The investigation of the mathematical model of random netaccess by method of asymptotical semiinvariants to three orde.pdf Исследованию сетей связи посвящено большое количество работ. Так, вопро-сам анализа сетей связи и протоколов случайного множественного доступа по-священы работы А.А. Назарова [1 - 5], И.И. Хомичкова [6], А.Н. Дудина [7],В.К. Щербо [8].Но несмотря на большое количество работ, посвященных исследованию мате-матических моделей компьютерных сетей связи, многие задачи остаются нере-шенными и интересными для исследования. Так, одной из наиболее важных ха-рактеристик сети передачи данных является величина задержки, необходимая длядоставки сообщения от источника к месту назначения, которая в сетях случайногодоступа является нерегулярной.В реальных системах часто наблюдаются эффекты повторных обращений зая-вок к обслуживающему прибору, конфликты заявок требуют рассмотрения моде-лей, выходящих за рамки классических систем массового обслуживания. Поэтомуинтерес к рассмотрению таких более реальных систем возрастает. В связи с этимпоявилось большое количество работ, посвященных рассмотрению систем с по-вторными заявками, таких как [9 - 13], в которых развиваются численные методыисследования.Альтернативным подходом является применение метода асимптотическогоанализа для исследования таких систем.Методом асимптотического анализа в теории массового обслуживания будемназывать решение уравнений, определяющих какие-либо характеристики системыпри выполнении некоторого предельного условия, вид которого будет конкрети-зирован для различных моделей и поставленных задач исследования.Так, [14] посвящена исследованию бистабильных сетей случайного доступа, в[15] исследуются асимптотические средние немарковских моделей неустойчивыхсетей случайного доступа, а в [16] - процесс изменения состояний в окрестностиасимптотичекого среднего неустойчивой сети случайного доступа.Также большое число работ посвящено исследованию сетей случайного дос-тупа с очередями и поиска подходящего клиента из очереди. Описание данногонаправления можно найти в [17 - 20].Исследование математической модели сети случайного доступа 53В данной статье мы рассмотрим систему с повторными вызовами, конечнымчислом станций и оповещением о конфликте, для исследования которой предла-гается метод асимптотических семиинвариантов до третьего порядка.1. Постановка задачиВ данной работе рассмотрим сеть связи случайного доступа с конечным чис-лом станций. Здесь общий ресурс (моноканал) объединяет конечное N число або-нентских станций. Доступ к общему ресурсу реализуется протоколом случайногомножественного доступа с оповещением о конфликте. Любая из N абонентскихстанций, сформировав свое сообщение, отправляет его на общий ресурс (монока-нал). И если ресурс свободен, то начинает осуществляться