DYNAMICAL TRACKING CONTROL SYSTEM OFF OBJEKT OUTPUT WITHUNKNOWN DISTURBANCES .pdf Задача слежения широко используется при управлении в технических системах. В экономике следящие системы применяются при управлении запасами [1, 2], при управлении производством [3, 4] и в задачах управления портфелем ценных бумаг [5].В теории оптимального управления наиболее распространен подход синтеза управлений на основе оптимизации интегральных и суммарных критериев. Однако для нелинейных объектов он требует решения двухточечных краевых задач, а для линейных - решения матричных дифференциальных уравнений в обратном времени. Метод синтеза управлений по локальным критериям [6, 7] существенно упрощает решение задачи. В этом случае уже не требуется решения двухточечных краевых задач, процедура синтеза сводится к решению матричных разностных уравнений с граничными значениями на левом конце.В настоящей работе рассмотрена задача синтеза дискретных следящих систем управления выходом объекта при неизвестных возмущениях. Задача рассмотрена для локального критерия. Для математической модели производства, сбыта и хранения товаров [8, 9] выполнено моделирование динамической следящей системы управления. Предлагаемый алгоритм обобщает результаты работы [10] на дискретные системы с неполной информацией о возмущениях.1. Постановка задачиРассматривается дискретная система, которая описывается следующими разностными уравнениями:x(k +1) = Ax(k) + Bu(k) + f + q(k), (1) где x(k) - n-мерный вектор состояния (полностью доступен наблюдению), u(k) -m-мерный вектор управления, A - ихи-матрица динамики системы, B - ихи-мат-рица влияния управляющих воздействий, f - детерминированная неизвестная постоянная составляющая возмущений, q(k) - случайная составляющая возмущений, гауссовский белый шум с характеристиками:M{q(k)} = 0, M{q(k)qT (j)} = Q(k)8kJ , (2)где д/g - символ Кронекера.Вектор выхода системы определяется соотношениемy(k) = Fx(k), (3)где y(k) - r-мерный вектор выхода системы, отслеживающий заданный вектор z(k), F - матрица выхода размерности rxn.Оптимизируемый локальный критерий задается в видеJ(k) = M{(y(k +1) - z(k))T C(y(k +1) - z(k)) + uT(k)Du(k)}, (4)где C > 0 и D > 0 - весовые матрицы критерия, z(k) - отслеживаемый вектор размерности r.Требуется найти управление u(k), минимизирующее критерий (4).2. Синтез динамического закона управленияДля решения задачи осуществляется преобразование объекта (1) и критерия (4). Далее исключается постоянная составляющая возмущений из описания объекта посредством вычитания из уравнения (1) такого же уравнения, но со сдвигом на один такт. Результатом является следующее уравнение:x(k +1) = (A + En)x(k) - Ax(k -1) + Bu(k) - Bu(k -1) + q(k) - q(k -1). (5)Расширение пространства состояния системы осуществляется посредством добавления к уравнению (5) тождества видаx(k) = x(k). (6) Вводятся следующие обозначения:Тогда система (5) и (6) в векторно-матричной форме имеет видX(k = 1) = ÄX(k) + Bu{k) + ^(k -1) + q(k) , (8)где A - 2их2и-матрица, B - 2ихда-матрица имеют следующую блочную структуру:Т "o)B"(Э. (9)В (5) и (9) E„ - единичная матрица размерности nxn.Локальный критерий (4) и вектор выхода расширенной системы представляются в эквивалентном виде:J * (k) = M {(Y (k +1) - Z (k ))T C (Y (k +1) - Z (k)) + u T (k) Du (k)}; (10) Y(k +1) = FX(k +1), (11)Оптимальное управление объектом (8) по критерию (10) примет види(*) = -(BTFTCFB + D)-1 BTFTC(FAX(k) - z(k) + F4>(k -1)). (13)Учитывая представление блочных матриц (7), (9) и (12), вместо (13) получается следующее выражение для управлений:u (к) = -( BT F TCFB + D)-1 BT F TC ((FA + F) x(k) --FAx(k -1) - z(k) - FBu(k -1)). (14)Полученный закон управления (14) является динамическим, для его реализации требуется задать начальное условие: u(0) = u0.3. Задача управления сбытом и хранения товаровРассмотрим применение алгоритма (14) к задаче управления производством, сбытом и хранением для одного вида товара в условиях непредсказуемых изменений параметров модели. В модели объекта используются следующие переменные: z(k) - количество товаров на рынке в момент времени k, u(k) - количество произведенного товара в момент времени k, v(k) - количество товаров у потребителя, w(k) - прибыль, полученная в момент времени k.