Construction of the Evaluations of Parameters of the AsynchronousAlternating Doubly Stochastic Event Flow with Extra Event Initiation at ProlongingDead Time .pdf В последние десятилетия в связи с бурным развитием компьютерной техники и информационных технологий появилась важная сфера приложений теории массового обслуживания - проектирование и создание информационно-вычислительных сетей, компьютерных сетей связи, спутниковых сетей связи, телекоммуникационных сетей и т. п., которые можно объединить единым термином - цифровые сети интегрального обслуживания (Integrated Service Digital Networks - ISDN). Системы и сети массового обслуживания (СМО, СеМО) находят широкое применение в качестве математической модели реальных технических, физических и экономических систем. Случайные потоки событий являются, в свою очередь, математической моделью информационных потоков, функционирующих в СМО и СеМО. Например, случайными потоками событий достаточно адекватно описываются информационные потоки заявок, циркулирующие в ISDN, в измерительных системах, а также потоки элементарных частиц (фотонов, электронов), поступающих на регистрирующую аппаратуру в физических экспериментах.В реальных объектах и системах, как правило, интенсивность потока событий меняется со временем, и часто эти изменения носят случайный характер, что приводит к рассмотрению математических моделей дважды стохастических потоков событий. Такие потоки описаны в [1, 2].Со стороны регистрирующего прибора также может быть внесена некоторая неопределенность, в частности, прибор может обладать так называемым мертвым временем, то есть не регистрировать входящие события в течение некоторого времени с момента наступления или регистрации очередного события [3, 4].В настоящей работе рассмотрена задача об оценке параметров потока и длительности периода мертвого времени, наступающего в момент регистрации события прибором и имеющего фиксированную длительность, в асинхронном альтернирующем потоке событий с инициированием лишнего события в условиях продления периода мертвого времени в моменты наступления событий потока.1. Постановка задачиРассматривается поток с инициированием лишнего события, интенсивность которого есть кусочно-постоянный стационарный процесс X(t) с двумя состояниями: X(t) = X, "k(t) = 0. Будем говорить, что имеет место первое состояние процесса (потока), если X(t) = X, и, наоборот, имеет место второе состояние процесса (потока), если X(t) = 0. Длительность пребывания процесса X(t) в первом состоянии есть случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону Fi(t) = 1 - exp(-ait), во втором - F2(t) = 1 - exp(-a2t), где аь а2 - интенсивности перехода процесса X(t) из первого состояния во второе и из второго в первое соответственно. В течение временного интервала, когда X(t) = X, имеет место пуассоновский поток событий с интенсивностью X. Во втором состоянии процесса X(t) генерация событий не производится. Переход процесса из первого состояния во второе вызывает инициирование лишнего события во втором состоянии в момент перехода.После каждого зарегистрированного в момент времени tt события наступает время фиксированной длительности T (мертвое время), в течение которого другие события исходного потока недоступны наблюдению. События, наступившие в течение мертвого времени, вызывают продление периода ненаблюдаемости на величину T. По окончании мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени длительности T и т. д. Вариант возникающей ситуации приведен на рис. 1.