The Research of MAP in Conditions of GrowingIntensity .pdf Многочисленные исследования реальных потоков в различных предметных областях, в частности телекоммуникационных потоков, а также потоков в экономических системах, выполненные зарубежными и отечественными специалистами, позволили сделать вывод о существенной неадекватности классических моделей (пуассоновских, рекуррентных) случайных потоков, поэтому актуальной является задача применения современных моделей потоков и развитие математических методов их исследования.1. Математическая модельИзвестно, что MAP-поток определяется цепью Маркова k(t), заданной матрицей Q инфинитезимальных характеристик д^, набором неотрицательных величин A.k(1)>0 и набором вероятностей при всех k Ф v.События МАР-потока наступают в соответствии с законами ММР вне моментов изменения состояния цепи Маркова k(t), а в моменты перехода из состояния k в v с вероятностью d^ наступает еще одно событие, а с вероятностью (1 - d^) событие в этот момент не наступает [1].Обозначим n(t) - число событий рассматриваемого потока, наступивших за время t.Определим случайный процесс {k(t), n(t)}, который является двумерной цепью Маркова [2].Обозначим P(k,n,t) = P{k(t) = k, n(t) = n} - распределение вероятностей значений процесса {k(t), n(t)}.Так как {k(t), n(t)} является двумерной цепью Маркова, то для распределения его вероятностей P(k,n,t) можно записать следующие равенства:P(k, m, t + At) = P (k, m, t )(1 - Xk At )(1 + qkk At) + P (k, m -1, t )X k At ++ X {P(v, m -1,t)dvk + P(v, m, t)(1 - dvk )}qvkAt + o(At),откуда, положив dkk = 0, получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:,n,t) =4° {P(k, n-1,0-P(k, n,t)}+I(P(v, n-1,t )dvi +P(v, n,t){\-dvk )}qvk. (1)0? vНачальное условие для решения P(k,n,t) этой системы определим в видеp(k, И,0) = jгде R(k) - стационарное распределение вероятностей значений цепи Маркова k(t). ОбозначимдаЯ(k, u, t) = 2 eJunP(k, n, t) = R(k)M{eJun(t) | k(t) = k}, (2)где j = V-l - мнимая единица.С учетом (2) из (1) для функций H(k, u, t) получим задачу Коши:Ш(!'U?) = ^>(eJu -l)H(k,u,t) + XH(v,u,t)(l + (eju -\)dvk}qvk,Otv (3)Я (k, u,0) = R(k).Задачей исследования случайных потоков однородных событий является нахождение распределения вероятностей P(n,t)=P{n(t)=n}, которое определяется как одномерное маргинальное распределениеP(n, t) = 2 P(k, n, t).kМетодом асимптотического анализа [3] будем называть исследование уравнений, определяющих какие-либо характеристики системы, при выполнении некоторого асимптотического условия.Поставленную задачу будем решать в асимптотическом условии растущей интенсивности.Условием растущей интенсивности МАР-потока будем называть соотношенияXf = N-X, N- о ,(4)определяющие большие значения интенсивности потока. С учетом (4) перепишем задачу Коши (3) и получим= NXк (eju -1)H(k, u, t, N) + 2 H(v, u, t, N) {l + (eju - 1)ddtH (k, u,0, N) = R(k). (5)2. Асимптотическое распределениеОбозначим 5=1/N и в системе (5) выполним следующие замены:t = N, H(k, u,t,N) = F(k,u, t, 5) ,(6)получим9F(kI"'X'5) = (eJu -l)F(k,u,t,5) + 5XF(k,u,т,5)(l + (eju -\)dvk}qvk,Ol vF (k, U'0) = R(k). (7)В соответствии с теоремой Пуанкаре об аналитической зависимости решения от параметра [4] можно утверждать, что существуетlim F(k, u, т, 8) = F(k, u, т). (8)5->0В задаче (7), с учетом (8), выполним предельный переход при 8-»0 (N-o), тогда для F(k,u,x) получим совокупность независимых задач КошиdF (k, и, т) jUдт (9) F (k, u,0) = R(k)для любых k.Решения F(k,u,x) задач (9) определяются равенствамиF(k, u, t) = R(k)exp {(eju - 1)Xkт} .(10)Суммируя (10) по k и выполняя в экспоненте обратную к (6) замену т = tN, получим2F(k,u,t) =2R(k)exp{(e7* -l)XkNt} = h(u,tkkгде h(u,t) - асимптотическая при 8-0 (N-oo) характеристическая функция числа n(t) событий, наступивших в МАР-потоке за время t.Разложив экспоненту в ряд, получим следующее равенство:h(u,t) = 2 ejun 2 R(k) {-%kNt^ e-'kkNt .(12)n=0k П\Для достаточно малых 8 (больших N) выполняется приближенное (асимптотическое) равенствоH(k,u,t) = F(k, u, t, 8) » F(k,u, t) . (13)С другой стороны, H(k,u,t) определяется равенством (2). Также просуммировав (2) по k, получимОЭОЭH(и,t) = IH(k,и,t) = I ejunIn,t) = I ejunP(n,t) .(14)kn=0 k n=0Просуммировав по k (13), в силу (11), получим следующее асимптотическое равенство:H(u, t) » h(u, t).Из полученного асимптотического равенства, в силу (12) и (14), получимP (n,t) = IR (k) (^t^lf)^ e-M" ,(15)где Pi(n, t) » P(n, t) - асимптотическое распределение числа событий потока, наступивших за время t.Из (15) следует, что распределение вероятностей Pi(n,t) является взвешенной суммой с весами R(k) пуассоновских распределений, поэтому рассматриваемое распределение может быть многомодальным [4].3. Область применимости асимптотических результатов к допредельной ситуацииВыше были получены формулы (15), позволяющие найти асимптотическое распределение числа событий наступивших в МАР-потоке за время t. Также это распределение можно найти в допредельной ситуации [5] при заданных значениях N Остается выяснить, насколько результаты, полученные с помощью асимптотического анализа, близки к результатам, полученным в допредельной ситуации.Л ЛДля этого находится величина А = max| F(n,t)-F(n,t)|, где F(n,t) - функцияn-0,20,150,05'q =

Скачать электронную версию публикации