немедленная передачасообщения, которая заканчивается успешно, если за это время другие сообщенияне поступали. Если же во время передачи одного сообщения поступает другое, топроисходит наложение сигналов, в результате чего сообщения искажаются. Вэтом случае говорят о ситуации конфликта. Сообщения, попавшие в конфликт, атакже поступившие на этапе оповещения о конфликте, считаются искаженными,переходят в так называемый источник повторных вызовов (ИПВ), откуда вновьподаются на обслуживание после случайной задержки.2. Математическая модельВ качестве математической модели сети случайного доступа с конечным чис-лом абонентских станций рассмотрим (рис. 1) однолинейную СМО, на вход кото-рой поступает примитивный [21] поток заявок, формируемый следующим обра-зом. Каждая абонентская станция в течение случайного времени, имеющего экс-поненциальное _____с параметром Ґл N распределение, генерирует заявку, для обслу-живания которой пытается захватить прибор. Требование, заставшее прибор сво-бодным, занимает его для обслуживания, продолжительность которого имеет экс-поненциальное с параметром Ґм1 распределение. Если прибор занят, то поступив-шая и обслуживаемая заявки попадают в ситуацию конфликта и переходят в ис-точник повторных вызовов (ИПВ), а на приборе начинается этап оповещения оконфликте, продолжительность которого имеет экспоненциальное распределениес параметром Ґм2 . В ИПВ заявки осуществляют задержку, ее продолжительность... Ґм2Ґл/N... 1 ҐмИПВҐл/NҐл/NҐт/NҐт/NҐт/NРис. 1. Схема сети случайного доступа54 Е.А. Судыко, А.А. Назаровимеет экспоненциальное распределение с параметром Ґт N . Из ИПВ после слу-чайной задержки каждая заявка вновь обращается к прибору с повторной попыт-кой его захвата. На интервале от первой попытки захвата прибора до моментаокончания успешного обслуживания этой заявки, другие заявки рассматриваемаяабонентская станция не генерирует. И начинает генерировать новую заявку отмомента окончания успешного обслуживания предыдущей.Пусть i(t) - число заявок в ИПВ, а k(t) определяет состояние прибора следую-щим образом:k(t) = 0, если прибор свободен;k(t) = 1, если прибор находится в состоянии обслуживания заявки;k(t) = 2, если прибор находится в состоянии оповещения о конфликте.Если система находится в состоянии {k,i}, то суммарный входящий поток пер-вичных заявок является примитивным с интенсивностью Ґл(N − i) N , если приборнаходится в одном из двух состояний k(t) = 0 или k(t) = 2, либо Ґл(N − i −1) N ,если прибор находится в состоянии k(t) = 1. Процесс {k(t),i(t)} изменения вовремени состояний описанной системы является марковским.Обозначим P{k(t) = k,i(t) = i} = P(k,i,t), k(t) = 0, 2 , i = 0,1, 2,... , вероятностьтого, что прибор в момент времени t находится в состоянии k и в ИПВ находит-ся i заявок.