Transitional probability densities of the diffusion processes..pdf Теория и практика анализа независимых выборок из временных рядов довольно хорошо и полно разработана. Этого нельзя сказать о зависимых выборках.Проблема в том, что мало известны многомерные распределения вероятностейдля выборок, состоящих из наблюдений процессов, не являющихся нормальными.Вообще говоря, до сих пор даже нет ясных подходов к проблеме конструированиямногомерных распределений. Если известна маргинальная плотность вероятностей р(z) некоторого процесса, то будет ли структура совместной плотностир(z1, z2) инвариантной относительно типа зависимости, что характерно для нормального распределения- Видимо, это не так. Обычно совместные распределениядля одних и тех же маргинальных плотностей принимают различные формы в зависимости от постановки задачи, метода конструирования и задаваемых свойств[1, с. 447]. Ситуация более или менее ясная в случае, когда выборка реализуетсяпри наблюдении марковского процесса. В этом случае многомерная плотностьконструируется единственным образом путем умножения на исходную маргинальную плотность последующих условных плотностей вероятностей (обычно называемых переходными). Таким образом, для построения многомерной плотностивыборки марковского процесса необходимо иметь только маргинальную и переходную плотности вероятностей.В последнее время растет интерес к диффузионным процессам, которые широкоиспользуются в качестве математических моделей реальных процессов, в частностипри анализе финансовых рыночных показателей. В настоящей статье внимание сосредоточено на проблеме определения маргинальных и переходных плотностей вероятностей для диффузионных процессов, когда функция диффузии описываетсяполиномами второго порядка, а функция дрейфа - полиномами первого порядка. В этом случае распределения вероятностей процессов относятся к классу распределений, называемых распределениями Пирсона. Для этого класса процессов большинство получающихся маргинальных плотностей оказываются широко известными, поэтому представляло интерес выяснить, какими будут переходные плотности. Такие плотности для некоторых частных случаев известны из литературы. Здесь рассмотрены все возможные версии рассматриваемого класса.Переходные плотности вероятностей диффузионных процессов 411. Диффузионные процессыи уравнение Фоккера - Планка - КолмогороваМатематическая теория диффузионных процессов была разработана Колмогоровым [2], который вывел свои знаменитые уравнения для переходных плотностей вероятностей диффузионных процессов, предложил способ их решения путем преобразования функций распределения и рассмотрел некоторые частныеслучаи решения этих уравнений.Рассмотрим стационарный марковский процесс, порождаемый стохастическимдифференциальным уравнениемdХ(t) = Ґм(Х(t)) dt - Ґт(Х(t)) dW(t), t > t0, Х(t0) = Х0. (1)Для того чтобы стохастическое дифференциальное уравнение (1) имело единственное сильное решение, являющееся марковским процессом с однородной по времени переходной плотностью вероятностей и стационарной маргинальнойплотностью вероятностей, достаточно [3, c. 415], чтобы1) функции дрейфа и диффузии Ґм(х) и Ґт2(х) являлись шесть раз непрерывнодифференцируемы по x; 2) сходился интеграл2 21 exp 2 ( )( ) x ( )u du dx x u Ґж Ґо Ґз ⎛ Ґм ⎞⎜⎜ − ⎟⎟ Ґт ⎝ Ґт ⎠Ўт Ўтпо области определения случайного процесса x Ўф (Ґз, Ґж) и 3) расходился интеграл от функции2exp 2 ( )x ( )u du u ⎛ Ґо Ґм ⎞⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ Ґт ⎠Ўтна обеих границах области определения случайного процесса x Ўф (Ґз, Ґж). Константа Ґо выбирается внутри интервала (Ґз, Ґж), а ее конкретное значение несущественно.Переходная плотность вероятностей f (х, t | у, s), t > s, процесса Х(t) удовлетворяет прямому уравнению Колмогорова (уравнению Фоккера - Планка)2 22( , | , ) [ ( ) ( , | , )] 1 [ ( ) ( , | , )] 02f x t y s x f x t y s x f x t y s t x x ЎУ ЎУҐм ЎУ Ґт - − ЎУ ЎУ ЎУ. (2)Уравнение (2) впервые было рассмотрено Фоккером (1914) в [4] и Планком(1917) в [5] для описания броуновского движения частиц. Позже Колмогоров(1931) в [2] разработал строгие аналитические методы исследования диффузионных процессов, получил это уравнение и предложил методы его решения.Начальные условия устанавливаются равенствомlim ( , | , ) ( )t s f x t y s x y Ўж= Ґд − .