Diffusion Approximation of Puasson's Model of Uncommercial Fund's Activities by Double Stochastic Payment Current .pdf 1. Математическая модель изменения капитала фондаПод некоммерческим фондом понимается организация, созданная для сбора и распределения денежных средств без получения прибыли. Построению и исследованию моделей некоммерческих фондов посвящены, например, работы [1 - 4]. Среди некоммерческих фондов особую группу составляют так называемые государственные внебюджетные фонды РФ. Основная особенность деятельности этих фондов состоит в том, что поступление и расходование средств внебюджетных фондов определяется законодательством, которое устанавливает не только размеры страховых взносов, но и временные границы перечисления средств в фонды. Так, в настоящее время перечисление средств во внебюджетные фонды должно осуществляться до 15 числа месяца, следующего за отчётным. Это приводит к тому, что интенсивность потока страховых платежей имеет существенно различные значения в первой и во второй половине месяца. В то же время моменты изменения интенсивности зависят от многих случайных факторов и не могут рассматриваться как детерминированные. Подходящей моделью потока страховых платежей при этом является дважды стохастический пуассоновский поток [5].Основной характеристикой состояния фонда является его капитал s(t) в момент времени t. В работе предполагается, что с капиталом фонда могут происходить следующие изменения:1. В фонд поступают денежные средства. Поступающие денежные суммы (премии) являются независимыми одинаково распределёнными величинами сплотностью распределения ер(x) и моментами M {x} = a и M{x2} = a2.Будем считать, что моменты поступления денежных средств образуют дважды стохастический пуассоновский поток с переменной интенсивностью X(t). Интенсивность X(t) является однородной цепью Маркова с непрерывным временем и n состояниями X(t) = Xt [6]. Переход из состояния в состояние задаётся матрицей инфинитезимальных характеристик Q = [q] ранга n -1. Таким образом, переход из состояния i в состояние j за малое время At имеет вероятность p (At) = qtj At + o{At), i * j Pu (At) = 1 + quAt + o(At), i = 1, n ,где qtj > 0 при i * j и£ qv= 0 .(2)2. Фонд расходует поступившие денежные средства. Будем считать, что моменты выплаты денежных средств образуют пуассоновский поток с интенсивностью р. Расходуемые суммы являются независимыми случайными величинами b(s)x, где случайная величина x имеет плотность распределения у(x) и моментыM {x} = 1 и M {x2}=ß2 . Предполагается также, что расходование денежныхсредств имеет релейный характер, т.е.fb0,s < s0,lb1> s > s0для некоторого порогового значения капитала s0. Так как фонд не имеет целью получение прибыли, то естественно считать, чтоub0 = (1 - 9)X0 a , = (1 + 9)Х0 a ,(4) где 0 s0 расходует в среднем больше средств, чем него поступает.Наконец, будем считать, что при s < 0 фонд не прекращает своей деятельности, но наступает период неплатежеспособности фонда, обязательства фонда выполняются по мере поступления денежных средств.В работе исследуются статистические характеристики предлагаемой модели в диффузионном приближении (в предположении, что параметр 9-» 0).2. Плотность распределения капитала фонда в стационарном режимеОбозначим p (s, t)ds = P{s < < s + ds; X(t) = Xt} (i = 1, n). Рассмотрим два близких момента времени t и t + At. Пусть в момент времени t + At X (t + At) = Xt и капитал фонда s(t + At) = s . Тогда на интервале времени длиной At могли произойти следующие события:1.