Research of MMP- Process by the Asymptotical Analysis Method of them-th Order .pdf 1. Описание и математическая модельПусть эргодическая цепь Маркова k(t) с конечным числом состояний k = 1, 2,..., K задана матрицей инфинитезимальных характеристик Q с элементами qklk2. Также задан набор неотрицательных чисел Xk > 0. Обозначим n(t) - число событий определяемого случайного потока, наступивших за время t, то есть на интервале [0, t) [1].Случайный поток однородных событий будем называть марковски модулированным пуассоновским потоком (ММР-потоком) [2], управляемым эргодической цепью Маркова k(t), если выполняются равенстваP {n (t + At) = n +1 |n (t) = n, k (t) = £j} =Xki At + o (At),P {n (t + At) >n + 1 n (t) = n, k (t) = kx) = o (At).Пусть в некоторый момент времени tm цепь Маркова перешла в состояние ki. В этом состоянии цепь будет находиться до момента tm+1. Длина (tm+1 - tm) интервала постоянства состояния цепи Маркова распределена по экспоненциальному закону с параметром (-qklkl). В течение времени пребывания цепи Маркова в состоянии k1 наступают события потока с интенсивностью Xk. В момент времени tm+1 цепь Маркова перейдет в некоторое состояние k2. Далее процедура повторяется. Эти состояния k1, k2 управляющей цепи Маркова будем также называть состояниями ММР-потока.Очевидно, процесс n(t) является немарковским, поэтому определим двумерный процесс {k(t), n(t)}, который является двумерной цепью Маркова с непрерывным временем. Тогда для распределения вероятностей ее значенийP {k (t) = k, n(t) = n} = P (k, n, t) (1) нетрудно составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова dP (k, n, t)V= 2 P (v, n, t )qvk-Xk P (k, n, t ) + Xk P (k, n -1, t) (2)dtпри заданном начальном условииfP(k,0,0) =[P(k,n,0) = 0, n> 1,( )где R(k) - стационарное распределение вероятностей состояний цепи Маркова k(t), определяемое однородной системой линейных алгебраических уравнений и условием нормировки'X R ( v ) qvk = 0,< v (4)X R (k) = 1.„ kОбозначим функцииH(k,u,t) = £ eJ"nP(k,n,t) = P{k(t) = k}M{eJm{t)/k(t) = k} , (5)где j = V-l - мнимая единица. Для этих функций из системы (2) можно записатьдН(k1) = ZН(v,и,t)qvk + (eju -\)ХкH(k,u,t) . (6)Ol vЗдесь решение H (k, u,t) удовлетворяет начальному условию H (к,u,0) = R(k).Учитывая результаты, полученные в [3], найдем асимптотику более высокого порядка, полагаяHm-i (k, ut ) = exp((ju )m-i (m-1)!Hm (k, u, t), где m > 3 .(7)2. Асимптотика m-го порядкаПусть функция Hm-1 (k, u, t) является решением системы уравненийdHm-1 (k, ut)dtIHm-i (v,u,t)qvi +1 (eju - l)bk - I ^K IHm-i (k,u,t) ,=1 i!(m-1 (Ju) Лтогда для функций Hm (k, u, t) с учетом (7) можно записать дИт (k, u, t)dt= I Hm (v, u, t)qvk + \(eju -\)Xk - I ^U- к, I Hm (k, u, t ).(8)i=1 i!Обозначив sm = t , в системе (8) выполним заменыBMt = Т , и = Sw , Hm (k, u, t) = Fm (k, W, T, S) ,(9)получимdxXF„ (v, w,T, 6)qvk + Fm (k, w,T, 6)I (ejw - 1)bk - X ^ГГ^Кi=1 i!(10)Теорема 1. Если существует предел lim Fm (k, w, т, s) = Fm (k, w, т), тоFm (k, w,t) = R(k)exp' (jw)m Л-К m tm!где R(k) определено выше, величина Km определяется равенством (17).Доказательство.Этап 1. Выполнив предельный переход при s - 0 в системе (10), получим системуZ Fm (v, W, X)qvk = 0 ,Vрешение которой можно записать в виде(13)Fm (k, w, т) = R (k) Фт (w, т) .