Краевые условия уравнения (2) связаны с наличием отражающих границ области определения процесса Х(t). Это формально означает, что поток вероятности через границы равен нулю. В нашем случае уравнение (2) можно переписатьв виде( , | , ) 1 [ 2 ( ) ( , | , )] ( ) ( , | , ) 02f x t y s x f x t y s x f x t y s t x x ЎУ ЎУ ⎡ ЎУ Ґт ⎤- ⎢Ґм − ⎥ = ЎУ ЎУ ⎣ ЎУ ⎦.42 Г.А. МедведевВыражение в квадратных скобках во втором слагаемом, вычисленное при х = Ґо, называется потоком вероятности G(x,t) в точке х = Ґо: G(x,t) = Ґм(x) f (х, t | у, s) −1 [ 2 ( ) ( , | , )2x f x t y s x ЎУ Ґт ЎУ. (3)При наличии отражающих границ поток вероятности G(x,t) через границых = Ґз и х = Ґж должен быть равен нулю для всех моментов времени t [6, с.121].Рассмотрим -----вначале проблему нахождения стационарной плотности исследуемого процесса. Поскольку процесс Х(t) однороден по времени, то стационарная плотность, если она существует, не зависит ни от временной разности (t − s), ни от начального значения процесса у = Х(s). Так что стационарная маргинальнаяплотность f(х) получается из условной плотности вероятностей f (х, t | у, s) при помощи предельного перехода, когда (t − s) Ўж ЎД: f(х) = lim ( , | , )t s f x t y s − ЎжЎД.Поэтому для стационарной плотности f (х) из (2) получается обыкновенноедифференциальное уравнение2 22[ ( ) ( )] 1 [ ( ) ( )] 02d x f x d x f x d x d x Ґм Ґт − = .Интегрируя это равенство по х один раз, убеждаемся, что результатом являетсяпоток стационарной вероятности, равный некоторой константе. Однако из-за условия отражающих границ эта константа должна быть равной нулю. И окончательно для стационарной плотности f(х) получаем дифференциальное уравнение1 [ 2 ( ) ( )] ( ) ( ) 02x f x d x f x d x Ґт Ґм − = (4)с граничным условием в виде условия нормировки: f (x)dx 1 Ґж Ґз Ўт = .Уравнение (4) легко разрешается, и мы получаемf (х) = 2 2( ) exp 2 ( )( ) ( )c x u du x Ґш u Ґш ⎛ Ґм ⎞⎜⎜ ⎟⎟ Ґт ⎝ Ґт ⎠Ўт , (5)где с(Ґш) - постоянная нормировки, Ґш - фиксированное число из (Ґз, Ґж), конкретноезначение которого роли не играет.Вернемся теперь к рассмотрению уравнения (2) для переходной плотности вероятностей. Для однородных по времени процессов, когда функции дрейфа и диффузии Ґм(х) и Ґт2(х) не зависят явно от времени, решение уравнения (2) естественно искать методом разделения переменных. Представим переходную плотность вероятностей в виде произведения f (х, t | у, s) = u(x)v(t), где сомножителиu(x) и v(t) зависят соответственно от у и s как от параметров, то есть u(x) = u(x| у) и v(t) = v(t|s). Заметим, что согласно начальному условию f (х, t | у, s) Ўж Ґд(x − у) при t Ўж s, поэтому u(x| у) Ўж Ґд(x − у) и v(t| s) Ўж 1 при t Ўж s. Подставляя представлениеf (х, t | у, s) = u(x)v(t) в уравнение (2) и поделив полученное соотношение на u(x)v(t), получим соотношение2 221 ( ) 1 [ ( ) ( )] 1 [ ( ) ( )]( ) ( ) 2dv t d x u x d x u x v t dt u x d x d x ⎛ Ґм Ґт ⎞= − ⎜ − ⎟ = −Ґл⎝ ⎠, Переходные плотности вероятностей диффузионных процессов 43в котором константа Ґл > 0 подлежит определению с помощью краевых условий.Таким образом, вместо уравнения с частными производными (2) мы получаемдва обыкновенных дифференциальных уравненияdv(t) v(t) 0dt-Ґл =; (6)2 221 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) 0.2d xux d xux u x d x d x Ґт Ґм − - Ґл = (7)Уравнение (6) легко разрешимо: с учетом отмеченного выше начального условия v(t|s) Ўж 1 при t Ўж s компонента v(t) находится в видеv(t) = v(t | s) = e−Ґл(t−s) . (8)Из выражения (8) понятно, почему необходимо, чтобы Ґл > 0: при (t − s) Ўж ЎДимеем f (х, t | у, s) Ўж f (х) и частные решения уравнения (7) с ненулевыми Ґл должны стремиться к нулю. Из выражения (8) видно, что это возможно только при Ґл > 0.Основную трудность представляет решение уравнения (7) с краевыми условиями, задающими отражающие границы. Представим теперь функцию u(x) такжев виде произведения: u(x) = f(х)ϕ(х), где f(х) - определенная выше стационарнаяплотность (5). Тогда уравнение (7) можно переписать в виде21 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0.2 2d d x f x x f x x x f x d x f x x dx d x d x ⎛ ⎡ Ґт ⎤ ϕ ⎞⎜ ⎢ − Ґм ⎥ϕ - Ґт ⎟ - Ґл ϕ ⎝ ⎣ ⎦ ⎠С учетом уравнения (4) выражение в квадратных скобках равно нулю. Поэтому для функции ϕ(х) получаем самосопряженное уравнение2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.2d x f x d x f x x dx d x ⎛ Ґт ϕ ⎞⎜ ⎟ - Ґл ϕ ⎝ ⎠(9)Чтобы получить краевые условия для этого уравнения, запишем поток вероятности G(x,t), определяемый выражением (3), для рассматриваемого представленияf (х, t | у, s) = u(x)v(t) = f (х)ϕ(х)v(t): 1 [ 2 ( ) ( ) ( )] ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )2G x t x f x x x f x x v t x ⎡ ЎУ Ґт ϕ ⎤= ⎢Ґм ϕ − ⎥ = ⎣ ЎУ ⎦1 [ 2 ( ) ( )] 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2x f x d x f x x x f x d x v t d x dx ⎡⎛ Ґт ⎞ Ґт ϕ ⎤= ⎢⎜Ґм − ⎟ϕ − ⎥⎣⎝ ⎠ ⎦.