The technique of aging in demographyand its applications..pdf В связи с возрастающей ролью демографического фактора в социальноэкономическом планировании актуальными являются перспективные расчетычисленности и состава населения. В решении этой задачи полезным является математическое моделирование. Разработка и использование разного рода математических моделей служат как для анализа воспроизводства населения в целом, так и для выявления закономерностей развития тех или иных демографических процессов. При моделировании принимаются определенные исходные предположения в отношении основных составляющих процесса (рождаемость, смертность, миграция и т.п.). На этой основе исчисляются другие характеристики населения и его структуры.Особое место в математическом моделировании занимает метод передвижкивозрастов (или метод компонент), разработанный П. К. Уэлптоном [1]. Исчислением половозрастной структуры населения методом возрастной передвижи занимались С.Г. Струмилин, А.Я. Боярский, П.П. Шушерин, М.С. Бедный, С. Щербов, В. Лутц, У. Сандерсон, а также Комиссия по народонаселению ООН, Государственный комитет Российской Федерации по статистике, Центр демографии и экологии человека [2, 3].Метод передвижки возрастных групп достаточно эффективен для краткосрочных прогнозов с горизонтальным планированием на срок не более 10 - 15 лет.В данной работе методом передвижки возрастных групп определяется величиналюдских потерь Российской Федерации в годы Великой Отечественной войны, с использованием данных переписей населения 1939 и 1959 гг.1. Метод передвижки по возрастамМетод прямой передвижки применяется для определения оценок значенийчисленности N(x-ƒ,t-ƒ) группы лиц возраста x-ƒ в году t-ƒ при условии, что известна численность N(x,t), ƒ - шаг прогнозирования. Численность населения рас1 Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009 -2010 гг.)» Федерального агентства по образованию РФ по проекту «Разработка методов исследованиянемарковских систем массового обслуживания и их применения к сложным экономическим системами компьютерным сетям связи».68 А.А. Назаров, М.Г. Носовасматривается в совокупности, без разделения по половому признаку. Обозначимчерез p(x,x-ƒ) условную вероятность достижения возраста x-ƒ лицами возраста x.Известно [4], что p(x, x - Ґу) = S(x - Ґу) / S(x) , где S(x) - функция дожития [4], которая есть вероятность того, что человек доживет до возраста x. При заданных N(x,t) и p(x,x-ƒ) распределение вероятностей значений величины N(x-ƒ, t-ƒ) определяется схемой Бернулли и является биномиальным: ( , ){ ( , ) } ( , ) ( , ) (1 ( , )) m m N x t m P N x - Ґу t - Ґу = m = CN x t p x x - Ґу − p x x - Ґу − (1)с математическим ожиданием( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )( )MN x t N x t p x x N x t S x S x - Ґу - Ґу - Ґу = - Ґу = . (2)Обозначая оценку значения величины N(x-ƒ,t-ƒ) тем же символом, равенство(2) перепишем в видеN(x - Ґу,t - Ґу)S(x) = N(x,t)S(x - Ґу) - Ґе1 , (3)где Ґе1 - случайная ошибка с математическим ожиданием MҐе1 = 0 .Равенство (3) является основным для применения метода передвижки по возрастам. В частности, для метода прямой передвижки оно записывается в виде2( , ) ( , ) ( )( )N x t N x t S x S x - Ґу - Ґу - Ґу = - Ґе, (4)где N(x,t) задано, а N(x-ƒ,t-ƒ) является оценкой значения численности демографической группы лиц возраста x-ƒ в году t-ƒ, а Ґе2 - случайная ошибка с математическим ожиданием MҐе2 = 0 .При замене аргумента x на x-ƒ и t на t-ƒ равенство (3) перепишем в видеN(x,t)S(x − Ґу) = N(x − Ґу,t − Ґу)S(x) - Ґе3 , где Ґе3 - случайная ошибка с математическим ожиданием MҐе3 = 0 . Откуда получим4( , ) ( , ) ( )( )N x t N x t S x S x − Ґу − Ґу − Ґу = - Ґе, (5)где N(x,t) задано, а N(x-ƒ, t-ƒ) является оценкой значения численности демографической группы лиц возраста x-ƒ в году t-ƒ, Ґе4 - случайная ошибка с математическим ожиданием MҐе4 = 0 . Равенство (5) позволяет определить оценку значениячисленности демографической группы в прошлые моменты времени. Назовем это методом обратной передвижки. Оценка N(x-ƒ, t-ƒ) требует дополнительного исследования, которое выполним ниже.