Уравнения для переменных z, v, w имеют вид [8]z(k +1) = (1 - k)z(k) + u(k) - s(k), z(0) = z0 ; (15) v(k +1) = (1 - k2 )v(k) + s(k), v(0) = v0; (16)w(k +1) = w(k) + cs(k) - c0u(k) - k3z(k), w(0) = w0, (17)где ki - коэффициент порчи товара на рынке, k2 - коэффициент потребления, k3 -стоимость хранения единицы товара на рынке. Функция продаж s(k) имеет видs(k) = n(c)(1 - ^P^) z (k), (18)где n(c) = n0exp(-c).Здесь c - цена товара, c0 - его себестоимость, n0 - коэффициент продаж, P -характеризует покупательскую способность рынка (это количество товара, которое необходимо для полного насыщения рынка - потенциальный спрос),Для рассматриваемой модели должны быть выполнены ограничения:s(k) < z(k), z(k) > 0, v(k) > 0 . (19)В частном случае, когда величина потенциального спроса P велика (потенциальный спрос неограничен) модель (15) - (17) становится линейной:x(k +1) = Ax(k) + Bu(k), x(0) = x0 , (20)где1 - kl - n(c)00"( 1 ^( z (k) >(z \A =n(c)1 - k20, B =0, x(k)=v(k)v0cn(c) - k301 _l"c0 Jv W(k ) Jv W0Выходом системы (20) является прибыль w(k), поэтому выход системы можно представить в видеw(k) = Fx(k), (21)где F = (0 0 1).Зададим уравнение, определяющее желаемое изменение прибыли, в видеw(k) = (1 + r0)W(k), w(0) = wo, (22)где r0 - желаемый темп роста прибыли.Управление производством, сбытом и хранением товара по модели (20) выполним на основе минимизации следующего критерия:J (k) = (y(k +1) - w(k ))2 C + u (k )2 D, (23)где C и D - положительные весовые коэффициенты.Отметим, что ограничения вида (19) можно учесть, применяя для оптимизации квадратичного критерия процедуру quadprog системы Matlab.Качество управления по алгоритму (14) сравнивалось со статическим локально-оптимальным законом управления [7] для объекта (20):u (k) = -( BT F TCFB + D)-1 BT F TC (FAx(k) - w(k)). (24)Моделирование управления производством, сбытом и хранением товара по модели (20) выполнено для следующих значений параметров:k = 0,01, k2 = 0,02, k3 = 0,01, n0 = 0,6, r0 = 0,004, c = 5,= 1,(25)z0 = 100, v0 = 150, w0 = 1, C = 1, D = 0,01,(26)с учетом аддитивных случайных возмущений для модели видаx(k +1) = Ax(k) + Bu(k) + q(k).В (26) процесс q(k) имеет характеристики, определяющиеся по формуле (2), где Q = diag(2; 2; 0).На рис. 1 приведен результат моделирования для статического закона управления (24) при не точно известном параметре n0 (коэффициенте продаж), для случая, когда в реальной модели значение этого коэффициента изменяется по формулеn0 = 0,6 + 0,1sin(0,05k). (27)Как видно из графика для управления вида (24) наблюдается срыв слежения за желаемой прибылью w(k), здесь также необходимо отметить, что при точно известном значении параметра n0, как показали результаты моделирования, алгоритм (24) вполне работоспособен.Отметим, что непредсказуемое изме- 1,6 нение параметров экономического объекта является характерным для рыночной i 4 экономики. Это означает, что при управлении реальным экономическим объек- i 2 том алгоритм (24) может оказаться неработоспособным в случае, когда парамет- 1 ры реального известны не точно.На рис. 2 приведены результаты моделирования алгоритма динамического локально-оптимального управления (14), когда в реальной модели значение n0 также изменяется по закону (27). Введение выражения (27) можно интерпретировать какналичие в моделируемом объекте дополнительных неконтролируемых возмущений в виде следующего вектора:f-0,1sin(0,05k) z(k) ^ f = 0,1sin(0,05k )z(k) v 0,1sin(0,05k)z(k)Из графика на рис. 2 видно, что наблю-дается устойчивое слежение за желаемойприбылью w(k). Следовательно, алгоритм50100к (14) остается работоспособным при неРис. 2точно известных параметрах модели.ЗаключениеПредложен алгоритм динамического локально-оптимального управления выходом системы, обеспечивающий инвариантность управления к ненаблюдаемым возмущениям. С использованием пакета Matlab 7.2 выполнено моделирование системы управления производством, сбытом и хранением для одного вида товара. Результаты моделирования показали, что динамическое локально-оптимальное слежение может быть работоспособным и в реальных условиях при не точно известных параметрах экономической модели.

Скачать электронную версию публикации