Требуется оценить параметры потока X, он, а2 и длительность мертвого времени T по наблюдениям за моментами наступления событий t\, t2, ....1OCjOCjПроцесс X(t)tПоток событий с инициированием лишнего событияtj&/////W/A*Суу////////АV/////////A | У/////////А\ \\У/////////А j„ \'//////////Л :Схема создания продлевающегося мертвого времени-о-Наблюдаемый поток событий t3t4У/////////АtРис. 1. Формирование наблюдаемого потока событий в схеме с продлевающимся мертвым временем: 1, 2 - состояния случайного процесса X(t); штриховка - периоды мертвого времени; t\, t2, ... - моменты наступления событий в наблюдаемом потоке2. Получение преобразования Лапласа для плотности вероятностей />(т)В связи с тем, что начало периода мертвого времени совпадает с моментом t, наступления наблюдаемого события, рассматриваемый процесс, как и процессы [5, 6], обладает марковским свойством и является потоком типа Пальма, а временные интервалы х,- = t;+i - tt взаимно независимы для любого i, (i = 1,2,...). В силу стационарности случайного процесса X(t) плотность вероятностей временного интервала между событиями наблюдаемого потока р(х) = р(х) для любого i, (i = 1, 2,...).Для того чтобы найти плотность вероятностей p(x) для потока с продлевающимся мертвым временем, воспользуемся преобразованием Лапласа gT(s) [9,10]. Построения проведем подобно [7]. Обозначим общую длительность мертвого времени, которая является случайной величиной, ^ (§>T).В каждом конкретном случае возникновения периода ненаблюдаемости возможны следующие варианты:1))В течение периода (t;,t,+T) не произошло событий потока, и тогда ^ = T. Вероятность этого варианта есть функция ПальмадаФо (т) = IР 0, X, ai, a2 >0. A + at - a2ТогдаФ0 (T) = уе-х+а1 )т + (1 - у)е-агТ .(112))Однократное продление периода мертвого времени произойдет, если в момент времени x1 (0 < x1 < T) произойдет событие исходного потока, а на интервале (x1, x1+T) событий не прозойдет. Тогда ^ = x1 + T. Вероятность такого случая естьФо (Т)Р(.3))Двукратное продление периода мертвого времени произойдет, если в моменты времени x1 и x1 + x2 (0 < x1 < T, 0 < x2 < T) произойдут события исходного потока, а на интервале (x1+x2, x1+x2+T) событий не произойдет. Тогда ^ = x1+x2+T. Вероятность такого случая есть ф0 (T) р (x1 )dx1 р (x2 )dx2.Рассуждая аналогично далее и объединяя все возможные ситуации, получимр&) = Фс (T) [ 5ß - T) + J5($ - (хх + T)) р (хх )dxx + V сtt \ + |{5(^-(xi + х2 + T))^(xi)р(х2)dxidx2 + ... I, (2)сс ) где 8(x) - дельта-функция.Применяя преобразование Лапласа к плотности вероятностей p(^) и выполняя необходимые преобразования, получаемg5 (s) = Фо(7>- [l- (X + a)Yd+S)T) _a2(1 -У)(1^ +s)T)5[X + a: + sa2 +s(3)Рассмотрим теперь интервал времени между событиями в наблюдаемом потоке г,- = ti+1 - ti. Поскольку x,, i = 1,2,... - независимые случайные величины, то индекс i можно опустить. С другой стороны, т = ^ + п, где п - длительность интервала между моментом окончания общего периода ненаблюдаемости ^ и моментом наступления очередного события в наблюдаемом потоке. В силу рекуррентности наблюдаемого потока, величины п и ^ зависимы и справедливодадар(т) = J p(S) Pin I = J pi®I S)d % .(4)0 0Найдем выражение для p(x-£,\E). В силу стационарности потока, припишем моменту наступления события в наблюдаемом потоке момент т=0 и рассмотрим интервал времени (0, £+п). Зафиксируем момент ^ - момент окончания периода ненаблюдаемости.Введем вероятности р(т - - условные вероятности того, что на интервале длительности п = т - ^ не наступит событий наблюдаемого потока, и в момент времени т будет иметь место j-е состояние процесса X(t) при условии, что в момент времени т = ^ имело место i-е состояние процесса Х(г), (i, у = 1, 2). Составляя и решая для этих вероятностей систему дифференциальных уравнений с граничными условиями p11(0) = p22(0) = 1, p12(0) = p21(0) = 0, получаем следующие формулы:p11 (т-$) = e-(x+ap21 (х-%) =02(e-a2) -^Ж^ПХ + а1 -а2V (5)Р12 (т-$) = 0,р22 (т_^) = е-а2(т--).