The Market as Optimum Self-Control Systemwith Inertia and Delay .pdf В классической модели рынка Вальраса - Маршалла [1] и ее модификациях [2] рыночное равновесие достигается в точке пересечения линий спроса и предложения. В этой модели рынок, будучи выведенным в некоторый начальный момент времени из состояния равновесия, стремится снова к состоянию равновесия, совершая вокруг него затухающие колебания, если точка равновесия устойчива, и незатухающие колебания, если она неустойчива (известная «паутинообразная» модель рынка).В реальных условиях функционирования рынка можно предположить, что вид линии спроса более или менее известен (его можно идентифицировать по результатам наблюдений покупательского спроса при различных ценах на один и тот же товар). Но вид линии предложения, как правило, неизвестен, и его практически невозможно оценить по наблюдениям за состоянием рынка. В связи с этим в данной работе рассматривается математическая модель рынка, не требующая знания линии предложения, но использующая знание линии потребительского спроса.1. Постановка задачиПусть x - цена товара, Q - объем спроса товара при данной цене. В простейшем случае линия спроса, определяющая зависимость объема спроса товара от его цены, представляется прямой линией [1], понижающейся с ростом цены:Q° (x) = Qm - ax, (1) где a - модуль тангенса угла наклона линии в координатах цена-спрос (x, Q), Qm -спрос при нулевой цене. Реально спрос Q°(x) нелинеен, и при приближении цены к нулю очень быстро возрастает, а при значительном увеличении цены медленно приближается к нулю, оставаясь положительным, так что линейная модель спроса (1) является простейшим приближением линии спроса, достаточно адекватным реальности лишь в окрестности точки рыночного равновесия.Пусть состояние рынка характеризуется в каждый данный момент (интервал) текущего времени t ценой товара x(t). Не будет большим преувеличением предположение о том, что рынок стремится обеспечить покупательский спрос и при этом добиться максимальной прибыли путем соответствующего регулирования цены товара. Очевидно, слишком высокие цены приведут к падению покупательского спроса на этот товар и снизят объем продаж с соответствующим уменьшением прибыли. Наоборот, слишком низкие цены сделают рынок нерентабельным для продавцов. Следовательно, критерий оптимальности поведения рынка должен быть связан с требованием обеспечения покупательского спроса при цене, обеспечивающей максимальную прибыль продавцов, т.е. максимальную рентабельность рынка.Примем в качестве стратегии поставки товара на рынок поставку товара при закупке его в объёме покупательского спроса. В момент времени t покупательский спрос определяется линией спросаQ° (t) = Qm - ax(t) .(2)Обычно между моментом заказа товара для поставки его на рынок и моментом исполнения заказа (фактической поставкой) проходит некоторое время т (запаздывание, лаг поставки), так что к моменту времени t на рынок поступит товар, заказанный за т единиц времени до этого в объёмеQS (t) = Qm - ax(t -т) (3)по цене закупки / Таким образом, к моменту времени t объём поставки товара равен QS(t), тогда как объём спроса товара в этот момент составляет величину Q°(t) по цене x(t).Заметим, что стратегия закупки товара в объёме текущего спроса (3) не учитывает того факта, что в момент времени t-т на рынке уже может находиться непроданный на предыдущем интервале товар в объёме Q(t-T), так что логичнее было бы заказывать поставку товара в объёмеQS (t) - Q(t - т) = Qm - ax(t - т) - Q(t - т)вместо объёма спроса (3), если QS(t) > Q(t-T), т.