Optimal Function of Spatial Sensitivity of the Detector of Radiation inview of Dimensions of Controlled Object .pdf При проектировании радиометрических систем радиационного контроля одной из основных является задача выбора функции пространственной чувствительности детектора (ФПЧД) ионизирующего излучения [1 - 4]. Ранее эта задача решалась путем оптимального выбора отдельных параметров апертур при использовании детекторов с однородной (в пределах его рабочей зоны) чувствительностью к падающему на него излучению [5 - 8]. Между тем, естественно предположить, что для эффективного обнаружения радиометрической системой в объекте контроля (ОК) инородных включений (ИВ) сложной конфигурации целесообразно использовать детекторы с неоднородной чувствительностью (ДНЧ). На практике такие детекторы используются в некоторых системах рентгеновской вычислительной томографии [1].Между тем, насколько известно, теоретически не исследованы предельные возможности ДНЧ и не найдена оптимальная ФПЧД.1. Постановка оптимизационной задачиУказанную задачу будем решать при следующих предположениях и ограничениях:1))Источник излучения - моноэнергетический, мононаправленный, пуассонов-ский.2))Барьер (ОК) - однородный, сложнопрофильный с априорно известными геометрическими характеристиками и с линейным коэффициентом ослабления (ЛКО) излучения p,h3)ИВ (дефект) - произвольное трехмерное однородное тело, с заданными формой и размерами, ограниченное в пространстве (локальное образование), однородное. ЛКО ИВ - \i2 .4)ФП - однородный фильтрующий поглотитель с переменной толщиной, ЛКО ФП - ц,3.5))ОК перемещается дискретно с малым (по сравнению с размерами ИВ) шагом.6))Время измерения потока излучения детектором постоянно на каждом шаге и равно т.7) Критерий качества - отношение сигнал/шум (ОСШ) [9, 10]:M-™. (1)ctгде AN - изменение среднего числа квантов, регистрируемых детектором, обусловленное наличием ИВ в ОК (сигнал); о - среднее квадратическое отклонение числа квантов, регистрируемых детектором при отсутствии ИВ в ОК (шум).Введем декартову систему координат. Плоскость XOY расположим на рабочей поверхности детектора, ось OZ направим перпендикулярно плоскости XOY (если излучение мононаправлено, то параллельно падающему пучку излучения).Зададим геометрические условия контроля: лучевую длину вдоль прямой, параллельной оси OZ и проходящей через точку (x,,y,0), для объекта контроля обозначим H(x,y); для инородного включения - g(x,y); для фильтрующего поглотителя - p(x,y).Пусть О - рабочая поверхность детектора излучения (О - подмножество плоскости OXY). Предположим, что источник излучения мононаправленный с направлением, параллельным оси OZ. Тогда среднее число квантов излучения, зарегистрированных детектором за время т при отсутствии ИВ, согласно [5, 10, 11]N = N0 xs ||ехр(-щ H(x,y) - v3 p(x , y)) dxdy , nгде p = p(x, y) - лучевой размер ФП , ц3 - ЛКО ФП , N0 - плотность потока излучения, е - эффективность регистрации излучения детектором. Среднее число зарегистрированных детектором квантов за время т при наличии ИВ составит:N2 = No xs IIexp(^3 p(x,y) - щ H(x,y) + (щ - Vi )g(x,y)) dxdy.nТогда величина сигнала от дефектаAN = |N -N2Iили в развернутом видеAN = N0 st II( 1 - exp(-|i g(x, y) ) exp(- щ H(x,y) - V3 p(x, y))dxdy,(2)nгде щ = v2 - щ . Среднее квадратическое отклонение числа квантов, регистрируемых детектором, для пуассоновского потока излученияа =-J~Ni = JN0xs IIexp(-^jH(x, y) - \i3p(x, y))dxdy .(3) v nПри подстановке (2) , (3) в (1) получаем развернутое выражение для ОСШ: III 1- ехр(-щ g(х, у))| ехр(-щ!н(х, у)- щ3р(х, y))dxdyM= EL =П . (4)стMJ ехр(-щцЯ (х, у) -щ р( х, у ))dxdynТаким образом, в математическом отношении стоящая перед нами задача заключается в нахождении максимума выражения (4) по всем неотрицательным, измеримым по Лебегу [12, 13] функциям p(x,y).Обозначимf (х, у) = ехр(-ц3рх, у)),Ф1(x, у) = ехр(-щ1н(x, у)), ф2 (х, у) = |1 - ехр(-ц g(х, у)\, с =-у/NqET .Введем нелинейный функционал:+" +"11 f -Ф1 -Ф2 dxdyF (f) =, (5)|| f ф1 dxdyгде f е G = {f |0 < f < 1, f - измеримая по Лебегу функция f: R2 -- R1}, Ф1 е Gj = {/: R2 -- Rj | 0 < f < 1, f - измеримая по Лебегу функция}, Ф2 ё G2 = {f: К2 - R11 f - ограниченная неотрицательная функция, принимающая положительные значения на ограниченном с ненулевой мерой множестве, измеримая по Лебегу функция} .2. Решение оптимизационной задачиЗафиксируем функции ф: и ф2, тогда получим нелинейный функционалF: G - R1. Из (4) и (5) следует, что ОСШ равноМ = cFf).