Нетрудно показать, что распределение вероятностей P(k,i,t) является реше-нием следующей системы дифференциальных уравнений Колмогорова:1 2P(0,i,t) N i i P(0,i,t) P(1,i,t) P(2,i,t),t N NЎУ ⎛ − ⎞ = −⎜ƒ + Ґт ⎟ + Ґм + Ґм ЎУ ⎝ ⎠1P(1,i,t) N i 1 i P(1,i,t) N i P(0,i,t) i 1 P(0,i 1,t),t N N N NЎУ ⎛ − − ⎞ − + = −⎜ƒ + Ґт + Ґм ⎟ + Ґл + Ґт + ЎУ ⎝ ⎠2P(2,i,t) N i P(2,i,t) N (i 1) P(2,i 1,t) i 1 P(1,i 1,t)t N N NЎУ ⎛ − ⎞ − − − = −⎜ƒ + Ґм ⎟ + Ґл − + Ґт − + ЎУ ⎝ ⎠N (i 1) P(1,i 2,t),N− −+Ґл −которую запишем для стационарного режима:(0, ) 1 (1, ) 2 (2, ) 0, N i i P i P i P iN N⎛ − ⎞ −⎜ƒ + Ґт ⎟ + Ґм + Ґм =⎝ ⎠1N i 1 i P(1,i) N i P(0,i) i 1 P(0,i 1) 0,N N N N⎛ − − ⎞ − + −⎜ƒ + Ґт + Ґм ⎟ + Ґл + Ґт + =⎝ ⎠2N i P(2,i) N (i 1) P(2,i 1) i 1 P(1,i 1)N N N⎛ − ⎞ − − − −⎜ƒ + Ґм ⎟ + Ґл − + Ґт − +⎝ ⎠N (i 1) P(1,i 2) 0.N− ______−+ƒ − = (1)Из нее получим систему уравнений для функций( , ) jui ( , ).iH k u =ҐТe P k i (2)Исследование математической модели сети случайного доступа 55Такая система уравнений имеет вид( ) 1 2(0, , ) (0, , ) (1, , ) (2, , ), j H u tH u t H u t H u tN uЎУ− Ґл−Ґт =−Ґл +Ґм +ҐмЎУ( ) ( ) ( 1)j e ju H(0,u,t) j H(1,u,t) H(0,u,t) H(1,u,t) 1 H(1,u,t),N u N u N− ЎУ ЎУҐт −Ґл − Ґт−Ґл =Ґл − Ґл+Ґм +ҐлЎУ ЎУj ( e ju e2 ju ) H(1,u,t) j (e ju 1) H(2,u,t) e2 juH(1,u,t)N u N uЎУ ЎУҐт −Ґл − Ґл − =Ґл −ЎУ ЎУ( ) 221 e ju H(2,u,t) 1 e juH(1,u,t).N− ⎡⎣ƒ − + Ґм ⎤⎦ − ҐлОбозначив вектор-строку H(k,u) = {H(0,u),H(1,u),H(2,u)} , эту систему пере-пишем в матричном виде:j H(u) A( ju) H(u)B( ju) 1 H(u)D( ju),N u NЎУ= +ЎУ(3)где матрицы A( ju), B( ju) и D( ju) имеют вид( ) ( ) 0( ) 0 ( ) ( ) ,0 0 ( 1)juju jujueA ju e ee⎡− Ґт − Ґл Ґт − − Ґл ⎤⎢ ⎥= ⎢ − Ґт − Ґл Ґт − Ґл ⎥⎢ ⎥⎢⎣ −Ґл − ⎥⎦21 12 20( ) ( ) ,0 ((1 ) )jujuB ju ee⎡−ƒ Ґл ⎤= ⎢ƒ − Ґл + Ґм Ґл ⎥ ⎢ ⎥⎢ƒ − Ґл − + Ґм ⎥ ⎣ ⎦20 0 0( ) 0 .0 0 0D ju e ju⎡ ⎤= ⎢ Ґл −Ґл ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦(4)Матрицы A( ju), B( ju) и D( ju) допускают следующие разложения:0( ) ( ) ,!A ju ju AЎД ҐнҐнҐн==Ґн ҐТ0( ) ( ) ,!B ju ju BЎД ҐнҐнҐн==Ґн ҐТ0( ) ( ) ,!D ju ju DЎД ҐнҐнҐн==Ґн ҐТгде вид матриц AҐн , BҐн и DҐн очевидно определяется из (4).Полученное равенство (3) будем называть основным уравнением для состав-ленной математической модели. Решение H(u) уравнений (3) найдем при помощипредлагаемого в данной работе метода асимптотических семиинвариантов в усло-вии растущего числа станций.3. Асимптотика первого порядкаДля нахождения асимптотики первого порядка в основном уравнении (3) вы-полним следующие замены:1 ,N= Ґе u = Ґеw, H(u) = F1(w, Ґе). (5)Тогда уравнение (3) примет вид11 1( , )( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )j F w A j w F w B j w F w D j wwЎУ ҐеҐе = Ґе Ґе +Ґе Ґе ҐеЎУ. (6)56 Е.А. Судыко, А.