е. если текущий спрос превышает остатки, или вообще не заказывать товар, если его остатки превышают текущий спрос. Однако в такой постановке модель рынка резко усложняется, хотя, естественно, является более адекватной реальности. Из-за сложности такой модели оставим пока стратегию закупки товара для поставки его на рынок в виде текущего спроса (3).Если x(t-T) < x(t), то Q(t) > Q°(t), и спрос будет полностью удовлетворен. При этом останется непроданным Q(t) = QS(t) - Q°(t) >0 единиц товара. Если же x(t-T) > x(t), то QS(t) < Q(t), и спрос может оказаться неудовлетворенным в полном объёме. Весь товар QS(t) будет продан, непроданного товара (остатка) не будет (Q(t) = 0), и образуется дефицит спроса QS(t) - Q(t) < 0, что приведет к недополученной прибыли.Таким образом, если к моменту t (к началу t-го интервала дискретного времени) имелся остаток (непроданный товар) в объёме Q(t), а дополнительное предложение (поставка) товара на этом интервале составило величину 0(7), то продано на этом интервале может быть либо Q°(f), если Q(t) + Q(t) > Q°(t), либо ß(t) + Q(t), если Q(t) + Q(t) < Q°(t). Тогда остаток товара на рынке к началу следующего (t+1-го) интервала выразится величинойQ(t +1) = [Q(t) + Qs (t) - qD (t)] 1 (Q(t) + Qs (t) > QD (t)) ,(4)где - индикатор события, указанного в скобках, равный 1, если событие имеет место, и 0, если нет.Соотношение (4) может рассматриваться как уравнение состояния рынка по переменной Q. В развернутой форме это уравнение имеет видQ(t +1) = [Q(t) - a (x(t - т) - x(t))] 1 (Q(t) - a (x(t - т) - x(t))), t = 0,1,2, ^ (5)Очевидно, на закупку товара в объёме QS(t) по цене P\ продавец платит сумму QS(i)P\. А продажа товара происходит в момент t по цене x(t) в объёмебпрод (t) = min (Q(t) + QS (t), QD (t)) = min (Q(t) + Qm - ax(t - т), Qm - ax(t)) = = [Qm - (ax(t -t) - Q(t)) 1 (x(t -t) > x(t) + Q(t) / a) --ax(t) 1 (x(t -t) < x(t) + Q(t) / a)] x(t) - (Qm - ax(t -т))Px - Q(t)P2 .(6)При этом выручка продавца составит на интервале t величину ßnpoa(t)x(t), а прибыль - разницуq S (t) p1 - епрод (t) x(t).При этом, если Q(t) Ф 0 (оставался некоторый объём непроданного товара на текущем интервале дискретного времени), то хранение его стоило Q(t)P2, где P2 -цена хранения единицы товара, и прибыль уменьшается на эту величину. Таким образом, текущая прибыль продавца на t-м интервале времени составляет величинуJ(t) = min(Q(t) + Qm - ax(t - т), ßm - ax(t)) x(t) -- (Qm - ax(t -t)) P - Qit)P2 .(7)Если с течением времени цена стабилизируется, принимая равновесное значение x, так что x(t) -> x, x(t-x) ^ x, min(Q(t) + Qm - ax(t-x), Qm - ax(t)) ^ Qm - ax, то текущая прибыль принимает видJ(t) = (Qm - ax)(x - p) - ß(t)P2 ,(8)откуда видно, что наибольшего и стационарного значения она достигает в отсутствие остатков непроданных товаров, т.е. при Q(t) = 0:J(x) = (Qm -ax)(x-P) .(9)Это квадратичная выпуклая вверх функция x. Следовательно, максимальное значение текущая прибыль достигает приQm + aPiP ,(10)2amax J (x) = J (P* )= (Qm " ap )2 .Заметим, что линия спроса Qm - ax принимает значение, равное нулю, при xmax = ßm/a (это максимальная цена, при которой спрос обращается в нуль, т.е. предельная цена, по которой покупатель уже не согласен покупать товар). Цена закупки товара P\ < P < xmax всегда.Таким образом, в рассматриваемой модели рынка существует равновесная цена P , обеспечивающая максимальную прибыль продавца, которая достигается при отсутствии остатков непроданного товара.