это означает участие в операции «продажа без покрытия» [1] на сумму |u;(k)|. В момент времени к + 1 капитал портфеля станет равен (рассматривается самофинансируемый портфель)V(k +1)=£ [1 + щ (k + \)]u, (k) + [1 + r]u0(k) -[1 + r2K+1 (k), (2)i=1где n,(k + 1) - ставка доходности рисковых вложений на интервале [k; k+1] (случайная величина), r1 - неслучайная доходность безрисковых вложений, r2 - неслучайная ставка по займу безрискового актива (ri < r2). Используя (1), уравнение (2) преобразуем к видуV (k +1) = [1 + r] V (k) +t [ (k) - r ]ut (k) - [Г2 - ri ]u„+i (k),nпри этоми0 (k) = V(k) - X Uf (k) + wn+1 (k).При управлении портфелем учитываются следующие ограничения:и™11 (k) < и,- (k) < Mmax (k), i = 1,n ;(3) 0 < un+1 (k) < «„m+T (k) ;(4)0 < V(k) - ^ Mi (k) + Мя+1 (k) < Momax (k) .(5)i=1Если нижняя граница и™11 (k) < 0 , i = 1, n, то для рискового актива i-го вида допустимо участие в операции «продажа без покрытия» на сумму не более |w™n (к)|; если и™" (k) > 0, i = 1, n, то операции «продажа без покрытия» длярискового актива i-го вида запрещены; umax (k), i = 1, n, определяют максимальный объем капитала, который можно вкладывать в рисковый актив i-го вида; Mg1™1 (k) > 0 определяет максимальный объем капитала, который можно вкладывать в безрисковый актив, и™^ (k) > 0 определяет максимальный размер займа безрискового актива. Отметим, что величины и™11 (k), i = 1, n , и итах (k),i = 1, n +1, на практике часто зависят от величины общего капитала ИП, что можно учесть, положив и™11 (k) = у) V(k), и™51 (k) = у" V(k), где yj и у" - постоянные коэффициенты.Для описания эволюции цен рисковых финансовых активов используем модель вида1+ Ц, (k)+^ ay [9(k),k]wj (k)Si (k +1) = Si (k)где S;(k) - цена i-й ценной бумаги в момент времени k (i = 1, n), p;(k) - ожидаемая доходность i-й ценной бумаги, w(k) - вектор белых шумов размерности n с нулевым средним и единичной матрицей ковариации, o;y[0(k),k] - элементы матрицы волатильности ||Oj[0(k),k]||, зависящие от 0(k) линейно, 0(k) - последовательность независимых q-мерных случайных векторов с известными первым и вторым моментами: M (9(k)} = Q(k), M{0(k) 0T(k)} = 0 0 M{0T(k)wT(k) } = 0.Необходимо определить стратегию управления инвестиционным портфелем путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций так, чтобы капитал реального портфеля V(k) с наименьшими отклонениями следовал капиталу V°(k) некоторого определяемого инвестором эталонного портфеля, эволюция которого описывается уравнениемV °(k + 1) = [1 + n°(*)]V °(k), где p°(k) - заданная желаемая доходность портфеля. В начальный моментV (0) = V(0) заданы.2. Синтез прогнозирующих стратегий управления ИПДля управления портфелем синтезируем стратегии с прогнозирующей моделью. Критерий качества управления со скользящим горизонтом (функция риска) имеет видJ(k + p/k) = M{ х'\у (к + i/k)-V0 (к + i)12 + zV (k + i/k)R(k + i)u(k + i/k) +1 i=l i=0-[V(k + p/k)-V0 (k + p)^7v(k)} ,(6)где u(k + i/k) = [щ(к + i/k),...,u„(k + i/k)], i = 0,p-1, - векторы прогнозирующих управлений, V(k + i/k) - предсказанное состояние портфеля в момент времени k + i, R(i) > 0 - матрица весовых коэффициентов управления.Прогнозирующие управления определяются по следующему правилу: на каждом шаге k минимизируем функционал (6) по последовательности программных управлений u(k/k),...,u(k +p-1/k), зависящих от состояния системы в момент k. В качестве управления в момент k берем u(k) = u(k/k). Тем самым получаем управление u(k) как функцию состояния V(k), т. е. управление с обратной связью. Чтобы получить управления u(k + 1) на следующем шаге, процедура повторяется для текущего момента k + 1.Теорема. Оптимальное управление на шаге k, минимизирующее критерий (6) при фиксированном горизонте прогнозирования p с учетом ограничений на управления (3) - (5), определяется уравнениемu(k) = [/„ 0И 0„]U(k/k), где /„ - единичная матрица размерности n; 0n - квадратная нулевая матрица размерности n; U(k/k) = [uT(k/k), uT(k+1/k), . „, uT(k+p-1/k)]T - вектор прогнозирующих управлений, который определяется из решения задачи квадратичного программирования с критериемY(к + p/k) = 2zT (k)G(k)U(k) + UT (k)H(k)U(k)при ограниченияхumin (k) < S(k)U(k) < umax (k),гдеz(k) = [V(k), V0 (k)] T ,16B.B. Домбровский, Д.В. Домбровский, Е.А. Ляшенкоumin (k) = [«Г (k),«Г (k), 0, -V(k)]T,max / i \ Г max / i \max / j \ max / j \ jr / iu (k) = |_« (k),u„+i (k), u0 (k)-V(k)J ,G(k), H(k), S (k) - блочные матрицы:"Hii (k) ... Я,p (k)"G(к) = [G (к) ... Gp (к)] ; H(k) = _Hpl (k) ... Hpp (k)S(k) = [S(к) 0(и+2)х(и+1)(р-1)] , блоки которых определяются следующими соотношениями:G (к) = {пri at (к+j)} А2 - s);B0T (k + i -1) ГП AT (k + j)\Ll2 (p - s), i < s,His (k) = j L22 (p - i) + R(k + i -1),i > s;0-10(n+2)x(n+i)0-l) - нулевая матрица размерности (n + 2) х (n +1)( p -1);AT (k + j) = 1; Q(s +1) = Li + CT C ; ß(0) = CT C ;L11 (s) = AT (k + j3 -1 - s )Q (s) A (k + -1 - s); Ll2 (s) = AT (k + /7-1 -s)Q(s)B0 (k + /7-1 -s);L22 (s) = B0T (k + /7-1 -s)Q(s)B0 (k + /7-1 -s) + +M{z"=iB] [9(k + p -1 -s),k + j3-1 -s] xxQ(s)Bj [9(k + /7 -1 -s),k + /7 -1 -s]],гдеA (k) = diag (l + rx (k), 1 + ц° (k));ц, (k) - r, (k) ... ця (k) - r, (k) -[r2 (k) - r, (k)]■0...0 0

Скачать электронную версию публикации