Таким образом, необходимо найти максимум функционала F на множестве G, а также необходимо найти множество экстремалей этого функционала (множество функций, где функционал принимает максимальное значение). ОбозначимD = {(x, y)| ф2 (x, y) > 0};L = sup ф2, хD - характеристическая функция множества D. Так как ф2 - финитная, то множество D- ограничено (D cfl), следовательно,v0 (D) = jjdxdy < +оо,dа так как ф2 ограничена и неотрицательна, то 0 < L < +оо .Покажем, что функционал F (f) ограничен сверху. Действительно,II f -ф1 -ф2 dxdy||f -ф! -ф2 dxdyF (f) =r2 -D 0 . Поэтому везде в дальнейшем (не оговаривая особо) будем считатьf = f-Xd и Vo (P) > 0 . Обозначим множество экстремалей:G3 = {f e G\ F (f) = F } .Заметим, что если множество экстремалей G3 Ф 0 , то sup можно заменить наfmax . Для любого Х> 0 введем множестваfDx = {(х, у)| Ф2 (х, у) >Х), Вх = {(X, y)| ф2 (X, y) = Х} , А = {(X, У )| Ф2 ( X, y ) >Х) ;M = [f е G ЗХ> 0:f = хл,} , K = € g| ЭХ> 0:f = хa,} ,где хX - характеристическая функция множества X с R2 . Ясно, что D0 = D . Особо не оговаривая, будем считать, что две функции равны, если они совпадают с точностью до меры нуль (почти всюду).Докажем, что g3 с m[jK . Доказательство состоит из двух частей:1)V f е G ЭХ, 3 B с B}, такие, чтоF (f) < F (х и в) , причем равенство достигается только тогда, когдаf =х dl U B .Отсюда вытекает, что g3 состоит из функций вида Xz\Uв, то есть g3 с g4 = {f е G\ЗХ и 3 B с вл такие, что f = % Di у в } .2)Докажем, что если f е g3, то 3^ такое, что f = %D^ или f = хA)L, то естьB = 0 или b = вл (равенства здесь выполняются с точностью до меры нуль).Поэтомуg3 с m U K .Итак,1) Обозначимv(X) = ||cpj dxdy , S (X) = v (DX) = ||dv = || cpj dxdy ,Sj (X) = v (AX) = II dv = II cpj dxdy .Ясно, чтоv (Bx) = S (X) - S (X) ,S - непрерывная слева, S - непрерывная справа. Обозначим a = IIf -ф: dxdy , S(0) = Ijq^dxdy .DDПолучим0 < a < S (0), 0 < S (X) < S (X) < S (0).Так как ф1 > 0 , то при X{ F (f) = F (Xq ), а это равенство верно только в том случае, когда выполнена система равенств:||(Ф2-Х)(!" f) Ф1 dxdy = °' qII (Х-ф2) f ■ф1 dxdy = 0.Так как рх > 0 и р2 (x, y) = Х при (x, y) е Вл , то данная система эквивалентна следующей:' ff (1 - f) dxdy = 0,Л fdxdy = 0.Из этой системы вытекает [12 - 14]:fl, (x, у) e Z\,'0, (x, у)e D\ A. Остается вопрос о значениях экстремали f е G3 на множестве Б} . Но для экстремали f е G3||f -ф2 dxdy Я Ф1 Ф2 dxdy + ^ Яf Ф1 dxdyF (f) =D=D\я ./Я f ф1 dxdy / Я ф1 dxdy + || f ф1 dxdy VdVd я,Обозначима= || ф[ ф2 dxdy , ß = II ф[ dxdy , t = || f ф1 dxdy , b = v (Bx) = || ф1 dxdy ,DD\B\ Bx, a + XtтогдаF (f) = -==Vß + t- функция от аргумента t, где г е [0; b], а > 0; ß > 0; X > 0; b > 0 . Исследуем на экстремум функцию/ч а + Хг Г/. „ dg + (2Xß-a)g(г) = , на отрезке t е [0, b]. Производная - =-.Vß + 'dt 2^(г + ß)3Поэтому, если 2Xß-a> 0, то g(t) - возрастающая, и, следовательно, глобальный максимум функции достигается при t = b . Если 2Xß-a < 0, то g (t) при возрастании t сначала убывает до значения t = а / п- 2ß, а затем g (t) возрастает. То есть при 2Xß-a < 0 функция принимает максимальное значение либо при t = 0, либо при t = b .Таким образом, для оптимальной f е G3 имеем|| f ф1 dxdy = 0 ,следовательно, f (x, y) = 0 при (x, y) e R либоII f (x, y) ф1 dxdy = b = II ф1 dxdy,B\ вхпоэтомуII (f -1) ф1 dxdy = 0 ,BXследовательно,f = 1 при (x, y) e R .То есть, если f е G3, то либо f = %^ , либо f = %Di уВх = %А , следовательно, G3 с MУ K (равенства функций понимаются с точностью до меры нуль, то есть почти всюду). Заметим, что если S (X) непрерывна в точке X (то есть v (Bx) = 0 ), то с точностью до меры нульх D U В ~ XD , а если S (X) непрерывна в любой точке, то M = K .Таким образом, если функция f доставляет максимум функционалу F, то f -характеристическая функция 1dx или х ах ■ То есть оптимальный фильтрующийпоглотитель имеет один из видов :[0, ф2 (x, y) >Х,1+со , ф2 (x, y )Х,, ф2 (x,у) 0 любое 0 (1 - 2p)/p20 < x < (1 - 2p)/p2x- (1 - 2^)/^2Оптимальная апертура ACОптимальная апертура ABОптимальных апертур две:AC и ABРис.З.Алгоритм нахождения оптимальной апертуры для дефекта ступенчатой формыЕсли1 - 2 p0 < p < 0,5; 0 < x

Скачать электронную версию публикации