(12) Этап 2. Решение Fm (k, w, т, s) системы (10) запишем в виде разложенияm-1 (jWs )Fm (k, W, T, В) = Ф m ( W, T ЦК (k ) + £fi+i (k ) \ + O (в"-) .i=1 1 ■Тогда (10) примет видO (в" ) = Z F„ (V, W, T, S)qvk(^-Ki) F„ (k,w,t,в).O(sm) = Ф„ (w,x)j If R(v) + I(v)1 qvk +Подставив в это равенство разложение (13), получим=1 г!Owe)i=1 i!Z ^(Xk-К-)lfR(k) + Z^fi+i (k)i=1 i!(/We)1 i!O (sn ) = im- (v )qvk +(k k _K; ) (k)=i i!i ^.(* fz ex, -к.).=i i!(14)Найдя произведение двух указанных сумм1 (jws)Z {J^L I C fi+1 (k) - к/-) + o (sm),/=2 1! i=1равенство (14) запишем следующим образом:O(вт) = ZZ ^f+i (v)qvk + Z ^((k - K )R (k) +m-1 (jws) j-1v i=1 l!m-1IICfi+i (k)(Xk -к/)./ = 2 1! i=1Приравнивая здесь коэффициенты при одинаковых степенях s, получим следующие системы уравнений:fZ fi (v)qvk + (Xk )R(k) = 0,Vm-2 . (15)Z fm (V) qvk + Z Cm-! (Xk - К^, ) f-+i (k) + (Xk - K„-i ) R (k) = 0.I v i=1рекуррентно определяющие все величины f (k), f (k)fm (k), удовлетворяющие условиям ^ ft (k) = 0 при z=2,3,...,w.kМатрица инфинитезимальных характеристик Q вырождена и для эргодической цепи Маркова k(t) имеет ранг на единицу меньше своей размерности, поэтому для того, чтобы эти системы имели решения fm (k), необходимо выполнение следующих равенств:ГЕ R (k) (х k-к) = о,k< fm-1\ (16)Е [ R (k )(X k)+ Е С +1 (k )(X k -K ) ] = 0,которые определяют значения параметров к, к2кт .Этап 3. Для нахождения функции Фт (w, т) просуммируем все уравнения системы (10) по k, обозначивZ Fm ( k> w Т S ) = Fm ( w T S ) ,kзапишемdFm (k, w, x) dx(ejWE - 1)Xk - Z(/We У= ZjZ ^(Xk-К-) + ^Xi=1 i!Fm (k, W, T, В ) + O (Sm+1 ).Подставляя в это равенство разложение (13), получимdxk ^ i=1 i!m!R(k )+Z ^ ff «Цв^1)-= Ф„ (w, t)(^ Z [X k R (k) + Z Cm +1 (k )(^k-Km-i)] + O (sm+1),: Ф" (W, T)11 XkR (k) + Z C"fi+1 (k)(A.k -Km-i ) I.Полагая, что величины ft (k), i = 1, m -1 удовлетворяют условиям Z fi+i (k) = 0, обозначимf*i = Z x k R (k),kK m = K1ki=1ЗФ„ (w, х) _ . .(jW)mПолучим '- =Фт (W, х)^-Km .Решение Фт (w, х), которое удовлетворяет начальному условию Фт (w,0) = 1, имеет видфт (w> т) = exp"Г-Кт Т(18)Подставляя (18) в (12), получим равенство (11). Теорема доказана.Следствие. В силу замены (9) имеет место равенствоHm ( k, u t) = Fm ( k, W X, S ) .В теореме доказано, что выполняются равенстваlim Fm (k, w,т, s) = Fm (k, w,т) = R(k)exp"hm (u,t)du ,где hm (u, ) определяется (18).ЗаключениеНаиболее принципиальной частью модификации метода асимптотического анализа [2] являются замены (7), позволяющие находить асимптотики hm (u, t) все более высоких порядков m.Одним из основных результатов этой работы является тот факт, что асимптотика m-го порядка hm (u, t) для допредельной характеристической функцииMej™(t -1 имеет достаточно простой вид\ т ( 1U У ]К (и, t) = exp jl^rp Ki t\,и определяется лишь параметрами к, i = 1, m , которые при t = 1 имеют смысл семиинвариантов числа событий, наступивших в ММР-потоке за единицу времени. При t Ф 1 асимптотические семиинварианты к;г пропорциональны длине tинтервала наступления событий в потоке. Показано, что параметры кг- определяются равенствами (17), в которых величины ft (k) являются такими решениями систем (15), которые удовлетворяют условиям £ fi (k) = 0 для всех i = 2, 3,...k

Скачать электронную версию публикации