А. НазаровПри ҐеЎж0 , обозначив 1 1 0lim F (w, ) F (w)ҐеЎжҐе = , перепишем уравнение (6) следую-щим образом:10 1 0( )( )j F w A F w BwЎУ=ЎУ, (7)решение F1(w) которого запишем в виде произведения1F1(w) Re jw= Ґк , (8)где неизвестные вектор R и скалярная величина Ґк1 будут определены ниже. Век-тор R имеет смысл распределения вероятностей значений процесса k(t) приҐеЎж0 . Найдем вектор R, подставив (8) в (7), получим систему линейных алгеб-раических уравнений видаR(B0 + Ґк1A0 ) = 0, (9)определяющую вектор R, удовлетворяющий условию нормировки RE = 1, где E -единичный вектор-столбец.Найдем величину Ґк1 . Для этого сложим все уравнения системы (6), умноживэто равенство на единичный вектор E . Затем, раскладывая матрицы A( jҐеw),B( jҐеw) и D( jҐеw) по малому параметру и подставляя в полученное равенство про-изведение (8), получим нелинейное уравнениеR(B1 + Ґк1A1)E = 0 , (10)которое совместно с (9) определяет величину Ґк1 .В силу замен (5), равенств (2) и (8), можно записать асимптотическое равенство( ) 1( ) ( , ) 1( , ) 1( ) jui t jui juNi kM e = H u E =ҐТe ҐТP k i = F w Ґе E ≈ F w E = e Ґк .Функцию 1h1(u) e juN= Ґк будем называть асимптотикой первого порядка. Вели-чину N ⋅ Ґк1 , которая определяет асимптотическое среднее значение числа заявок вИПВ будем называть асимптотическим семиинвариантом первого порядка.4. Асимптотика второго порядкаДля нахождения асимптотики второго порядка в уравнении (3) выполним за-менуH(u) = H2 (u) exp{ juNҐк1} , (11)для неизвестной вектор-функции H2 (u) получим уравнение2 { }2 1 2( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j H u A ju H u B ju A ju H u D juN u NЎУ= +Ґк +ЎУ, (12)в котором выполним замены1 2 ,N= Ґе u = Ґеw, H2 (u) = F2 (w, Ґе). (13)Уравнение (12) примет вид2 { } 22 1 2( , )( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )j F w A j w F w B j w A j w F w D j wwЎУ ҐеҐе Ґе = Ґе Ґе + Ґк Ґе + Ґе Ґе ҐеЎУ. (14)Исследование математической модели сети случайного доступа 57В этом уравнении сделаем предельный переход при ҐеЎж0 , обозначив0 2 2lim F (w, ) F (w)ҐеЎжҐе = , и получим уравнениеF2 (w)(B0 + Ґк1A0 ) = 0. (15)Тогда его решение F2 (w) имеет видF2 (w) = RҐХ2 (w) ,где R - вектор, определенный системой (9) и условием нормировки RE = 1, а ска-лярная функция ҐХ2 (w) будет определена ниже.Раскладывая матрицы A( ju), B( ju) и D( ju) в ряды по параметру Ґе , систему(14) перепишем с точностью до бесконечно малых слагаемых порядка Ґе2 сле-дующим образом:2 { ( )} 20 2 0 1 0 1 1 1( , )( , ) ( )j F w A F w B A j w B A OwЎУ ҐеҐе = Ґе + Ґк + Ґе + Ґк + ҐеЎУ. (16)Решение F2 (w, Ґе) этой системы будем искать в виде2F2 (w, Ґе) = ҐХ2 (w) R + jҐеF21(w) +O(Ґе ) . (17)Подставляя разложение (17) в предыдущее равенство, получим неоднородноеуравнение( ) 221 0 1 0 2 1 1 1 0( )( )( ) ( ) 0F w B A w Rw B A w RAwЎУҐХ+Ґк +ҐХ +Ґк − =ЎУ,из которого вектор-функцию F21(w) можно записать в виде разложения221 2 1 2( )( ) ( )F w w wh w hwЎУҐХ= ҐХ −ЎУ, (18)где векторы h1 и h2 являются такими решениями системh1(B0 + Ґк1A0 ) + R(B1 + Ґк1A1 ) = 0,h2 (B0 + Ґк1A0 ) + RA0 = 0,которые удовлетворяют условиям h1E = 0 и h2E = 0.