Используя уравнение (4) и тот факт, что v(t) ЎБ 0, получаем, что равенство нулюпотока вероятности на границах области определения процесса Х(t) обеспечивается следующими краевыми условиями на функцию ϕ(х): 2( ) ( ) ( ) 02x f x d x dx Ґт ϕ = для х = Ґз и х = Ґж. (10)Таким образом, функция ϕ(х) определяется уравнением (9) с граничным условием (10). Задача определения функции ϕ(х) в такой постановке известна как задачаШтурма - Лиувилля о собственных значениях и собственных функциях [7, с. 16].44 Г.А. МедведевПроинтегрируем уравнение (9) от Ґз до Ґж и используем краевые условия (10), тогда получим относительно функции ϕ(х) интегральное соотношениеf (x) (x)dx 0ҐжҐзҐлЎт ϕ = . (11)Это соотношение может удовлетворяться при Ґл = 0. Тогда из уравнений (6) и (7) получаем, что при Ґл = 0 v(t) = 1 и u(x) = f(х) (т.е. ϕ(х) = 1). В случае Ґл ЎБ 0 соотношение выполняется только при дискретном наборе значений Ґл Ўф{Ґл1, Ґл2, ,}.При этом каждому (собственному) значению ҐлҐк соответствует собственная функция ϕҐк(х). Причем набор собственных функций {ϕҐк(х)} является набором ортогональных функций [8, с. 230], таких, что f (x) m (x) n (x)dx n mn , Ґж ҐзЎт ϕ ϕ = Ґц Ґд (12)где Ґцп − нормировочная константа, Ґдтп - символ Кронекера.Для унификации обозначений примем Ґл0 = 0, ϕ0(х) = 1.Решение уравнения (2) мы ищем в виде f (х, t | у, s) = f(х)ϕ(х)v(t). Посколькувыяснилось, что существует целый набор собственных значений ҐлҐк, порождающих соответственно наборы функций {ϕҐк(х)} и {vҐк(t)}, то решение уравнения (2)можно записать в форме разложенияf (х, t | у, s) = ( )0( ) n t s ( ), n n n fx e x ЎД−Ґл −ҐТҐи ϕ (13)где коэффициенты Ґип должны зависеть от у, т.е. Ґип = Ґип(у). Для определения этихкоэффициентов умножим представление (13) на ϕҐк(х) и проинтегрируем его от Ґз до Ґж. Используя (11), получимf (x,t | y, s) (x)dx exp[ (t s)].ҐжҐк Ґк Ґк Ґз Ўт ϕ = Ґи −Ґл −Начальное условие lim ( , | , ) ( )t s f x t y s x y Ўж= Ґд − приводит к равенству ҐиҐк = ҐиҐк(у) = ϕҐк(у). После этого условная плотность вероятностей с учетом нормировочнойконстанты Ґцп, определяемой соотношением (12), окончательно находится в видеразложенияf (х, t | у, s) = ( )0( ) n t s ( ) ( )n n n n f x e y x ЎД−Ґл −ҐТ ϕ ϕ Ґц . (14)Получение собственных функций в явной форме с помощью интегральногосоотношения (11) затруднительно и обычно это делают с помощью соответствующих дифференциальных уравнений. Для этого подставим стационарнуюплотность f (х) в форме (5) в уравнение (9). Получаем уравнение2 2 2( ) exp 2 ( ) ( ) ( ) ( ) exp 2 ( ) 02 ( ) ( ) ( )d c x u d x c x u du x du dx Ґш u d x x Ґш u ⎛ Ґш ⎛ Ґм ⎞ ϕ ⎞ Ґш ⎛ Ґм ⎞⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ - Ґлϕ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ ⎝ Ґт ⎠ ⎠ Ґт ⎝ Ґт ⎠Ўт Ўтили2 22( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.2x d x x d x x d x dx Ґт ϕ ϕ -Ґм -Ґлϕ = (15)Переходные плотности вероятностей диффузионных процессов 45Уравнение (9) можно представить в нормальной форме. Для этого введемфункцию Ґх(х) соотношениемҐх(х) = ϕ(х) 2exp ( )( )x u du Ґш u ⎛ Ґм ⎞⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ Ґт ⎠Ўт .Тогда уравнение (15) для ϕ(х) преобразуется в уравнение в нормальной формедля Ґх(х): 2 22 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0.