Пусть до некоторого начального момента t = 0 рынок находился в состоянии равновесия, так чтоx(t)|t 0 ,к целевой функции рынка J(t). Величину u(t) = x(t+))-x(t) можно рассматривать как «управление», которое вырабатывает инерционный рынок, стремясь перевести себя из возмущенного состояния x(0) = P0 в равновесное P с максимизацией на траектории этого перехода суммарной прибыли:J = T\[Qm -(ax(t-т)-Q(t)) 1 (x(t-т) > x(t) + Q(t)/a)-t=0-ax(t) 1 (x(t - t) < x(t) + Q(t) / a)] x(t) -- (qm - ax(t -т))р - Q(t) P2} - ]Г-2«2 (t) ^ max (13)t=o 2">xпри ограничениях типа равенств (уравнения состояния)x(t +1) = x(t) + u(t), x(0) = P0 > 0 , x(t)|t 0, t = 0, T -1 ,(16) или, что то же, неравенств (ограничений на управления)x(t) + u(t) > 0 , t = 0, T -1 .(17)Здесь T - время наблюдения за состоянием рынка (время функционирования рынка).Таким образом, рассматриваемая модель рынка - это оптимально самоуправляемая система, описываемая уравнениями состояния (14), (15), максимизирующая выпуклый вверх функционал качества (13) с помощью управлений u(t), допустимых системой неравенств (16) или (17).3. Необходимые условия оптимальностиВыпишем необходимые условия оптимальности управления u(t) и состояния x(t), Q(t), используя функцию Лагранжа, присоединяющую к функционалу качества (13) ограничения типа равенств (уравнения состояния) (14), (15) с помощью неопределенных множителей Лагранжа (сопряженных по Гамильтону переменных) _>(t+1), q(t+1):T-lL( x, Q, u, p, q) = J (x, Q, u) + ^ p(t +1) (x(t) + u(t) - x(t +1)) +T -lq(t +1)[(Q(t) - ax(t - t) - ax(t)) 1 (x(t - т) < x(t) + Q(t)/a) - Q(t +1)] .(18)t=0Решив двойственную задачуL(u, p, q) = max L( x, Q, u, p, q)(19)(20) (21)dx(t) dJпри фиксированных значениях управлений u(t) и сопряженных переменных _>(t+1), q(t+1), получим систему рекуррентных уравнений для сопряженных переменных, решаемую в обратном времени:dx(T)dJgit) = q(t +1) dJP{t) = p{t + 1), t = T - 1,1 , piT)- OJt = T -1,1, д(Г) =гдеdQ(t)dQ(T)dx(t)= Qm - (aP* - Q(t)) 1 (P* > x(t) + Q(t) / a) -idJ-2ax(t) 1 (P* < x(t) + Q(t) / a),dx(t)t=T= Qm - (aPo - Q(t)) 1 (Po > x(t) + Q(t) / a) -dJdx(t)x+l x(t + t) + Q(t + t)/a) + aPl,dJdx(t)T-% x(t) + Q(t) / a) - P2,dQ(t)dJ= x(x) -1(P0 ^ x(T) + ß(x)/ a)- P,,= x(t) -1(x(t -T) > x(t) + Q(t)/ a)- P2 .(23) Выпишем функцию Гамильтона как функцию управления u(t):H (u(t) ) = - -2 м 2 (г) + p(t +1) м(г) .(24)Оптимальное управление находится из условия максимума этой функции по и(г) при ограничениях (17). Функция Гамильтона (24) - выпуклая вверх квадратичная функция скалярной переменной u(t). Безусловный максимум этой функции находится в точке„* (t) = p(t +1)/ R .(25)Но оптимальное управление u(t) должно удовлетворять ограничению (17), откуда получаемu(t) = u (t) -1(и* (t) + x(t) > 0) ,(26)т.е. окончательноu(t) = (p(t +1) /R) 1 (x(t) + p(t +1) / R > 0) .(27)Подставив это выражение в уравнение состояния (14), получаем уравнение состояния в замкнутой форме (т.е. уравнение состояния оптимального самоуправляемого рынка):x(t +1) = x(t) + (p(t +1) /R) 1 (x(t) + p(t +1) / R > 0),x(0) = P0, x(t)|^ 0 - шаг изменения управления в направлении s(t). Тогда получится новая траекторияx(t +1) = x(t) + U(t) + ss(t), t = 0, T -1, x(0) = P0 .(33) Решив это уравнение для любого t, получимx(t +1) = x(t +1) + zc{t +1), t = 0, T -1 ,(34)где обозначеноc(t +1) = £ , t = 0, T -1 .(35)k=0С одной стороны, шаг e > 0 должен быть выбран так, чтобы не нарушались неравенства (16):x(t +1) + sc(7 +1) > 0 , t = 0, T -1 .(36)Очевидно, если c(t+1)>0, то e>0 может быть любым, даже как угодно большим. Если же c(t+1) x(t) + ß(t) / a) -2ac(t) 1 (x(t - t) < x(t) + Q(t) / a)} - R (x(T) - P0),B = £{-2ac(t - t)c(t) 1 (x(t - t) > x(t) + ß(t)/a) (43)t=0-2ac2 (t) 1 (x(t - t) < x(t) + ß(t) / a)} - Rc(T) ,(44причем при вычислениях следует учитывать, что c(t ) t x(t))] (x(t) - p) - Z - u2 (г)(53)гдеdJ3dx(t) dJ3dx(i)dx(t) dx(T) = Qm - aP" Л(P* < x(t)) - a(2x(t) -P) l(p* > x(t)),: Qm - aP0 -\{P0 < x(t)) -a(2х(т) -P1) 1(P0 > х(т)),(54)5J3dx(t)%+l

Скачать электронную версию публикации