Интенсивность X(t) = Xt, за время At интенсивность не изменилась, денеж-ные средства в фонд не поступали и не выплачивались. Вероятность этого собы-тия равна 1 + (qu - Xt - \i)At + o(At).2.За время At значение интенсивности X(t) = Хj поменялось на X (t + At) = X;,денежные средства в фонд не поступали и не выплачивались. Вероятность этого события qj7At + о(Аг).3.Интенсивность X(t) = X;, за время At интенсивность не изменилась, поступи-ли денежные средства в размере x. Вероятность этого события XtАгср(x)dx + o(At).4.Интенсивность X(t) = Хг-, за время At интенсивность не изменилась, былапроизведена случайная выплата в размере x. Вероятность этого события равнацАг1\|/(-Х-)dx + o(At).b( s + x) ^ b(s + x))5.Вероятность иных событий равняется o(At).Используя формулу полной вероятности, получимP (s, t + At) = (1 + ( qu -X{ - ц ) At)P (s, t) + X q jiPj (s, t)At +i Ф]+Xt At J p (s - x, г )ф( x)dx + цАг J (s + y)- \|/| --I dy + о(Аг).00b(s + y) ч b(s + y)JСчитая функции p (s, t) дифференцируемыми по t и переходя к пределу приAt - 0 , получим= (qu- X; - ц)p (s, t) + X P(s, t) ++h \Pt(s-x,t)q>(x)dx + u\Pt(s + y)-yl - Idy.(5)Рассмотрим далее стационарный случай. ПустьP (s) = lim Pi (s, t) .(6)Функции Pi (s) будут удовлетворять уравнениям-(?,,. -А., -и) p (s) - I q j Pj (s) =г*/= X, Jр(s - х)ф(x)dx + ц Jр(s + у)--у I -^-\dy (7)00b(s + У) I b(s + у) Jс вытекающими из их определения условиями нормировкиJ Pj (s)ds = nj ,(8)где nj - финальная вероятность состояния Xj. Решение уравнений (7) будем искать в видеPi (s) = 9/5 (6s, 9) ,(9)считая функции fi (z, 9) дифференцируемыми по 9, непрерывными по z во всей области определения и дважды дифференцируемы по z за исключением точки z0 = 9s0, так как в точке s0 коэффициенты b(s) имеют разрыв. Будем также считать, что s0 = s0(9) и что при 9-»0 s0(9)-»ос, но так, что существует конечный пределlim6s0 (6) = z0 .(10)0 0Рассмотрим область s < s0 . В этой области уравнения (7) перепишутся как1],-jV i*j 0со-(qti - ht - И)Pt (s)" Z qjiPj (s) = xt \Pi(s " xMx)dx +b0 0I b0fjPi (s + yHfl dv + И I P (s + y)1 4Z I"1 4^dy .(11)Подставляя функции (9) в уравнение (11) после замены переменных z = 9s и z0 = 9s0, получимда(Xt + u)f (z, 9) - X qßfj (z, 9) = Xt Jf (z - 9x, 9)Ф(x)dx -j=1 0+ff(z + 9x,9)x|/|-x-|dx + u ] f(z + 9x,9)b0 01 f x ) 1 [ xА V b) bo ■ у bodx .(12)Переходя в уравнении (12) к пределу при 9 - 0, будем иметь£ qßfj (z,0) = 0 .(13)Из теории цепей Маркова с непрерывным временем известно [6], что финальные вероятности л, являются решением системы уравнений(14)и=1где величины л, удовлетворяют условию нормировки:п1 +п2 +... + nn = 1 .Так как ранг матрицы Q = [?уг- ] равен n-1, то из (13) и (14) получаем, чтоfj (z,0) = п j f (z) ,(15)где f (z) неопределённая пока функция. Пусть теперьf (z, 9) = nj f (z) + hj (z)9 + 0(9) .(16)Подставляя выражения (16) в уравнения (12), раскладывая подынтегральные функции в ряд по 9 и ограничиваясь членами, имеющими порядок 9, получим:X q ji hj (z) = (X, -X о W (z) J1 f x ) 1 [ xbi К bi J bo ' К bodxf (z) + o(9) .(17)6Так как1 1961 f x ) 1 [ x6b,6bjdx = - j \|/(x)dx < - j y(x)dx < ---- I XV(x)dx ,'zo - z6bто при 9 - 0 получим из (17)nZ qjihj (z) = О; - ^0 )n;f (z) .(18)Пусть теперьf (z, 0) = n f (z) + ht (z )9 + g (z )92 + o(92).