Mathematical modelling of unstable networks plural access with the source of repeated calls, functioning in the random environment .pdf Необходимость оптимизации сетей связи, математическими моделями которых являются системы массового обслуживания (СМО), привела к рассмотрению управляемых систем массового обслуживания [1]. По-другому такие системы называют системами с переменными параметрами [2].В данной работе рассматриваются математические модели компьютерных сетей в виде СМО, в которых изменение параметров происходит под воздействием внешнего фактора - случайной среды.Влияние случайных внешних воздействий может непосредственно отражаться на интенсивности входящего потока, а также на интенсивности обслуживания заявок на приборе. Первая ситуация достаточно широко рассмотрена в ряде работ, в том числе в трудах [3, 4]. Ситуация второго рода рассмотрена нами, например, в работах [5 - 8].Однако вполне очевидна ситуация, при которой влияние случайной среды сказывается на интенсивности обращения заявок на прибор из источника повторных вызовов. Данному случаю на сегодняшний день уделяется мало внимания. Некоторым образом, работы [9 - 12] восполняют этот пробел. В данной работе предлагаются математические модели неустойчивых сетей множественного доступа с источником повторных вызовов, функционирующим в полумарковской среде.1. Математическая модельРассмотрим математическую модель сети множественного доступа с оповещением о конфликте в виде однолинейной системы массового обслуживания (СМО), на вход которой поступает простейший с параметром X поток заявок. Прибор этой СМО может находиться в одном из трех состояний: k = 0, если он свободен; k = 1, если он занят обслуживанием заявки; k = 2, если на приборе реализуется этап оповещения о конфликте. Заявка, заставшая в момент поступления прибор свободным, начинает немедленно обслуживаться. Продолжительность обслуживания заявки на приборе имеет экспоненциальное распределение с параметром р. Если в течение обслуживания этой заявки другие требования на прибор не поступают, то исходная заявка по завершении обслуживания покидает систему. Если во время обслуживания одной заявки поступает другая, то возникает конфликт. От этого момента начинается этап оповещения о конфликте. Заявки, попавшие в конфликт, а также поступившие на этапе оповещения о конфликте, переходят в источник повторных вызовов (ИПВ). Число заявок в ИПВ обозначим i. Длины интервалов оповещения о конфликте также имеют экспоненциальное распределение с параметром 1/a, где a - средняя продолжительность этих интервалов.Сеть функционирует в случайной среде. В качестве математической модели случайной среды рассмотрим полумарковский процесс [13, 14] s(t) с непрерывным временем t, то есть такой дискретный случайный процесс, который принимает значения из конечного множества состояний s = 1,2,...,S и для которого вложенная по моментам времени tn изменения состояний цепь s(tn) является марковской. Времена пребывания этого процесса в различных состояниях являются условно независимыми случайными величинами, распределение вероятностей значений которых зависит лишь от номера состояния полумарковского процесса.