Из равенства (1) очевидно следует, что оценка численности N(x-ƒ, t-ƒ), полученная прямой передвижкой, имеет дисперсию( , ) ( , ) ( , )(1 ( , )) ( , ) ( ) 1 ( )( ) ( )DN x t N x t p x x p x x N x t S x S x S x S x - Ґу ⎛ - Ґу ⎞ - Ґу - Ґу = - Ґу − - Ґу = ⎜ − ⎟⎝ ⎠, а коэффициент вариации V1 этой величины составляет1( , ) 1 () 1( , ) ( , ) ( )V DN x t S x MN x t N x t S x - Ґу - Ґу = = −- Ґу - Ґу - Ґу .Метод передвижки возрастных групп в демографии и его приложения 69Определим границы значений коэффициента вариации V1. Так как численности пятилетних возрастных групп в статистических данных РФ составляют порядка нескольких миллионов, то первый сомножитель 1/ N(x,t) имеет величинуменее 10-3. Используя статистические данные о зависимости функции выживанияот возраста и проанализировав все возможные значения второго сомножителя для ҐуЎф[1; 45] лет и x ЎВ 70 лет, получаем, что второй сомножитель принимает максимальное значение 12,578 при Ґу = 45 лет. В результате получаем, что коэффициент V1 в этом случае имеет значения менее 0,0126. Поскольку оценка (4) обладаетдостаточно высокой точностью, то ошибкой Ґе2 можно пренебречь.2. Метод обратной передвижкиРавенство (5), определяющее оценку численности N(x-ƒ, t-ƒ) в методе обратной передвижки, получено применением прямой передвижки, поэтому необходимо найти характеристики этой оценки, в частности ее математическое ожидание и дисперсию. При заданном значении N(x,t) найдем распределение вероятностейзначений численности N(x-ƒ, t-ƒ) группы лиц возраста x-ƒ в году t-ƒ.По формуле Байеса [5] можно записать{ ( , ) / ( , ) }{ ( , ) / ( , ) } { ( , ) }{ ( , ) / ( , ) } { ( , ) }v n P N x t m N x t n P N x t n N x t m P N x t m P N x t n N x t v P N x t v ЎД− Ґу − Ґу = = = − Ґу − Ґу = − Ґу − Ґу ҐТ = − Ґу − Ґу = − Ґу − Ґу . (6)Здесь, аналогично (1){ ( , ) / ( , ) } n ( , )n (1 ( , ))m n P N x t = n N x − Ґу t − Ґу = m = Cm p x − Ґу x − p x − Ґу x − , (7)где p(x − Ґу, x) = S(x) / S(x − Ґу) . Априорное распределение P{N(x − Ґу,t − Ґу) = m} будем полагать пуассоновским с некоторым параметром a, значение которого определим ниже: { ( , ) }mP N x t m a e a m − Ґу − Ґу = = − . (8)Рассмотрим сумму( ) v { ( , ) / ( , ) } { ( , ) }.v n z zPNxt nNx t vPNx t v ЎДҐч = ҐТ = − Ґу − Ґу = − Ґу − Ґу Для краткости обозначим p(x, x - Ґу) = p . В силу равенств (7) и (8) функциюƒ(z) запишем в виде[ ](1 ) { [ ]}( ) (1 ) - (1 )- -( )- 1 (1 ) ( ) (1 )- ( )- - ( )( ) ( ) exp (1 ) 1 .- v v v n n v n a n a v v n v v n v n n a n v n v v n v a v n v n v n n n n aaz p n z z C p p a e p e z v p a v nv n v p e z p a apz e z a p n v n n v n z ap e e z ap a p z n n ЎД ЎД− − − −= − ЎД ЎД −− − −= − −Ґч = − = − −= − = − − −= = − −ҐТ ҐТ ҐТ ҐТ 70 А.А. Назаров, М.Г. НосоваПроизводящая функция ƒ(z) распределения (6) имеет вид ( ) { ( , ) / ( , ) }( ) exp{( 1) (1 )}.(1)mm n n z zPNx t mNxt n z z z a p ЎДϕ = −Ґу − Ґу = = Ґч = = − −ҐчҐТ(9)Таким образом, распределение (6) является сверткой вырожденного распределения детерминированной величины n и пуассоновского распределения с параметромҐл = a(1− p) = a{1− p(x − Ґу, x)} . (10)Найдем апостериорное среднее значение величины N(x-ƒ,t-ƒ). Очевидно, можно записатьMN(x − Ґу,t − Ґу) = n - a{1− p(x − Ґу, x)} .Полагая, что априорное и апостериорное средние значения совпадают, запишем равенствоa = n - a{1− p(x − Ґу, x)} , из которого найдем значения параметра a в виде/ ( , ) ( )( )a n p x x n S x S x − Ґу = −Ґу = . (11)Таким образом, распределение (6) определяется производящей функцией (9) с параметром a вида (11). Найдем условные математическое ожидание и дисперсию величины N(x-ƒ,t-ƒ) при условии, что выполняется равенство n=N(x,t). Очевидно, что выполняется равенство( , ) ( , ) ( )( )MN x t a N x t S x S x − Ґу − Ґу − Ґу = = , (12)которое оправдывает выбор оценки в виде (5).