(19)Подставляя разложения (19) в уравнение (12), раскладывая подынтегральные функции в ряд по 9 и ограничиваясь членами, имеющими порядок не выше 92, получим, учитывая (15) и (18), после предельного перехода при 9 - 03=1ni f (s) - (Xi -X0 )ahi(s) -X0ani f(s) ,(20)гдеи2b2ß2.(21)Просуммировав, наконец, все соотношения (20) по i, получим с учётом (2), чтоX о а2 + рЪ22 f (s) -Хоaf (s) -1 (Хг. -Xo) ah- (s) = 0 .2 i=i(22)Из системы уравнений (18)Z qji(z) = (X; - xo Дz) j=1(23)nилиh»* (z) = - hin (z) + Z Rnjn j (X j - X0 )a/(z).nn j=1(25)Откуда следует, чтоg (X0 - A.* )ahk (z) = -g Rjпу (Xу "XQ )afz).k=l j=lТаким образом, при z < z0 функция f (z) удовлетворяет уравнениюYo f (z) -lj (z) = 0,гдеYo =-°^:2 + Z (К ~КП(Ay -A,0)a , yt = x z0 функцияf (z) = de ro .Наконец, условие непрерывности функций fi (z, 9) в точке z = z0 даёт c = d . Таким образом, при 9« 1-i 9|s - So|P (s) = d6n;e Yo + o(9).Пусть, наконец,•·безусловная плотность распределения капитала в стационарном режиме. Тогда•·е| s - so|•·P(s) = d9e Yo +o(9).•·Учитывая условие нормировки плотности распределения, окончательно получим, что•·•·P(s) = -!-*- e y0 +o(9) .(27)•·2Yo•·•·3. Плотность распределения периода неплатежеспособности•·Пусть ti (s) - период неплатежеспособности фонда при условии, что в начале периода капитал фонда равен s(s < 0) и значение интенсивности X(t) = Xi. Обозначим через•·\|/, (u, s) = M {e-uti (s)} (28)•·условную производящую функцию периода неплатежеспособности.Пусть в начале периода X(t) = Xi. За малое время At происходят следующие события: капитал фонда меняется на случайную величину As, а интенсивность X(t) остаётся неизменной с вероятностью 1 + qii At + o(At) либо принимает значение Xi с вероятностью qtjAt + o(At). Поэтомуti (s) = At + (1 + quAt)ti (s + As) + £ qijAttj (s + As) + o(At)j *iи Vi (и,s) = e-aAt [(1 + qu.At)MAs (u,s + As)} + £ qu- AtMAs j (u,s + As)}] + o(At).d*iУсредняя по As, получим, отбрасывая члены, имеющие порядок o(At), и учитывая, что при s > 0 период неплатежеспособности заканчивается и, следовательно, ti (s) = 0, что-sуу(u,s) = e-aAt[(1 + (qü - %i -ц)Atyi(u,s) + А,г-At jу г-(u,s + x)cp(x)dx +0Xt At j ф( x)dx +At j уг- (u, s - x)y\ - I dx + X qy Aty j (u, s)] + o(At).Переходя к пределу при At -0, получим, что производящие функции уг- (u, s) должны удовлетворять уравнениямn(Xi + ц + u)у(u,s) - 2 q.. V j (u,s) =j=l ,y= Xi j у; (u, s + х)ф(x)dx hj у i (u, s - x)y I - I dx + Xi | ф(x)dx .(29)0bo оV bo У -sРешения уравнений (29) будем искать в видеVi («, s) = f ^, 9s, 9) ,(30)где функции fi (ю, z, 9) предполагаются дважды дифференцируемыми по z и непрерывными по ю и 9. Подставляя выражения (30) в уравнения (29) и делая замену переменныхк>= -, z = 9s , 92nполучим(Xi + ц + 92ю) fi (ю, z, 9) - 2 q,j/j (ю, z, 9) == Xf j fi- (ю, z + 9x, 9)ф( x)dx hj fi- (ю, z - 9x, 9)y I - I dx + Xf j ф( x)dx.0b0 0V b0 У_ £оПереходя в уравнениях (31) к пределу при 9 - 0, будем иметьn2 qjfj (ю, z, 9) = 0 .(32)Так как ранг [ qtj ] = n -1, то в силу условий (2)fj (ю, z, 9) = f (ю, z) ,(33где f (ю, z) - произвольная функция. Пусть теперьfi (ю, z, 9) = f (ю, z) + Й (со, z)9 + о(9) .(34)Подставляя соотношения (34) в уравнение (31), получим аналогично выводу соотношений (18), чтоn2 qj(ю, z) = (Xo-X i)af (ю z) .(35)Пусть теперьfi(ю,z, 9) = f (ю,z) + ht (ю, z)9 + gi(ю, z)92 + о(92) .