Для определения полумарковского процесса s(t) зададим стохастическую матрицу одношаговых вероятностей p переходов вложенной цепи МарковаPSls2 = P(s(t„+i) = s2 | s(tn) = s1), при этом будем полагать, чтоpss = 0. Понятно, что£ pSiS2 = 1, s = 1,2,...,S .(11S2 = 1Также зададим набор функций распределения Gs (x) значений времени пребывания полумарковского процесса в s-м состоянии.Будем полагать, что влияние случайной среды на функционирование сети определяется зависимостью интенсивности у обслуживания заявок в ИПВ от состояний s случайной среды, то есть у = y(s). Вероятность окончания обслуживания заявки на приборе за бесконечно малый промежуток времени At равна y(s)At + o(t), при условии, что среда находится в состоянии s.В силу свойств приведенной математической модели трехмерный случайный вектор {k(t),i(t),s(t)} изменения во времени состояний {k(t),i(t)} математической модели сети связи и состояний {s(t)} математической модели случайной среды является полумарковским процессом.Для исследования описанной математической модели марковизируем [15] процесс {k(t), i(t), s(t)} методом дополнительной переменной. Введем переменную Z(t), имеющую смысл длины интервала времени от момента t до момента смены текущего состояния случайной среды, тогда процесс изменения значений вектора {k(t),i(t),s(t),является марковским процессом [13, 14].Обозначим P(k(t) = k, i(t) = i, s(t) = s, Z(t) < Z) = Pk (i, s, Z,t).В любой момент времени должно выполняться условие нормировки2 да SZZZ Pk (i, s,, t) = 1.k=0 i=0 s=1Для вероятностей Pk (i, s, Z, t) можно составить следующую систему конечно-разностных уравнений [15] At-методом.P0 (i, s, Z, t + At )(1 - (X + iy(s))At) (P0 (i, s, Z + At, t) - P (i, s, At, t)) +1 s +^AtPl (i, s, Z + At, t) + - AtP2 (i, s, Z + At, t) + Gs (Z) I p Pq (i, s, At, t) + o(At),a sj=iP (i, s, Z, t + At) = (1 - (X + iy(s) + ц) At) (p (i, s, Z + At, t) - p (i, s, Аг, г)) + +XAtP0 (i, s, Z+At, г) + (i + 1)y(s)AtP0 (i +1, s, Z + At, t) + Gs (Z) I /> P (i, s, At, t) + o(At),P(i,s,Z,t + At) = |l -X + Ja?j (P2(i,s,Z + At,t)-P2(i,s,At,t)) + +XAtPl (i - 2, s, Z + At, t) + (i - l)y (s) Afp (i -1, s, Z + At, t) + +XAtp (i -1, s, Z + Аг, г) + Gs (Z) Z /VP (i, s, At, г) + o(At).S =1Разложим функции Pk (i, s, Z + At, t) в ряд по приращениям аргумента Z , в результате получимP(i,s,Z,t + At) = (1 -(X + iy(s))At) (i,s,Z,t) + At 5P°Z') "At 5Po(UCt) j + +ЦД1Р (i, s, Z, t) + - Atp (i, s, Z, t) + Gs (Z) I At 0 " ' ) PslS + o(At), P (i, s, Z, t + At) = (1 - (X + i y(s) + ц) At) f p (i, s, Z, t) + AtZ') - AtЩ t) 1 ++XAtP0(i,s,Z,t) + (i + 1)y(s)Atp,(i + 1,s,Z,t) + Gs(Z) I At 1V'J' ' 7 + o(At),s, =1 dZp,(i,s,Z,t + At) = ^1 -(x + ^A/^j (^P2(i,s,Z,t) + At5P;(дZ,Z,t) "At- dz +XAtp (i - 2, s, Z, t) + (i - l)y (s) Atp (i -1, s, Z, t) + XAtP2 (i -1, s, Z + Af, t) -.gp, (i, st ,0, t)+Gs (Z) Z At^-^ + o(At).