( ) ( ) ( )d x x d x x d x x x dx x Ґх ⎛ Ґл ⎛ Ґм ⎞ ⎛ Ґм ⎞ ⎞ - ⎜ − ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎟Ґх = ⎜ Ґт ⎝ Ґт ⎠ ⎝ Ґт ⎠ ⎟ ⎝ ⎠(16)При этом граничные условия (10) для Ґх(х) становятся следующими: f (x) 2 (x) d (x) (x) (x) 0dx⎛ Ґх ⎞ ⎜Ґт − Ґм Ґх ⎟ ⎝ ⎠при х = Ґз и х = Ґж.2. Переходные вероятности для семейства распределений ПирсонаПоскольку решения уравнений (9), (15) или (16) не выражаются в явной формев общем виде, рассмотрим некоторые наиболее интересные частные случаи. Как известно, многие возникающие в практических задачах плотности вероятностейf(х) относятся к семейству распределений Пирсона [9, с. 123], определяемому соотношением21 ()( )df x Ax B f x dx Cx Dx E - . (17)Колмогоров (1931) обратил внимание на этот класс распределений, как важный для приложений. Позже это семейство распределений рассматривалось Вонгом (1964) в [10]. Для того чтобы стационарная плотность f(х) принадлежала семейству распределений Пирсона (17), достаточно определения функций дрейфа и диффузии Ґм(х) и Ґт2(х) как Ґм(х) = ax - b, Ґт2(х) = 2(cx2 - dx - e). (18)При этом должно выполняться неравенство cx2 - dx - e > 0 для всех x из интервала (Ґз, Ґж), на котором определена плотность. Соответствие между коэффициентами в формулах (17) и (18) следующее: А = а − 2с, В = b − d, С = с, D = d, E = e.Поскольку плотности вероятностей, определяемые уравнением (2), существенно зависят от свойств функции диффузии Ґт2(х), рассмотрим последовательновсе частные случаи, которые могут здесь возникнуть.Пусть c = d = 0, e > 0. Для существования стационарной плотности в этом случае необходимо также, чтобы a < 0. Поскольку в этом случае Ґт2(х) не зависит от х и не сформулировано никаких ограничений на диапазон изменения случайногопроцесса, то х Ўф (−ЎД, -ЎД). Стационарная плотность f(х) оказывается нормальной с математическим ожиданием Е = − b/а и дисперсией V = − e/а: f(х) 1 ( )2 exp .2 2x E V V ⎛ − ⎞⎜ − ⎟Ґр ⎝ ⎠(19)46 Г.А. МедведевУравнение (15) приобретает вид 22e d (x) (ax b) d (x) (x) 0.d x dx ϕ ϕ - - -Ґлϕ Преобразованием х = 2V z - Е, Ґл = − ап это уравнение приводится к видуϕЎИ − 2zϕЎЗ - 2пϕ = 0, где штрих обозначает производную по переменной z. Это уравнение имеет нетривиальное решение только в случае, когда Ґл/(−а) = п Ўф {0, 1, 2, }, то естьҐл/(−а) − целое число. В этом случае решением являются полиномы Чебышева −Эрмита Нп(z) [11, с. 422]: Нп(z) = (−1)п ( ) 2 2 .nz z n e d e dz −Поскольку с учетом преобразования f(х) Ў­ e−z2 , а [Нп(z)]ЎЗ = 2пНп−1(z), граничное условие (10) сводится к требованию( ) 2 n z nd e dz − Ўж 0 при z Ўж −ЎД и z Ўж -ЎД, которое выполняется.Таким образом, в рассматриваемом случае решение уравнения (2) можно записать в форме разложения (14), в котором плотность f(х) определяется по формуле(19), Ґлп = п|а| , а собственные функции {ϕҐк(х)} определяются через полиномы Чебышева − Эрмита {НҐк(z)}. Остается определить нормировочную константу[12, с. 851]2 z ( ) ( ) 2n n e Hn z Hn z dz n -ЎД−−ЎДҐц = Ўт = Ґр .Поэтому для случая Ґт2(х) = 2e, Ґм(х) = ax - b, a < 0, e > 0, Е = − b/а и V = − e/аполучаем решение уравнения (2) в видеf (х, t | у, s) ( )22 | | ( )01 12 2- 2 2x E V a n t s n n n n e e H x E H y E V n V V − ЎД − − −⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟Ґр ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ҐТ .Используя формулу Мелера [13, с. 383]2 2 22 20( ) ( ) 1 2 ( ) exp - 2 1 1nn n n H xH y xy x y n ЎД⎛ Ґс ⎞ = ⎛ Ґс − - Ґс ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ − Ґс ⎝ − Ґс ⎠ҐТ , это разложение можно записать в компактной и более известной форме: f (х, t | у, s) 22 21 exp [ ( )]2 (1 ) 2 (1 )x E y E V V ⎛ − − Ґс − ⎞⎜ − ⎟Ґр − Ґс ⎝ − Ґс ⎠, (20)где обозначено Ґс = ехр[−| а|(t − s)] − корреляционная функция процесса.Таким образом, в рассматриваемом случае, когда Ґт2(х) = 2e, Ґм(х) = ax - b, переходная плотность является условной нормальной плотностью.Пусть теперь коэффициенты в формулах (17) и (18) определены так, что функция диффузии линейна Ґт2(х) = 2(dx - e), Ґм(х) = ax - b. Из условия Ґт2(х) > 0 имеемПереходные плотности вероятностей диффузионных процессов 47d > 0, x > −е/d. Ограничений сверху нет, поэтому плотность вероятностей определена на интервале х Ўф (−е/d, -ЎД). Для существования стационарной плотности необходимо, чтобы a < 0 и bd > ае, а сама плотность выражается в видеf(х) ( ) ( )1( )q q x x e q−Ґв − Ґг −Ґв −ҐгҐГ, х Ўф (Ґг, -ЎД). (21)Это значит, что она является сдвинутой гамма-плотностью с параметром сдвига Ґг = −е/d, параметром формы q = [b/d − aе/d2 ] > 0 и параметром масштабаҐв = −а/d. Эта плотность вероятностей имеет математическое ожидание Е = − b/аи дисперсию V = (bd − aе)/а2.