(36)Подставляя теперь соотношения (36) в уравнение (31), получим, учитывая (32) и (35), чтоf(ю,z) + Xoaf (ю,z)-cof(ю,z)+ (X,-X0)ah(ю,z) = -£ %g;(ю,z) .(37)2 j=i Наконец, умножая соотношение (37) на финальные вероятности ni и учитывая (14), будем иметь2n/(ю, z) + Xoaf(ю, z)-ю f(co, z) + £ (хг- "Хо К-ай, (со, z) = 0 .(38)2 i-iИз уравнений (35) следует, что функции iit (ю, z) удовлетворяют уравнениямnZ qj Ä; (ю>z) = Оо - хг )Дю> z).(39)Так как одновременно выполняются условияn£ ni % =0,i=1i=1то система уравнений (39) совместна, имеет ранг (n -1) и общее решениеn-1 n-1hk О,z) = - Z Rjk qjin hn (ю>z) + Z Rj k(xo " x j Wi®, z),j=i j=iгде матрица R = [ Rj ] определяется соотношением (24).Из условия (2) и в силу определения обратной матрицы (24)n-1n-1 n-1n-1 n-1Z R7k q7n =- Z R7i Z qji = - Z Z Rjk qji =1.j=1j=1 i=1i=1 j=1Таким образом,n-1hk (ю, z) = hn (co, z) + 2 Rjk (Xo " xj W(ю,z),7=1и, следовательно,Z (Xk "X0КОЙ* (CO, z) = E (Xj -Xо )Z Rjtnt (Xt -X0 )a2/ (co, z) .k=1j=i *=iОкончательно получаем, что функция f (со, z) удовлетворяет дифференциальному уравнениюYo / (го, z) + У1/(го, z) - го/(го, z) = 0 .(400 Решение уравнения (40) имеет видf (го, z) = Ci (co)e'1 (ffl)z + C2 (co)e'2 (ffl)z ,(41) где t(r) =, («) =.(42)2Y0 2y0Так как f (ю, z) - производящая функция, то |/(ю, z)| < 1 при всех z < 0 . Поэтому в (41) необходимо положить С1(ю) = 0 . Откудаf (ю, z) = C2 (ю)е'2 (ffl)z .Для определения C2 (со) рассмотрим поведение f (ю, z) при z = 0 . При z = 0 уравнение (31) даёт(А,, + и + 92ю)f (ю, 0,9) - £ 4lj f (ю, 0,9) = £■](Ю1 - 9x, 9)V (f] dx + К,.Переходя к пределу при 9 - 0, получим отсюда, что f (ю, 0) = 1 и, следовательно, С2 (ю) = 1.Таким образом, при 9 s0. Обозначим через tt (s) продолжительность периода повышенных выплат, если в начале периода капитал фонда равен s (s > s0) и значение интенсивности X(t) = Xi. Обозначим черезH (u, s) = M {e~ut>(s)} (46) условную производящую функцию периода повышенных выплат. Аналогичновыводу уравнения (29) можно показать, что функции Hi (u, s) (46) удовлетворяют уравнениям(Xi +р + u)Hi (u, s) - ^ ЧуHj (u, s) = Xi jHi (u, s + x)cp(x)dx +f° H(u, s - x)xf\ - I dx + f J - 1 dx ,(47)так как при s = s0 период повышенных выплат заканчивается. Решения уравнений (47) будем искать в видеH (u, s) = f-(-J, Bs, 9) ,(48)где функции fi (со, z, 9) предполагаются дважды дифференцируемыми по z и непрерывными по ю и 9. Подставляя выражения (48) в уравнения (47) и делая замену переменныхсо= -г, z = 9s , 92получим (z0 = 9s0), что(Xi + ц + 92ю)f. (ю, z, 9) - £ qj fj (ю, z, 9) =z - z0= XtIf (ю,z + 9x,9)cp(x)dx + J f (ю,z-9x,9)\|/[ -]dx + ] \|/[ -]dx .(49)оb оl b) b \ b)eАналогично предыдущему можно показать, что при 9 z0 и начальному условию f (ю, z0) = 1 имеет видf (ю, z ) = e-t2 (ffl)( z - Z0), где t2 (ю) определяется соотношением (42). Таким образом, при 9« 1 условная производящая функцияH (als) = e ve v +о(9) .(52) При s > s0 случайная величина s, как следует из (27), имеет распределениеPIs > so) YoУсредняя (52) по вероятностям состояний щ и по s, получим, что безусловная производящая функцияn » 2H(s) = Z п ■ J H (ю, s)P(s |s > s0 )ds =, ,i-i ' s01+ V1 + аюгде а определяется формулой (44). Таким образом, в рассматриваемом симметричном случае, определяемом соотношением (4), при 9« 1 производящие функции периода неплатежеспособности и периода повышения выплат, а следовательно, их плотности распределения одинаковы.ЛИТЕРАТУРА

Скачать электронную версию публикации