Представим интенсивность у обращения заявок на прибор из ИПВ в виде у(s) = yo(s). Поделим уравнения системы на At и при At - 0 для распределенияPk (i, s, Z, t) получим следующую систему дифференциальных уравнений Колмогорова:dt " az az5Zdt dZ dZ+(i + l)ys(s)P0(i +1,s,Z,t) + Gs(Z) £ Д')Al* ,dp(i,s,Z,t) ,( 1V (. z dp(i,s,Z,t) dP2(i,s,0,t) 1 zЛ + - IP2(i,s,Z,t) = - - + XP2(i-1,s,Z,t)-dt у a J " dZ dZ+Xp(i-2,s,Z,t) + (i-l)ycj(s) p(i-1,s,Z,t) + Gs(Z) I 2(' ^ ' )PSlS -(2)s1=1 dZРешение Pk (i, s, Z, t) системы (2) достаточно полно определяет функционирование математической модели сети связи и ее вероятностно-временные характеристики, но для нее не существует точных аналитических методов решения, поэтому данную систему будем исследовать модифицированным для нестационарных распределений методом асимптотического анализа [16, 17] в условиях большой задержки у - 0 .Обозначимy = s2, s2? = т (3) и рассмотрим предельный процессх(т) = lim (s2 i (т / s2)),имеющий смысл асимптотического среднего нормированного числа заявок в ИПВ, покажем, что он является детерминированной функцией. Рассмотрим также процессу(т) = lim ((s2/(т / s2) - х(т) )/s),который характеризует изменение величин отклонения нормированного числа заявок в ИПВ от их асимптотического среднего и покажем, что он является диффузионным процессом авторегрессии. Процесс изменения состояний каналаk(т / s2) при s- 0 является дискретным марковским процессом, независимым отпроцесса у(т).Используя предельные процессы х(т) и у(т) для достаточно малых значений параметра б, рассмотрим процессz(t) = х(т) + zy,который аппроксимирует процесс изменения числа заявок в ИПВ s2i(T / s2), ипокажем, что он является однородным диффузионным процессом.Учитывая обозначения (3), выполним следующие замены в системе (2):2 1si = x + zy , -Pk (i, s, Z, t) = Hk (y, s, Z, t, s) ,(4) sтогда получим систему вида2 dH0 (y, s, Z, t, s) ,аЯ0 (y, s, Z, t, s) +dT dyдНо (у, s, С, т, е) дН0 (у, s,0, т, е) = - - +ИН1(y, s, z т, е) +dz дС+ -Я2 (у, s, С,т,s) + Gs (Z) X - PS1S ,a si =1 dZ 12 5Я,(y,s,Z,t,s) ,/чЗЯ,(y,s,Z,t,s) ... . ,TT. „ ..2 iv./, ,ъ, , у sx'(t)-1v-"' ' + (X + o(s)(x + sy) + ц)H(y,s,Z,t,s) =5t dy5Я[ (y, s, Z, t, s) 5Я[ (y, s, 0, t, s)■^H0 (y, s, Z, t, s)-5Z dZv (у si ,0, т, s)s=i dZ Js2 dH2(ysZ,T,s)-sx'(T)dH2(y,sZ,T,s) +fx+11H2(y,s,Z,t,s) =dH2IysZTS).dT dy v a J dZ-XH2 (у -е, s, Z, т, е) + XHl{ y - 2s, s, Z, т, s) +Sct(s)(x + s(у - s))Щ (у - s, s, Z, t, s) + Gs (Z) I 1 ' ' ' PSlS -(5)S =1Дальнейшие исследования будем проводить, основываясь на этой системе.2. Исследование асимптотических средних характеристикПод асимптотическими средними характеристиками будем понимать распределение вероятностей Rk (x) состояний канала сети связи и функцию х(т).Теорема 1. Асимптотическое при у 0 среднее значение нормированного числа заявок в ИПВ х(т) есть детерминированная функция, определяемая обыкновенным дифференциальным уравнением видаx '(т) = -\\ 0 xR (x) + XR2 (x) + (2X + x)R{ (x) .(6)Здесь величины уk, k = 0,1 определяются пределом (15), а распределения Rk (x), k = 0,1,2 - равенствомRk (x) = lim £ ßk (x, s, Z) ,(7)в котором функции Qk (x, s, Z) определяются системой (11) и условием нормировки (12).Доказательство. В системе (5) перейдем к пределу при s - 0 и, полагая, что существуют конечные пределыlim Hk (y, s, Z, t, s) = Hk (y, s, Z, т)£->0получим систему(Х + CT(s)x)Ho (у s, Z, т) = - - + (у, S, Z,т) -dz dzl-H2(у,s,Z,т) + Gs(Z)£ 5Я°(y'Sl'0,T)a s, =i dZ(X + a(s)x + ц)H(y,s,t) = 9Hl(ZT) - (T) + (X + a(s)x)H„(y,s,Z,т) ++ Gs (0 Z TZ Ps1s ,s1=i dZ-Я2 (y, s, Z, t) = - - + (X + а( s) x) Hl (y, s, Z, т) +a dZ dZ+Gs(Z)£ 9H2('°'T)/V .