Уравнение (15)22(dx e) d (x) (ax b) d (x) (x) 0d x dx ϕ ϕ - - - -Ґлϕ при помощи преобразования z = − ax/d − aе/d2 = Ґв(х − Ґг), Ґч(z) = − aϕ(х) приводится к вырожденному гипергеометрическому уравнениюzҐчЎИ - (1 - Ґб − z)ҐчЎЗ - nҐч = 0, где обозначено 1 - Ґб = q = [b/d − aе/d2 ] > 0, n = −Ґл/а. Штрих обозначает производную по переменной z. Это уравнение имеет нетривиальное решение, когдаҐл/(−а) = п Ўф {0, 1, 2, }, то есть Ґл/(−а) − целое число. В этом случае решениемуравнения являются полиномы Лагерра LҐбn (z) [13, с. 109]L0 (z) Ґб = 1, ( ) Ln z Ґб = [ ], n z n z n z e d z e n dz −Ґб-Ґб − п ЎГ 1.С учетом преобразования (dx - e)f(х) Ў­ zq e−z, а [ LҐбn (z) ]ЎЗ = − 1Ln 1 (z) Ґб− . Поэтомуграничное условие (10) сводится к предельному соотношению111[ ]nn q z n d z e dz −− - −− Ўж 0 при z Ўж 0 и z Ўж -ЎД, которое имеет место.Таким образом, в рассматриваемом случае решение уравнения (2) можно записать в форме разложения (14), в котором плотность f(х) определяется по формуле(21), Ґл = п|а| , а собственные функции {ϕп(х)} определяются через полиномы Лагерра LҐбn (z) . Остается определить нормировочную константу [12, c.858]0( ) ( ) ( 1)zn n n z e L z L z dz n n -ЎДҐб − Ґб Ґб ҐГ Ґб - Ґц = Ўт = .Поэтому -----для случая, когда Ґт2(х) = 2(dx - e), Ґм(х) = ax - b, при a < 0, d > 0, x > −е/d, bd > ае, Ґг = − е/d, q = [b/d − aе/d2 ] = Ґб - 1 и Ґв = − а/d, получаем решениеуравнения (2) в виде разложения по полиномам Лагерра: f (х, t | у, s) ( ) ( )1( )q q x x e q−Ґв − Ґг −Ґв −ҐгҐГЎїЎї | | ( ) 1 10- [ ( )] [ ( )]( )a n t s q q n n n e n L x L y q n ЎД− − − −Ґв − Ґг Ґв − Ґг ҐГ - ҐТ .48 Г.А. МедведевИспользуя формулу Хилле - Харди [14, с.190]0- ( ) ( )( 1)nn n n n L x L y n ЎДҐб Ґб Ґс ҐГ Ґб - - ҐТ 21 2 exp , (1 )( ) 1 1I xy x y xy Ґб Ґб ⎛ Ґс ⎞ ⎛ - ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ −Ґс ⎟ − Ґс Ґс ⎝ − Ґс ⎠ ⎝ − Ґс ⎠|Ґс| 0), -распределение Эрланга, а при (− а/d) = ½, b/d − aе/d2 = 2п, п - целое число, -Ґц2-распределение с n степенями свободы.Предположим теперь, что коэффициенты в формулах (17) и (18) определенытак, что функции диффузии и дрейфа Ґт2(х) = 2(cx2 - dx - e), Ґм(х) = ax - b. Плотность вероятностей в этом случае будет определяться характером корней уравнения Ґт2(х) = 0. Рассмотрим все возможные случаи последовательно. Пусть корних1, х2, х1 < х2, уравнения Ґт2(х) = 0 вещественные и различные, тогда функцию диффузии можно записать в виде Ґт2(х) = 2с(х − х2)(х − х1) > 0. В этом случае плотностьвероятностей будет сосредоточена на интервале х Ўф (х1, х2) , если с < 0, и на интервалах (х2, -ЎД) или (−ЎД, х1), если с > 0. Рассмотрим вначале первый случай с < 0.Стационарная плотность вероятностей диффузионного процесса будет существовать, если будут выполнены следующие неравенства a < 0, х1 < − b/а < х2. Введемобозначения22 11( )ax b c x x Ґб= −−, 12 11( )ax b c x x Ґв = − −−.Заметим, что Ґб - 1 > 0 и Ґв - 1 > 0. Стационарная плотность вероятностей находится по формулеf(х) = 2 112 1( 2) ( ) ( )( 1) ( 1) ( )x x x x x x Ґб Ґв Ґб-ҐвҐГ Ґб - Ґв - − −ҐГ Ґб - ҐГ Ґв - −, х Ўф (х1, х2).Это означает, что уравнение (2) в этом случае описывает процесс с бета-распределением. Эта плотность вероятностей имеет математическое ожидание Е и дисперсию V : Е = b a − , V = 2 12c (ax b)(ax b)a a c - −.Переходные плотности вероятностей диффузионных процессов 49Для нахождения функции ϕ(х) получаем уравнение (15) в виде22 1 2c(x x )(x x ) d (x) (ax b) d (x) (x) 0.d x dx ϕ ϕ − − - - - Ґлϕ При помощи преобразования 2х = (x2 − х1)z - (x2 - х1), Ґч(z) = сϕ(х) это уравнение приводится к гипергеометрическому уравнению(1 − z2)ҐчЎИ - [Ґв − Ґб − (Ґб - Ґв - 2)z]ҐчЎЗ - n(п - Ґб - Ґв - 1)Ґч = 0, в котором обозначено Ґл = п(пс − с - а). Штрих обозначает производную по переменной z, z Ўф (−1,1).Это уравнение имеет нетривиальное решение, когда п Ўф {0, 1, 2, }. В этомслучае решением уравнения являются полиномы Якоби Pn(Ґб,Ґв) (z) [12, с. 1050]: ( , ) ( ) ( 1) (1 ) (1 ) [(1 ) (1 ) ]2 n n n n n n n P z z z d z z n dz Ґб Ґв − −Ґб −Ґв Ґб- Ґв= − - − - , z Ўф (−1,1).Заметим, что ( , ) ( 1, 1)1( ) 1 ( ).n 2 n d P z n P z dz Ґб Ґв Ґб- Ґв−Ґб - Ґв - С учетом преобразования имеемf(х)dх = р(z)dz = 1( 2) (1 )(1 )( 1) ( 1) 2z z dz Ґб Ґв Ґб-ҐвҐГ Ґб - Ґв - − ҐГ Ґб - ҐГ Ґв , z Ўф (−1,1).Поэтому 2с(х2 − х)(х − х1)f(х) Ў­ (1 − z)Ґб-1(1 - z)Ґв-1 и граничное условие (10)сводится к предельному соотношению[(1 ) (1 ) ]nn n n d z z dz − Ґб- - Ґв- Ўж 0 при z Ўж −1 и z Ўж -1, которое выполняется.Нормировочная константа определяется выражением [12, с. 855]1( , ) ( , )1n p(z)Pn (z)Pn (z)dzҐб Ґв Ґб Ґв −Ґц = Ўт 1 ( 2) ( 1) ( 1)-( 1 2 ) ( 1) ( 1) ( 1)n n n n n ҐГ Ґб - Ґв - ҐГ Ґб - - ҐГ Ґв - Ґб - Ґв - - ҐГ Ґб - Ґв - - ҐГ Ґб - ҐГ Ґв .