SEMI-RECURIVE IDENTIFICATION OF WEAKLY DEPENDENT FOLLOWER'S CONDIDIONAL FUNCTIONAL. .pdf При решении многих задач идентификации экономических объектов, как правило, используются условные математические ожидания или функции регрессии. Например, в качестве модели производственной функции фирмы, т.е. зависимости объема выпуска Y от объема используемых для производства ресурсов X, можно взять условное математическое ожидание объема выпуска при условии, что X = x. В данной работе функция регрессии применяется при идентификации нелинейных процессов авторегрессии, что позволяет строить прогнозы цен акций, облигаций, опционов и т.п.Для идентификации функции регрессии воспользуемся непараметрическими полурекуррентными оценками подстановки, так как реальные объекты обычно имеют сложную структуру, и априорной информации часто недостаточно для построения параметрических оценок. Проводится статистическое моделирование нелинейной авторегрессии 1-го порядка с аддитивными шумами, имеющими различную дисперсию. Результаты моделирования подтверждают возможность использования полурекуррентных непараметрических оценок для идентификации нелинейных процессов авторегрессии.Проверка работоспособности предложенных алгоритмов проводится на данных изменения цены пая открытого паевого инвестиционного фонда «Альфа-Капитал Акции».1. Постановка задачиРассмотрим стохастический объект, на / входах и выходе которого наблюдаются соответственно случайные величины X = (XL,...,Xj) и Y, X е Rl, Y е R1, где R1 - /-мерное евклидово пространство.Значение выходной переменной Y определяется неизвестным функциональным преобразованием F(X) входных переменных X, т.е. Y=F(X). В качестве приближения неизвестной функции F возьмем функцию регрессии. Функция регрессии, или условное математическое ожидание выхода стохастического объекта относительно входов, является моделью, минимизирующей среднеквадратическое отклонение (СКО) истинного выхода объекта и модели:\yf (х,У)dy ( )r (x) = j yf (y\x) dy = R-= ^ ,где f (x, y) - неизвестная плотность распределения наблюдаемой (/ + 1)-мернойслучайной величины Z = (X, Y) е R!+1, f (y | x) = -(Х'У - условная плотностьР(x)распределения случайной величины Y е R1 при условии, что X = x, p (x) - маргинальная плотность распределения величины X, a (x) = \ yf (x, y )dy.R1При построении модели учитываются не все входы реального объекта, поэтому возникает погрешность, связанная с упрощением регрессионной модели относительно истинной структуры объекта. Эту погрешность можно измерять остаточной (условной) дисперсией:\У V (х, У )dyD(Цх) = R-r2 (х).p(х)Для характеризации уровня сложности объекта применяются такие его статистические характеристики, как условные коэффициенты асимметрии и эксцесса. Вэтом случае g (y) = yk , k = 1, 2, 3, 4.Удобно представить указанные характеристики стохастических объектов в виде функций от условных функционалов\g (У) f (х, у) dy G ( ^J (х) = \ g (y)f (y\x)dy = -= АЦ, (1.1)R1Р (х)Р (х)где g() - известная измеримая по Борелю скалярная функция. Например, для остаточной дисперсии D(Y\x) = Jj (x)-/^(x), где gj (y) = y2, g2 (y) = y.Возьмем в качестве непараметрической полурекуррентной ядерной оценки подстановки условного функционала (1.1) в точке x статистику видаGr„i (x)J[n] (x), (1.2)p[n] ( X)гдеG[n] (x) = G[„-i](x)■G[n-i]( x) K П !\n]kk=1(1.3)иP[n] (x ) = Р[„-1](Х )"гpn-1](x )-K< x - X ^1п \n]k k=1- соответственно рекуррентные оценки функционала G (x) и плотности /7 (x); Zi = (Xi,Yi), Xi = (Хг1Xtl), i = 1,n, - (/+1)-мерная выборка, характеризуемая плотностью f (z) = f (x, y); K (u) - ядерная функция; пщк > 0 - последовательность чисел, сходящаяся к нулю для каждого k = 1, l.Данные оценки являются полурекуррентными [1], так как и числитель, и знаменатель в формуле (1.2) определяются рекуррентными соотношениями, но при этом сама оценка (1.2) не является рекуррентной.Отметим, что последовательные процедуры обладают рядом преимуществ перед обычными: они, как правило, легко реализуются на компьютерах, экономя при этом машинную память, на каждом такте работы алгоритма дают готовый результат, и поступление новых измерений не приводит к громоздким перерасчетам, что позволяет обрабатывать информацию в режиме реального времени.2. Ядерные рекуррентные оценки базовых функционалов по независимой выборкеВведем следующие обозначения:ar (х) = j gr (у)f (x, у)dy, a+r (x) = j \gr (у)| f (x, у)dy,R1 R1где r = 0, 1. В качестве оценки плотности p (x) = a0 (x) и базового функционала al (x) будем использовать статистикиa[n]r ( x ) - a[n-l]r ( x )Г«[„-i]r (x) ~-gr (Y,)Kf x - X Л1(2.1)П ^„]*k=1где K' x - X ^= K^ xl - Xi,l xl - Xi,l ^, r = 0, 1.Преобразуем выражение (2.1) к удобному для исследований виду. Для этого умножим обе его части на n, заменим n на i и просуммируем по i от 1 до n. В результате получим1 n 1a\n\r (x) = - Y^-,-gr (Yi )K{ x - X, ^(2.2)П !\i]kk=1Сформулируем результаты об асимптотической несмещенности оценки (2.2) (лемма 1), скорости сходимости ее смещения (лемма 2), главных частях асимптотической дисперсии (следствие 1) и ковариации оценок a[n]r (x) и a[n]s (x) (лемма 3).Лемма 1. Если функция ar (x) непрерывна, ядро удовлетворяет условиям IK(u)du = 1, K(и) > 0, sup a+(x) s>«> w) = gzgsgMdl/(Zi " z'Z < sZ'+; " M'Z'+J+k * w) - 4/ + 4 -мерная плотность распределения случайных величин( Z1 > Zi. Zi+ j . Zi+ J+k ) ,j j+k ),r (*> y X'' /) = II |g' (V) g' (S ) g' (V') g' (S0 XR1 R1f)(i+j+k) (x> v>37's>x'> v'>37''s')dvdsdv'ds', )(1+j+k),(2+5)r (x>y0 = I |gr (v)gr (s)gr (v'f++ x31 +3x/i(i+j)(i+j+k) (x> v> y> s> x'>v') dvdsdV . Выражение для СКО оценки J[n] (x) определяется теоремой 3. Теорема 2. Пусть выполнены условия:1) (Zt)г>1 е S(а), причем JjJ°[a(m]? dm

Скачать электронную версию публикации