(9)S =1 dZ 'Решение Hk (y, s, Z, т) системы (9) будем искать в видеИк (y, s, Z, т) = ßk (x, s, Z)H(y, t) .(10)Тогда Qk (x, s, Z), имеющая смысл условного совместного распределения вероятностей состояний k канала и s среды при условии х(т) = x, как следует из (9), определяется системой вида(X + a(s)x)Q(x,s,Z) -°ßo°tZ) - ^S'0) + Hß(x,s,Z) +1 ß2(x,s,Z) ++Gs (Z) i *uv;z pSlS,SQ (x, s, Z) SQ (x, s,0)(X + a(s)x + H)ßi (x, s, Z) = *1V ' ' ^ - *1V ' ' 7 + (X + 00 получимd Г 2 s 1 д Г s-ex '(т) - 1 ZZ Hk (у s °°'тs) И £^Н x Z °(s)Ho (ys °°> т e) -дУ lk=o s=i J dy [ s=1^Z я2 (У, s,t, s) - 2 (2^ + )*)#[ (У, s,, t, s) ^ + o(s).Поделим на б обе части полученного уравнения, выполним предельный переход (8), учтем (10), получим2 s dH (у т) [ ss- x '(т) ZZ Qk(x> s> °°)-т2- = 1 x Z сфОбо (х, s, да) -X £ Q2 (x> s>да)"k=0 s=1 dy [ s=1 j=i- ^ (2X + CT(s )x)Qi (x, s, °) jdHdy^.s=i J dyУчтем условие нормировки (12), обозначимRk (x) = Um ^ ßk (x, s, Z) ;(14)VkRk (x) = lim ^ a(s)ßk (x, s, Z), k = 0,1 ,(15)заметим, что Rk (x) имеет смысл распределения вероятностей состояний канала. Тогда получим {x'(т) + у0xR0 (x) - XR2 (x) -(2X + у1x)R1 (x)}dH(У'т) = 0 .dyПоскольку производная плотности распределения Н(у,т) не может тождественно равняться нулю, следовательно, функция x = х(т) является решением обыкновенного дифференциального уравненияx '(т) = -у 0 xR0 (x) + XR2 (x) + (2X + yl x)Rl (x) .(16)Здесь Rk (x), k = 0,1,2, есть распределение вероятностей состояний канала, определяемое равенствами (14), где Qk (x, s, Z) - двумерное распределение вероятностей состояний k канала и состояний s случайной среды, которое определяется системой (11) и условием нормировки (12). Таким образом, (16) совпадает с (6). Теорема доказана.3. Исследование величин отклонения нормированного числа заявок в ИПВ от их асимптотического среднегоПокажем, что процесс у(т), характеризующий изменение величин отклонениянормированного числа заявок в ИПВ от их асимптотического среднего, является диффузионным процессом авторегрессии. Докажем следующую теорему.Теорема 2. Асимптотически при у 0 случайный процесс у(т) определяется стохастическим дифференциальным уравнением видаdy(x) = A'x (x)y(T)dт + B(x)dw(x) ,(17)где w(t) есть стандартный винеровский процесс, A'(x) есть производная по x от правой части дифференциального уравнения (6), а функция B(x) определяется равенствомB2 (x) = \|/0 xR0 (x) + XR2 (x) + (4X + x)Rj (x) +Ло xh^(x)-Xhf (x)-(2X + nix)Äj(1)(x) + х'(т)£ (x) ,(18)в котором параметры a и X заданы, распределения Rk (x) определяются равенствами (7), величины \|/k определяются обозначением (15), а величины h^1 (x) -пределом (29), в котором функции h^1 (x, s, Z) - есть решение системы (22).Доказательство. Будем искать решение Hk (y, s, Z, т, s) системы (13) в виде следующего разложения:Hk (у, s, Z, т, s) = Qk (x, s, Z) H (y, t) + zhk (y, s, Z, т) + o(s). (19)Подставим в систему (13) разложение (19), учтем (11) и запишем полученную систему, сократив на s все уравнения в следующем виде:-(X + а( s) x)h0 (y, S' Z' т) + цЛ[ (y, Z' т) + - h2 (y, s, Z, т) +- 1Z J PSlS = Qo s> Z) + (^ + °(s)) (x, s, Z) + 2 ^ +a oZ öZ+G (Z) Z "2 ( ' 11 ) PSlS =-ст(s)Q (x, s, Z) .