Переходная плотность вероятностей в этом случае имеет вид f (х, t | у, s) = 2 112 1( )( )( )x x x x x x Ґб Ґв Ґб-Ґв− −Ўї−( ) ( , ) 1 2 ( , ) 1 20 2 1 2 12 2 n t s n n n n e P x x x P y x x x x x x ЎД−Ґл − Ґб Ґв Ґб Ґв ⎛ − − ⎞ ⎛ − − ⎞Ўї Ґи ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ ⎝ − ⎠ҐТ , (23)где для краткости обозначеноҐлп = п(пс − с - а), Ґип -( 1 2 ) ( 1) .( 1)( 1)n n n n n Ґб - Ґв - - ҐГ Ґб - Ґв - ҐГ Ґб - - ҐГ Ґв - 50 Г.А. МедведевТаким образом, когда корни уравнения Ґт2(х) = 0 вещественные и различные и с < 0, тогда уравнение (2) описывает переходную плотность вероятностей бетараспределения, являющегося распределением Пирсона типа ҐЙ. При Ґб = Ґв = 0 (т.е.a = 2с и b = d) это распределение превращается в равномерное.Пусть теперь с > 0. В этом случае процесс развивается или на интервале(х2, -ЎД), или на интервале (−ЎД, х1) в зависимости от того, какому из этих интервалов принадлежит у. Рассмотрим только первую возможность, так как анализ второй отличается только некоторыми переобозначениями. Стационарная плотностьвероятностей существует, если выполняются неравенства a < c, х1 < х2 < − b/а.В этом случае величины Ґб и Ґв определим равенствами2( 2 1)ax b c x x Ґб −, 1( 2 1)ax b c x x Ґв −.Заметим, что Ґб > 0, Ґв > 0, Ґв − Ґб = − a/c.Стационарная плотность вероятностей находится по формулеf(х) 1 12 112 1( 1) ( ) ( )( ) ( 1) ( )x x x x x x Ґб− −Ґв−Ґб−Ґв−ҐГ Ґв - − −ҐГ Ґб ҐГ Ґв − Ґб - −, х Ўф (х2, -ЎД). (24)Эта плотность известна как плотность вероятностей бета-распределения второго рода - распределения Пирсона VI типа. Если 2Ґб и 2(1 - Ґв − Ґб) являются целыми числами, то плотность (24) характеризует F-распределение (распределениеСнедекора). Когда Ґб = 1, плотность (24) соответствует распределению Парето, относящемуся к ХI типу кривых Пирсона. Для плотности вероятностей бета-распределения второго рода математическое ожидание Е существует при а < 0, а дисперсия V - при а - с < 0. Они формально определяются так же, как и в предыдущем случае: Е = b a − , V = 2 12c (ax b)(ax b)a a c - −.Преобразованием12 121x x x x z −− плотность f(х) преобразуется к плотности р(z) бета распределенияр(z) = ( 1) (1 ) 1(1 )2 ( ) ( 1)z Ґб− z Ґв−ҐбҐвҐГ Ґв − ҐГ Ґб ҐГ Ґв − Ґб , z Ўф (−1,-1).Поэтому при определении переходной плотности в этом случае можно воспользоваться вышеприведенным анализом и найти представление переходнойплотности в виде разложения по полиномам Якоби в следующем виде: f (х, t | у, s) 1 12 112 1( ) ( )( )x x x x x x Ґб− −Ґв−Ґб−Ґв−− −Ўї−( ) ( 1, 1) 2 1 ( 1, 1) 2 10 1 12 2 n t s n n n n e P x x x P x x y x x y x ЎД−Ґл − Ґб− Ґв−Ґб- Ґб− Ґв−Ґб⎛ − − ⎞ ⎛ − − ⎞Ўї Ґи ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ ⎝ − ⎠ҐТ , (25)Переходные плотности вероятностей диффузионных процессов 51где х Ўф (х2, -ЎД), у Ўф (х2, -ЎД) и для краткости обозначеноҐлп = сn(п - Ґв), Ґип -( 2 ) ( ) .2 ( ) ( 1)n n n Ґв n n Ґв - ҐГ Ґв ҐГ Ґб - ҐГ Ґв − Ґб - Пусть теперь корни уравнения Ґт2(х) = 0 вещественные и одинаковые (d2 = 4се), тогда функцию диффузии можно записать в виде Ґт2(х) = 2с(х − х2)2 > 0, х2 = −d/2c.В этом случае с > 0, плотность вероятностей будет определена либо на интервале(х2, -ЎД), либо на интервале (−ЎД, х2) в зависимости от того, какому из этих интервалов принадлежит у. Эти два интервала не объединяются, так как оказывается, что поток вероятности при х = х2 равен нулю, и поэтому уровень х2 имеет свойстваотражающей границы. Будем рассматривать только интервал (х2, -ЎД), посколькуанализ этого случая совпадает с анализом альтернативного с точностью до переобозначений.Стационарная плотность вероятностей существует, если выполняются неравенства а < с, 2bс > ad, и имеет вид f(х) = 21/( )2(1 )( 2 )qx x q e q x x −−Ґг −−ҐгҐГ − −, х Ўф (х2, -ЎД), (26)где Ґг = (ax2 - b)/с > 0, q = а/с < 1.Эта плотность по классификации Пирсона относится к типу V. Для того чтобыу нее существовали моменты порядка Ґк ЎГ 1, должно выполняться неравенство а сҐк < с (или Ґк - q < 1). При а - с < 0 математическое ожидание Е и дисперсия V существуют и вычисляются по формуламЕ = b a − , V 222c (ax b)a a c −.При q = ½ плотность (26) превращается в плотность вероятностей Леви, которая характеризует устойчивую случайную величину, не имеющую не только дисперсии, но и математического ожидания.