Для нахождения скалярной функции ҐХ2 (w) просуммируем все уравнения сис-темы (14), умножив ее на единичный вектор E , получим2 { } 22 1 2( , )( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )j F w A j w E F w B j w A j w E F w D j w EwЎУ ҐеҐе Ґе = Ґе Ґе + Ґк Ґе + Ґе Ґе ҐеЎУ. (19)Раскладывая матрицы A( ju), B( ju) и D( ju) в ряды по параметру Ґе и учиты-вая равенство (10), перепишем (19) в виде( ) ( )221 2 1 11 2 12( ) ( ) ( )2j w Rj wA E w R j B A E j w B A EwЎУҐХ ⎧ Ґе ⎫Ґе Ґе = ҐХ ⎨ Ґе + Ґк + + Ґк ⎬ +ЎУ ⎩ ⎭( ) 3+ jҐеF21(w) jҐеw B1 + Ґк1A1 E +O(Ґе ).Имея в виду (18), получаем2 ( ) { 2 }( )1 2 2 12 2 1 2 1 11( )( ) ( )2w RA E w w R B A E w w h h B A Ew wЎУҐХ ЎУҐХ= ҐХ + Ґк + ҐХ − + ҐкЎУ ЎУ.58 Е.А. Судыко, А.А. НазаровПриводя подобные, получим уравнение относительно функции ҐХ2 (w) :2 { ( ) } { ( ) ( ) }1 2 1 11 2 1 1 11 2 1 2( ) 1 ( )2w RA E h B A E w w h B A E R B A EwЎУҐХ+ +Ґк = ҐХ +Ґк + +ҐкЎУ.Следовательно, решение ҐХ2 (w) будет выглядеть следующим образом:22 2( ) exp ( ) ,2w jw⎧ ⎫ҐХ = ⎨ Ґк ⎬⎩ ⎭где( ) ( )( )1 1 1 1 2 1 221 2 1 1112h B A E R B A ERA E h B A E+ Ґк + + ҐкҐк = −+ +Ґк. (20)В силу замен (13) и равенств (2) и (11), можно записать асимптотическое ра-венство( ) 1 1 1( ) 2 ( ) 2 ( , ) 2 ( ) Me jui t = H u E = e juNҐк H u E = e juNҐк F w Ґе E ≈ e juNҐк F w E =( )2exp 1 22jujuN N⎧⎪ ⎪⎫ = ⎨ Ґк + Ґк ⎬⎩⎪ ⎭⎪.Функцию( )22 ( ) exp 1 22juh u juN N⎧⎪ ⎪⎫ = ⎨ Ґк + Ґк ⎬⎩⎪ ⎭⎪будем называть асимптотикой второго порядка. Тогда величину N ⋅ Ґк2 , котораяопределяет асимптотическую дисперсию, будем называть асимптотическим семи-инвариантом второго порядка.Из вида h2 (u) следует, что число заявок в ИПВ распределено асимптотическинормально.5. Асимптотика третьего порядкаДля нахождения асимптотики третьего порядка в уравнении (12) выполнимзамену22 3 2( ) ( ) exp ( )2H u H u ju N⎧ ⎫= ⎨ Ґк ⎬⎩ ⎭(21)и для неизвестной вектор-функции H3 (u) получим уравнение3 { }3 1 2 3( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),j H u A ju H u B ju A ju ju A ju H u D juN u NЎУ= +Ґк + Ґк +ЎУ(22)в котором выполним замены1 3 ,N= Ґе u = Ґеw, H3 (u) = F3 (w, Ґе). (23)Уравнение (22) примет вид2 3 { }3 1 233( , )( ) ( , ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ).F wj A j w F w B j w A j w j w A j wwF w D j wЎУ ҐеҐе Ґе = Ґе Ґе + Ґк Ґе + Ґе Ґк Ґе +ЎУ+ Ґе Ґе Ґе (24)Исследование математической модели сети случайного доступа 59В этом уравнении сделаем предельный переход при ҐеЎж0 и, обозначив0 3 3lim F (w, ) F (w)ҐеЎжҐе = , получим уравнениеF3 (w)(B0 + Ґк1A0 ) = 0. (25)Тогда его решение F3 (w) будет иметь видF3 (w) = RҐХ3 (w) ,где R - вектор, определенный системой (9) и условием нормировки RE = 1, а ска-лярная функция ҐХ3 (w) определена ниже.