(23)Продифференцируем систему (11) по x, получимn+ ( ) )(x,s,Z) + ggt(x,s,Z) + 1 dß2(x,s,Z) + д \dQü(x,s,Q\ -(K + Ct (s) x) + \x 1 1 { } -Sx Sx a дх dZ\ дх )тг{ ; } + °Л Q Ztt { \p*, = °(s)ßo (x, s, Z),dZl dx J ""^'"=1 dU dx ^SlSdZl dx j ' dZl dx _ 1 dß2(x,s, Z) + (^ + CT(s)x) dßi(x,s, Z) + d_ \dß2(x,s, Z)| d (dß2(x,s,0)} |+G(Z)£^{dQ2S,0)}^ = -a(s)ßl(x,s,Z) .(24) Из (23) и (24) следует, что решение Ак2) (x, s, Z) системы (23) имеет вид(x, s, Z) ^^Ö^ .(25) oxС учетом (25) и (21) разложение (19) можно представить какИк (y, s, Z, т, 6) = Qk (x, s, Z) H (y, t) + 6Ä (x, s, Z) +dy+syH(y, t) dQk (*'Z) + o(B) .(26)dxТеперь найдем вид функции H(y, т). Для этого функции в правой части системы (5) разложим в ряд по приращениям аргумента y с точностью до o(s2), получим- sx (т) + (Л + CT(s)(x + sy))H0 (y, s, Z, t, s) =dx dy8H0 (y, s, Z, t, s) dH0 (y, s,0, t, s)(y, s, Z, t, s)-dZ dZ-Я2 (y' s' Z,T's) + gs (Z) X --- .2 dH(y,s,Z,т,s) ,/чЗЯ,(y,s,Z,т,s) ... . .тг. „ .£2 -iv./, ,ъ, > -sx'(x) -1V-"' ' + (Х + a(s)(x + sy) + ц)Hi(y,s,Z,x,s) = от dyDH, (y, s, Z, t, s) DH (y, s,0, t, s) ... = -L^r2 " ^ " + (*< + CT(s)( x + sy)) Ho (y, s, Z, t, s) +DZ DZ+sct( s) - {(x + sy) H0 (y, s, Z, T, s)} + ct(s) x- +dy 2 dy2(Z) 4 (y, s! ,0, T, S) p + 2 +Gs (Z) Z TZ PSlS + o(s ) ,o2 dH2 (y s Z T o) _o '(т) dH2 (y s Z T o) +dx dy+1 h2 (y, s, z, t, s) = 0H2 (y;s;zt£) -0H2 (y;s;°t£) +a oZ oZ+(X + a(s)( x + sy))Hl (y, s, Z, t, s) -d-s-{{2X + a(s)(x + sy))H (y, s, Z, т, s) + ХЯ2 (y, s, Z, т, s)} +dys2 52+- 2 {(4^ + ) x) H (y, s, Z, t, s) + XH2 (y, s, Z, t, s)} +2 dy+Gs (Z) Z TZ Ps.s + o(£ 4 .(27)S =1Сложим все уравнения системы (27) по k, получим2 dl X „ , _ J ...d[ X£ V1 2 Hk (y, s, Z, x, s) f - sx'(x)-i X Hk (y, s, Z, x, s)\ =dx Ik=o J dy [k=o Jof 2 ] 5 Г 2 ] 5z~tz~\ Z Hk(y>s>ZT>£) Г"Z Hk(y >s ,0,T>£) \-z-[-ФХx + sy)Hо(y,s,Z,x,s)-+(2X + ctO)( x + sy)) Я! (y, s, Z, t, s) + XH2 (y, s, Z, т, s)} + (ct( s) хЯ0 (y, s, Z, t, s) + ХЯ2 (y, s, Z, t, s) +2 Oy2+(4X + a(s)x)Ht(y,s,Z,t,s)} + Gs(Z)ZZ d k0Т,£)^Д1Д +o^^^).k=0 s1=1 dZПодставим в полученную систему разложение функций Яk (y, s, т, s) в виде (26), тогда£2 f ^ Q (x, s, Z) 1--^ _ sx'(t) Г ^ ßk (х, s, Z) 1--^ -U=o 1 -т Г k=0 ) Oy-s2x'(t)^{ ^ ßk(х,s,Z)^°^^- s2x'(x)Г ^ (x,s,Z)]^2^ = = t|Z{ £ Ик (y,s, Z,t, 6) 1 -14 £ Hk (y,s, 0, t,6)dZ U=0 J 5Z U=0-s(-ct(s)xßo (x,s, Z) + Aß(x,s, Z) + (2X + cj(s)x)Q (x,s, Z))ОЯ(y T) -dys2(a(s)ßl(x,s,Z)-a(s)ß0(x,s,Z)- a(s)x8Qo(xSZ) + X8g2(xSZ) +dx dx+01 + ^ (X, s, Z) V {yH(у, Т)} + S2 л-ч^ч-п / ^+(2Х + ст(У)х) |-^ -+ - [v(s)xQo (х, s, Z) + XQ2 (х,s, Z) +дх у dy 2+(4Х + a(s)x)Q1 (x, s, Z) + 2 ( ct(s) xhO0 (x, s, Z) - W/f (x, s, Z) --(2Х + Ф)х) (x, s, Z))]-^^ + Gs (Z) £ £ 5Яk ('°'X'£) ^+о(в2). (28)Просуммируем уравнения системы (28) по s, выполним предельный переход при Z~> 00 , воспользуемся условием нормировки (12), обозначениями (14) и (15), также обозначимhf (x) = lim £ (x, s, Z) ;(29)Пкhf (x) = lim £ a^hf (x, s, Z), k = 0, 1 ,(30)учтем (1), получим= -s(-\|/ 0 xRq (x) + AJ?2 (x) + {2X + \^lx)Rl (x))-dy-г2 {yVlRl (x) -VoRo(x) - x lim £

Скачать электронную версию публикации