Уравнение (15) при помощи преобразования z = х − х2, сϕ(х) = Ґч(z), (ax - b)/с = q z - Ґг приводится к видуz2ҐчЎИ - (qz - Ґг)ҐчЎЗ- ҐлҐч = 0.Решение задачи Штурма - Лиувилля (9), (10) приводит к смешанному наборусобственных функций ϕ(х), который содержит кроме конечного множества собственных чисел Ґлп = n(сn − с - а), п = 0, 1, 2, , ҐН, q − 2 ЎВ 2ҐН < q, (Ґлп < с(1 − q)2/4), также множество собственных чисел Ґл ЎГ с(1 − q)2/4, составляющих неограниченный интервал [10, с. 271].Собственные функции ϕп(х) дискретной составляющей определяются черезортогональные полиномы0( ) q z ҐИ = 1, ( ) qn ҐИ z = ( 1) 1 1/ [ 2 1 1/ ], n n q z n q z n z e d z e dz − - − − − п ЎГ 1.Собственные функции ϕ(х, Ґл) непрерывной составляющей определяются черезобобщенные гипергеометрические ряды. Так что общий вид переходной плотно52 Г.А. Медведевсти оказывается достаточно сложным и имеет следующую структуру: f (х, t | у, s) = ( )0( ) n ( ) ( ) N t s n n n n f x e−Ґл − y x ⎡ϕ ϕ Ґц ⎢⎣ҐТ 2( ) 1(1 ) / 4t s ( , ) ( , )[ ( )]c q e y x d ЎД−Ґл − −−⎤⎥- ϕ Ґл ϕ Ґл Ґц Ґл Ґл⎥⎦Ўт . (27)Это выражение является неудобным с практической точки зрения. Более удобной может оказаться аппроксимация, которую можно получить как допредельноезначение предыдущего случая при x1 Ўж x2. Для этого представим x1 = x2 − Ґе и рассмотрим предыдущий случай двух вещественных корней при малых Ґе. Тогдаплотность вероятностей (24) запишется как f(х) 121 12( 1) ( )( ) ( 1) ( )x x x x Ґб−Ґб−Ґв− ҐвҐГ Ґв - −ҐГ Ґб ҐГ Ґв − Ґб - Ґе − -Ґе, х Ўф (х2, -ЎД), где Ґб = Ґг/Ґе, Ґв = Ґг/Ґе − q, Ґг = (ax2 - b)/с > 0, q = а/с < 1.Заметим, что Ґв − Ґб - 1 = 1 − q > 0, ҐГ(Ґв − Ґб - 1) = ҐГ(1 − q), а также справедливыследующие предельные соотношения: 11 1 0( 1) 1 ( 1 ) , ( ) ( )qqq −Ґб−Ґв− − ҐеЎжҐГ Ґв - ҐГ Ґг Ґе - −= ⎯⎯⎯Ўж Ґг ҐГ Ґб Ґе ҐГ Ґг Ґе Ґе 1 12 202 2 2expx x x x x x x x x x Ґб− Ґг Ґе−ҐеЎж⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ Ґг ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯Ўж ⎜ − ⎟ ⎝ − - Ґе ⎠ ⎝ − - Ґе ⎠ ⎝ − ⎠, 2 2 0 22 2 21 1 1(x x )Ґв−Ґб- (x x ) −q ҐеЎж (x x ) −q = ⎯⎯⎯Ўж− -Ґе − -Ґе −.Поэтому для малых Ґе справедливо представлениеf(х) = 21/( )22( )(1 )( )qx x qe O q x x −−Ґг −−Ґг- Ґе ҐГ − −, х Ўф (х2, -ЎД), что с точностью до членов порядка малости О(Ґе) (24) совпадает с (26). Соответственно разложение переходной плотности по полиномам Якоби приобретает вид f (х, t | у, s) = 21/( )2(1 )( 2 )qx x q e q x x −−Ґг −−ҐгЎїҐГ − −( ) ( / 1,1 ) 2 ( / 1,1 ) 20 2 2n t s q q n n n n e P x x P x y x x y x ЎД−Ґл − Ґг Ґе− − Ґг Ґе− −⎛ − - Ґе ⎞ ⎛ − - Ґе ⎞Ўї Ґи ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − - Ґе ⎠ ⎝ − - Ґе ⎠ҐТ - О(Ґе), где х Ўф (х2, -ЎД), у Ўф (х2, -ЎД) и для краткости обозначеноҐлп = сn(п - Ґг/Ґе − q), Ґип - (1 ) .( 1 )n q n q ҐГ −ҐГ - −Наконец рассмотрим случай, когда уравнение Ґт2(х) = 2(cx2 - dx - e) = 0 имеетпару мнимых корней, при этом с > 0, d 2 < 4се. В этом случае стационарное расПереходные плотности вероятностей диффузионных процессов 53пределение существует, если a < c определено на всей числовой оси и имеет вид f(х) = 12 1 / 2 2 2exp 2 arctg 2( ) 2 4 4 a c N b ad cx d cx dx e c ce d ce d −⎡⎛ ⎞ ⎛ - ⎞⎤ ⎢⎜ − ⎟ ⎜ ⎟⎥ - - ⎣⎝ ⎠ − ⎝ − ⎠⎦, где ҐН 1 − постоянная нормировки, которую, к сожалению, в явном виде найти не удается. Используя упрощающее преобразование, эту плотность можно записать в более компактной форме р(z): р(z) arctg2 (1 2 )1 / 2v z q N e - z −, z Ўф (−ЎД, -ЎД), (28)где обозначено224z cx d ce d −, q = a c < 1, 222 4v b ad c ce d = ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠ −. Эта плотностьотносится к типу IV кривых Пирсона. Как и в предыдущем случае, моменты порядка Ґк ЎГ 1 существуют, если выполняется неравенство а - сҐк < с (или Ґк - q < 1).В случае, когда а = 2(1 − п)с, b = (1 − п)d , где п − целое число, эта плотность превращается в t-распределение Стьюдента. Если q = v = 0 (это соответствует тому, что а = b = 0 и функция дрейфа Ґм(х) ЎХ 0) плотность (28) превращается в плотностьвероятностей Коши, характеризующую устойчивую случайную величину, не имеющую ни дисперсии, ни математического ожидания.При определении переходной плотности решение задачи Штурма - Лиувилля(9), (10) при использовании упрощающего преобразования сводится к решениюуравнения (15) в форме(1 - z2)ҐчЎИ - (qz - v)ҐчЎЗ- ҐлҐч = 0.