Введем в рассмотрение вероятности Рг(т-;) - условные вероятности того, что на интервале (^,т) не произойдет событий наблюдаемого потока при условии, что в момент времени т = ^ имело место i-е состояние процесса Х(г), i = 1, 2. Тогда, очевидно,P (х-$) =рп (х-$)+pl2 (х-$) = е-^*ЛЛ+oij-a2L J Плотности соответствующих вероятностей будут иметь вид р (х-$) = -P/(x-^) = (Я + а!) ^),Я + aj -а2 jВведем в рассмотрение вероятности я,(т\£) - условные вероятности того, что в момент времени т процесс Х(т) находился в i-м состоянии (i = 1, 2) при условии, что в момент времени т = 0 наступило событие наблюдаемого потока и период ненаблюдаемости длительности ^. Прибегнув к построению и решению дифференциальных уравнений для вероятностей л,(т\^), получим соотношенияп,(х|%) = п, + [п,(0|%)-п,]e-(ai +a2)т,к2 (х|$) = п2 - к (0| ^-я, ]e-(ai+a2 )т ,(8)a2 a,где щ =, п2 =.я,(0\£) (i = 1, 2) в (8) - условные вероятности того, что процесс Х(т) в момент времени т = 0 находился i-м состоянии (i = 1,2) при условии, что в этот момент времени в наблюдаемом потоке наступило событие и начался период ненаблюдаемости длительности ^. В дальнейшем будем обозначать л;(0\£) = пt (£),(i = 1, 2).Введем в рассмотрение переходные вероятности л,у - вероятности того, что за время, которое пройдет от момента т = 0 до наступления следующего события в наблюдаемом потоке, процесс Х(т) перейдет из состояния i, в котором он находился в момент т = 0, в состояние j, (i, j = 1,2). Тогда для вложенной цепи Маркова (моментов наступления событий в наблюдаемом потоке) справедливы уравнения для финальных вероятностей:П1 (S) = П1+ П2 ©П21 , П2 (S) = П1 ©П12 + П2 ©П22 . (9)Введем в рассмотрение переходные вероятности qy(E) - вероятности того, что если в момент времени т = 0 произошло событие наблюдаемого потока и наступил период ненаблюдаемости длительности ^ и при этом процесс Х(т) находился в i-м состоянии, то в момент времени т = ^ процесс Х(т) окажется в j-м состоянии (i, j = 1, 2). Составляя и решая систему дифференциальных уравнений для вероятностей получаемq,,(т) = я, +n2e-(ai+(*2)т, q12(т) = к2-к^+«2)т,q21 (т) = Я1 -т^е-^2)т, q22(т) = п2 +ще-^+а)т, (10)где Ль л2 определены в (8).Припишем моменту окончания периода ненаблюдаемости (0,^) момент t = 0. Тогда на полуинтервале [t, t+At), где At - достаточно малый интервал времени, с вероятностью XAt+o(At) или a1At+o(At) произойдет событие наблюдаемого потока.pi1(t)XAt+o(At) - вероятность того, что на интервале (0,t) не произошло событий наблюдаемого потока, а на полуинтервале [t, t+At) произошло событие в 1-м состоянии процесса X(t) при условии, что в момент t = 0 процесс X(t) находился в i-м состоянии (i = 1, 2).p1(t)a1At+o(At) - вероятность того, что на интервале (0,t) не произошло событий наблюдаемого потока, а на полуинтервале [t,t+At) произошло событие во 2-м состоянии процесса X(t) при условии, что в момент t=0 процесс X(t) находился в i-м состоянии (i = 1, 2).Плотности этих вероятностей вычислим, интегрируя их по t от нуля до бесконечности и учитывая (5).Xа1 /114Pll = Pll = 7, Pl2 = Pll = 7.X + a1Х + а1Тогда, в силу марковости процесса, учитывая (10) и (11), получимX а1п11 = п21 = 7, п12 = п22 = 7. (12)X + aX + a1Переходные вероятности не зависят от ^. Подставляя (12) в (9), а затем (9) в (8), получаем_ / |£\ _ , _ X - a2 -(an +a2 )т _ / \r\ _ _ X -

Скачать электронную версию публикации