Раскладывая матрицы A( ju), B( ju) и D( ju) в ряды по параметру Ґе , систему(24) перепишем с точностью до бесконечно малых слагаемых порядка Ґе3 сле-дующим образом:( ) ( )22 30 3 0 1 0 1 1 1 2 1 2( , ) ( ) ( , )2F w j w j A F w B A j w B A B AwЎУ Ґе ⎧ ҐеҐе = Ґе ⎨ + Ґк + Ґе + Ґк + + Ґк +ЎУ ⎩2 } 3+ jҐеwҐк2A0 + ( jҐеw) Ґк2A1 +O(Ґе ) . (26)Решение F3 (w, Ґе) этой системы будем искать в виде разложения233 3 31 32( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2F w w R j F w j F w OҐеҐе = ҐХ + Ґе + + Ґе . (27)Подставляя разложение (27) в предыдущее равенство, получим( ) ( )22 30 3 2 0 1 1 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )2w j w j RA w R j w A j w B A j w A B AwЎУҐХ ⎧ Ґе ⎫Ґе =ҐХ ⎨ Ґе Ґк + Ґе +Ґк + Ґе Ґк + +Ґк ⎬+ЎУ ⎩ ⎭{ ( )} { }2331 0 1 0 2 0 1 1 1 32 0 1 0( ) ( ) ( ) ( )2j F w B A j w A j w B A j F w B A OҐе+ Ґе + Ґк + Ґе Ґк + Ґе + Ґк + + Ґк + Ґе .Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Ґе , получим следующиеуравнения:ҐХ3 (w)R{ jwҐк2A0 + jw(B1 + Ґк1A1 )} + jF31(w){B0 + Ґк1A0} = 0 ,( ) { ( )}{ } 1232 0 1 0 3 2 1 2 1 22 33 3 2 0 11 0( ) 2 ( ) 12( )2 ( ) 2 0.F w B A wRw A B Aww wh A B A j RAw+Ґк + ҐХ Ґк + +Ґк +ЎУҐХ+ ҐХ Ґк + +Ґк + =ЎУ(28)Из первого уравнения системы (28) получим функцию F31(w) в видеF31 = ҐХ3 (w) jwh3 , (29)где вектор h3 является таким решением системыh3 {B0 + Ґк1A0} + R{Ґк2A0 + B1 + Ґк1A1} = 0,которое удовлетворяет условию h3E = 0.Функцию F32 (w) найдем из второго уравнения (28) в виде2 332 3 4 5( )( ) ( )wF w wwh j hwЎУҐХ= ҐХ +ЎУ, (30)где векторы h4 и h5 являются такими решениями систем60 Е.А. Судыко, А.А. Назаров4 ( 0 1 0 ) { 2 1 ( 2 1 2 )} 3 { 2 0 1 1 1}2 1 2 0,2h B + Ґк A + R Ґк A + B + Ґк A + h Ґк A + B + Ґк A =h5 (w)(B0 + Ґк1A0 ) + 2RA0 = 0,которые удовлетворяют условиям h4E = 0 и h5E = 0.Для нахождения скалярной функции ҐХ3 (w) просуммируем все уравнения сис-темы (24), умножив ее на единичный вектор E , получим2 3 { }3 1 2( , )( ) ( , ) ( ) ( ) ( )F wj A j w E F w B j w A j w j w A j w EwЎУ ҐеҐе Ґе = Ґе Ґе + Ґк Ґе + Ґе Ґк Ґе +ЎУ3+Ґе F3 (w,Ґе)D( jҐеw)E . (31)Раскладывая матрицы A( ju), B( ju) и D( ju) в ряды по параметру Ґе и учиты-вая равенство (10), перепишем (31) в виде3 2 { ( ) }1 3 3 13 22( ) 1 1 ( )6 2wRA E w Rw j B A A EwЎУҐХ=ҐХ +Ґк + Ґк +ЎУ31 { ( 2 1 2 ) 2 1} 32 ( 1 1 1 )( ) 1 1 ( )2 2+ jF w w B + Ґк A + Ґк A E + F w j B + Ґк A E .Имея в виду (29) и (30), получаем равенство3 2 { { ( ) } { ( ) }}1 3 3 1 3 2 2 3 2 1 2 2 1( ) 1 1 1 ( )6 2 2wRA E j w w R B A A h B A A EwЎУҐХ= ҐХ + Ґк + Ґк + + Ґк + Ґк +ЎУ{ 2 3 }( )3 4 5 1 1 11 1 ( ) ( )2 2wj wwh h B A EwЎУҐХ+ ҐХ − +ҐкЎУ.Приводя здесь подобные, запишем3 { ( )} 2 { { ( ) }1 5 1 11 3 3 13 2 2( ) 1 1 1 ( )2 2 3wRA h B A E w jw R B A AwЎУҐХ+ + Ґк = ҐХ + Ґк + Ґк +ЎУ+ h3 {B2 + Ґк1A2 + 2Ґк2A1}+ h4 (B1 + Ґк1A1 )}E .