Как и в предыдущем случае одинаковых корней, приходим к смешанному набору собственных функций ϕ(х), соответствующих как конечному множествусобственных чисел Ґлп = п(nc − с - а), п = 0, 1, 2, , ҐН, q − 2 ЎВ 2ҐН < q, (Ґлп < с(1 −q)2/4), так и множеству собственных чисел Ґл ЎГ с(1 − q)2/4, образующих неограниченный интервал [10, с. 270]. Однако поскольку q < 1, дискретное множество собственных чисел состоит только из одного числа Ґл0 = 0. Собственные функцииϕ(х, Ґл) непрерывной составляющей определяются через обобщенные гипергеометрические ряды. Так что общий вид переходной плотности оказывается достаточно сложным и имеет вид, аналогичный (27).ЗаключениеТаким образом, стохастическое дифференциальное уравнение (1) в формеdХ(t) = [aХ(t) - b]dt - 2[cX 2 (t) - dX (t) - e] dW(t), t > s, Х(s) = y, (29)для различных значений постоянных параметров а, b, с, d, е порождает семействостационарных диффузионных процессов, имеющих плотности вероятностейбольшого числа используемых на практике типов. В статье найдены маргинальные стационарные плотности и переходные плотности этих процессов, что позволяет с учетом марковского свойства составлять совместные плотности любого порядка. В нижеследующей таблице приведен итоговый перечень плотностей этогосемейства, указаны условия существования стационарного режима, принадлежность к тому или иному типу кривых Пирсона и тип переходной плотности.54 Г.А. МедведевТипы распределений и соответствующих им переходных плотностейРаспределениеТипкривойПирсонаУсловие существованиястационарного режима[cx2 - dx - e ЎХ с(х − х2)(х − х1)]ТиппереходнойплотностиГаусса с = d = 0, е > 0, а < 0. (20)Гамма III с = 0, d > 0, bd > ае, а < 0. (22)Экспоненциальное Х с = 0, d > 0, bd − ае = d2 , а < 0. (22)Эрланга III с = 0, d > 0, bd − ае = пd2, а < 0. (22)Ґц2-распределение III с = 0, d > 0, bd − ае = 2пd2, а = − d/2. (22)Бета I с < 0, х1 < − b/а < х2, а < 0. (23)Равномерное II с < 0, х1 < − b/а < х2, а = 2с, b = d . (23)Бета 2-го рода VI с > 0, х1 < х2 < − b/а, а < с. (25)F-распределение VI 2Ґб и 2(1 - Ґв − Ґб) - целые числа. (25)Парето ХI с > 0, х1 < х2 < − b/а, а < с, Ґб = 1. (25)(26) V с > 0, d2 = 4се, а < с, 2bс > ad. (27)Леви V с > 0, d2 = 4се, с = 2а, 4b > d. (27)(28) IV с > 0, d2 < 4се, a < c. (27)t-распределение VII с > 0, d 2 < 4се, а = 2(1 − п) с , b = (1 − п)d. (27)Коши IV с > 0, d 2 < 4се, а = b = 0. (27)Как видно из таблицы, при определенных значениях коэффициентов а, b, с, d, е стохастическое дифференциальное уравнение (29) порождает стационарныйдиффузионный случайный процесс с одним из указанных в таблице распределений. Таблица совместно с уравнением (29) может служить основой для созданияалгоритмов моделирования процессов с заданными маргинальной и переходнойплотностями. С другой стороны, знание маргинальной и переходной плотностейпозволяет составлять совместные плотности требуемого порядка для марковскихпроцессов, описываемых уравнением (29), что позволяет при наблюдении их реализаций выписывать функции правдоподобия для оценивания параметров наблюдаемых процессов.Заметим, что семейство кривых Пирсона состоит из 12 типов, из которых в таблице не упомянуты VIII, IХ и ХII. Эти распределения не рассматривались, потому что они являются частными случаями кривых типа I [9, с.124]. Вообще говоря, с нашей точки зрения, классификацию процессов, соответствующих функциямдрейфа и диффузии (18), по свойствам распределений более естественно производить на основе свойств функции диффузии. При этом получается шесть типов: 1) Ґт2(х) константа - нормальное распределение; 2) Ґт2(х) линейная - сдвинутоегамма-распределение; 3) Ґт2(х) вогнутая и имеет два различных вещественныхкорня - бета-распределение; 4) Ґт2(х) выпуклая и имеет два различных вещественных корня - бета-распределение второго рода; 5) Ґт2(х) имеет два одинаковых вещественных корня - распределение вида (26); 6) Ґт2(х) имеет мнимые корни - распределение вида (28). Остальные распределения являются частными случаями перечисленных.Наконец, следует упомянуть, что в литературе имеются описания переходныхплотностей диффузионных процессов, не относящихся к рассмотренному здесьсемейству. Например, в [15, с.70] рассматривается процесс с распределением Рэлея, а в [16, с.241] − процесс с распределением Накагами.Переходные плотности вероятностей диффузионных процессов

Скачать электронную версию публикации