Следовательно, решение ҐХ3 (w) будет выглядеть следующим образом:33 3( ) exp ( ) ,6w jw⎧ ⎫ҐХ = ⎨ Ґк ⎬⎩ ⎭где{( ) } ( ) ( )( )3 2 1 2 2 1 4 1 1 1 3 1 3 2 231 5 1 1 12 1312h B A A E h B A E R B A A ERA E h B A E+ Ґк + Ґк + + Ґк + ⎛ + Ґк + Ґк ⎞ ⎜ ⎟Ґк = ⎝ ⎠+ +Ґк. (32)В силу замен (23) и равенств (2) и (21), можно записать асимптотическое ра-венство2 22 21 1( ) ( )2! 2!( ) 3 ( ) 3 ( , )ju N ju N Me jui H u E e juN e H u E e juN e F w EҐк Ґк Ґк Ґк = = = Ґе ≈( ) ( ) 221( ) 2 32!3 ( ) exp 1 2 32 6ju N juN ju jue e F wE juN N NҐк Ґк ⎧⎪ ⎪⎫ ≈ ≈ ⎨ Ґк + Ґк + Ґк ⎬⎪⎩ ⎭⎪.Исследование математической модели сети случайного доступа 61Функцию( )2 ( )33 ( ) exp 1 2 32 6ju juh u juN N N⎧⎪ ⎪⎫ = ⎨ Ґк + Ґк + Ґк ⎬⎪⎩ ⎭⎪будем называть асимптотикой третьего порядка, а величину N ⋅ Ґк3 - асимптоти-ческим семиинвариантом третьего порядка.Аналогично асимптотикам первых трех порядков можно получить вид асим-птотики произвольного порядка m( )1( ) exp!mmjuh u NҐнҐнҐн=⎧⎪ ⎪⎫ = ⎨ Ґк ⎬⎪⎩ Ґн ⎭⎪ҐТ ,где N ⋅ ҐкҐн будем называть асимптотическим семиинвариантом Ґн-го порядка.6. Численные расчетыВыше были получены формулы (10), (20), (32), позволяющие найти асимпто-тические семиинварианты первых трех порядков. Также эти величины для рас-сматриваемой модели можно получить в допредельной ситуации при заданныхзначениях параметров N , Ґм1 , Ґм2 , Ґл , Ґт . Остается выяснить, насколько асимпто-тические результаты близки к результатам, полученным в допредельной ситуациипри различных значениях N . Для этого воспользуемся сравнительной таблицей,где результаты численных расчетов получены при помощи следующего числен-ного итерационного метода.Рассмотрим систему (1) уравнений Колмогорова для стационарного случая.Данная система имеет конечное число уравнений. Численно найдем распределе-ние вероятностей P(k,i) для этой системы, используя следующий рекуррентныйалгоритм.1. i := 0 , найдем решения P(k,i) системы (1), удовлетворяющие дополнитель-ному условию P(0,0) := 1 . P(k,i) = 0 для всех i < 0 ;2. Краевые условия находятся из системы (1) для случаев i = 0, i = 1, i = 2.1P(1,0) P(0,0)Ґл=Ґм;1(1,0) 1 (0,0)(0,1)P N PP N N⎛ − ⎞ ⎜ƒ + Ґм ⎟ − Ґл= ⎝ ⎠Ґт;1(0,1) 1(1,1)P NP N N⎛ − Ґт ⎞ ⎜ƒ + ⎟= ⎝ ⎠Ґм;1(1,1) 2 1 (0,1)(0,2)2P N N PP N N N N⎛ − Ґт ⎞ − ⎜ƒ + + Ґм ⎟ − Ґл= ⎝ ⎠Ґт;2(1,1) 1 (1,0)(2,2)2P N PP N NNNҐт −+ Ґл=−Ґл +Ґм;62 Е.А. Судыко, А.А. Назаров21(0, 2) 2 2 (2,2)(1, 2)P N PP N N⎛ − Ґт ⎞ ⎜ƒ + ⎟ − Ґм= ⎝ ⎠Ґм;1(1,2) 3 2 2 (0, 2)(0,3)3P N N PP N N N N⎛ − Ґт ⎞ − ⎜ƒ + + Ґм ⎟ − Ґл= ⎝ ⎠Ґт;3. Для реализации основного алгоритма из третьего уравнения системы (1) на-ходим P(2,i):2( 1) (1, 1) 1 (1, 2) 1 (2, 1)(2, )i P i N i P i N i P iP i N N NN iNҐт − − + − +− + Ґл − + Ґл −=−Ґл +Ґм.Затем, из первого уравнения системы (1)21(0, ) (2, )(1, )P i N i i P iP i N N⎛ − Ґт ⎞ ⎜ƒ + ⎟ − Ґм= ⎝ ⎠Ґм.И, с учетом P(2,i) и P(1,i), находим из второго равенства системы (1) P(0,i+1):1(1, ) 1 (0, )(0, 1)( 1)P i N i i N i P iP i N N N Ni⎛ − − Ґт ⎞ − ⎜ƒ + + Ґм ⎟ − Ґл+ = ⎝ ⎠Ґт +,если i < N , то i := i +1 и на шаг 3;4. Если i = N , то используем одно уравнение для нахождения величины P(2,N):2( 1) (1, 1) 1 (1, 2) 1 (2, 1)(2, )N P N P N P NP N N N NҐт −− + Ґл − + Ґл −=Ґм,а второе уравнение для оценки величины погрешности численного алгоритма, оп-ределив невязку ҐД в видеҐД = Ґм2P(2, N) − ҐтP(0, N) .Далее, получаем величину p :20 0( , )Nk iP k i p= =ҐТҐТ = ,а затем, поделив P(k,i) на p , находим распределение вероятностей состоянийсистемы. Тогда несложно получить семиинварианты первых трех порядков, ис-пользуя формулы10( ),NiK iP i== ҐТ 22 10( ) (),NiK i Pi==ҐТ − Ґк 33 10( ) (),NiK i Pi==ҐТ − Ґкгде одномерное маргинальное распределение P(i) определяется равенством20( ) ( , )kP i P k i== ҐТ .Исследование математической модели сети случайного доступа 63Пусть N = {10, 20,30,40,50,100,500,1000} , Ґм1 = 1 , Ґм2 = 2 , Ґл = 0,4 , Ґт = 5.Для последнего столбца таблицы взяты коэффициенты ҐкҐн асимптотическихсемиинвариантов первого, второго и третьего порядков, найденные при примене-нии уравнений (9) - (10) и формул (20) и (32).Асимптотические и численные семиинвариантыK (N) N N Ґн 20 30 40 50 100 500 1000 N Ўж ЎДK1(N) N 0,256 0,260 0,262 0,264 0,267 0,272 0,271 0,271K2 (N) N 0,624 0,673 0,704 0,724 0,772 0,819 0,826 0,832K3(N) N 1,010 1,106 1,153 1,178 1,202 1,152 1,136 1,188Приведенные в таблице результаты не противоречат основному результату ра-боты о том, что с ростом N последовательности KҐн (N) N сходятся к ҐкҐн , поэтомус определенной погрешностьюҐн KҐн (N) NҐнҐнҐк −Ґд =Ґкдопредельные значения KҐн (N) можно заменить на их предельные семиинвариан-ты N ⋅ ҐкҐн .В частности, для ҐдҐн ЎВ 0,1 такая замена возможна при N ≥ 20 для Ґк1 , при N ≥ 100для Ґк2 и при N ≥ 30 для Ґк3 . При ҐдҐн ЎВ 0,05 областью применимости асимптотиче-ских семиинвариантов является N ≥ 20 для Ґк1 , N ≥ 200 для Ґк2 и N ≥ 300 для Ґк3 .ЗаключениеВ работе предложен метод асимптотических семиинвариантов для исследова-ния математической модели сети связи с оповещением о конфликте, конечнымчислом абонентских станций и источником повторных вызовов. Предложена ирассмотрена математическая модель данной сети связи для стационарного случая.Применен метод асимптотических семиинвариантов в условии растущего числастанций. Реализован численный алгоритм расчета семиинвариантов первых трехпорядков для допредельной ситуации. Проведено сравнение численных расчетовс асимптотическими.Проделанная работа позволяет сделать вывод о том, что применение методаасимптотических семиинвариантов целесообразно при N ≥ 100, что позволяет на-ходить значения KҐн (N) с погрешностью ҐдҐн ЎВ 0,1.

Скачать электронную версию публикации