Найдем условную дисперсию величины оценки (5) при условии, что n=N(x,t).В силу равенства (9)( , ) {1 ( , )}( , ) ( ) 1 ( ) ( , ) ( ) 1( ) ( ) ( )DN x t a p x x N x t S x S x N x t S x S x S x S x − Ґу − Ґу = − − Ґу − Ґу ⎛ ⎞ ⎛ − Ґу ⎞ = ⎜ − ⎟ = ⎜ − ⎟ ⎝ − Ґу ⎠ ⎝ ⎠а коэффициент вариации V2 составляет величину2( , ) 1 ( ) 1 ( )( , ) ( , ) ( ) ( )V DN x t S x S x MN x t N x t S x S x − Ґу − Ґу ⎛ ⎞ = = ⎜ − ⎟ − Ґу − Ґу − Ґу ⎝ − Ґу ⎠.Здесь аналогично V1 определим диапазон значений коэффициента вариации V2.Первый сомножитель 1/ N(x,t) имеет величину менее 10-3. Аналогично V1, проанализировав все возможные значения второго сомножителя для ҐуЎф[1; 45] лет и x ЎВ 70 лет, получаем, что второй сомножитель максимальное значение 0,489 приМетод передвижки возрастных групп в демографии и его приложения 71нимает при Ґу = 45 . В результате имеем, что коэффициент вариации V2 имеет значения менее 10-3 для любых ƒ и x. Заметим, что в смысле значений коэффициентов вариации, оценки, полученные обратной передвижкой, на порядок (в 10 раз)точнее оценок, полученных прямой передвижкой при одинаковом горизонте прогнозирования ƒ. Поэтому случайной ошибкой Ґе4 здесь также можно пренебречь.Применим рассмотренный метод передвижки по возрастам к решению поставленной задачи определения величины людских потерь РФ в годы ВОВ.3. Определение величины людских потерь РФ в годы ВОВ Для решения поставленной задачи кроме статистических данных [6] распределения населения РФ по основным пятилетним возрастным группам в 1939 и 1959 гг. необходимо знать значения коэффициентов дожития. Такую информацию можно получить по результатам переписи населения РФ до 1939 г., либопосле 1959 г. В данной работе воспользуемся статистическими данными 1979 г.(табл. 1).Т а б л и ц а 1Статистические данные распределения численностинаселения РФ 1939 и 1959 гг. (тыс. чел.)№ гр.: возраст 1939 1959 1979№ 1: 0-4 13806 13353 10523№ 2: 5-9 11735 12415 9707№ 3: 10-14 14158 8502 9512№ 4: 15-19 9495 8975 12385№ 5: 20-24 8744 11552 12995№ 6: 25-29 10454 10591 11902№ 7: 30-34 8820 11103 8016№ 8: 35-39 7240 6423 8399№ 9: 40-44 5315 6177 10485№ 10: 45-49 4268 7167 9376№ 11: 50-54 3710 5965 9716№ 12: 55-59 3332 4751 5595№ 13: 60-64 2775 3589 5065№ 14: 65-69 2079 2664 5493№ 15: ≥70 2426 4303 8200По данным 1959 и 1979 гг. найдем оценки коэффициентов дожития лиц n-йгруппы до возраста лиц (n-4)-й группы( , 4) ( 4,1979)( ,1959)p n n N n N n - как отношение численности N(n-4,1979) (n-4)-й группы населения в 1979 г. к численности N(n,1959) n-й группы населения 1959 г., состоящих из одних и тех же лиц Российской Федерации (табл. 2).Последнее значение 0,3855 в первой строке получено как отношение численности 8200 последней (15)-й группы 1979 г. к суммарной численности 2127272 А.А. Назаров, М.Г. Носовагрупп с 11-й по 15-ю 1959 г. Коэффициенты p(n, n-4) применяются в методе прямой передвижки, а p(n-4, n) соответственно в методе обратной передвижки.Т а б л и ц а 2Оценки коэффициентов дожития№ гр. p(n, n-4) p(n-4, n)№ 1 0,9732№ 2 0,9587№ 3 0,9428№ 4 0,9358№ 5 0,9076 0,9732№ 6 0,8853 0,9587№ 7 0,8751 0,9428№ 8 0,8711 0,9358№ 9 0,8200 0,9076№ 10 0,7664 0,8853№ 11 0,8751№ 12 0,8711№ 13 0,8200№ 14 0,7664№ 150,38550,38553 . 1 . О п р е д е л е н и е л ю д с к и х п о т е р ь м е т о д о м п р я м о й п е р е д в и ж к и Применяя значения коэффициентов дожития, приведенные в первой строкетабл. 2, методом прямой передвижки, по формуле (4), найдем значения оценокчисленностей возрастных групп на 1959 г. по данным 1939 г. Эти значения приведены в табл. 3.Т а б л и ц а 3Значения оценок численностей возрастных групп на 1959 г., полученных методом прямой передвижки№ гр. 1939 p(n, n-4) Передвижкана 1959 1959 Разность№ 1 13806 0,9732№ 2 11735 0,9587№ 3 14158 0,9428№ 4 9495 0,9358№ 5 8744 0,9076 13436 11552 1884№ 6 10454 0,8853 11250 10591 659№ 7 8820 0,8751 13349 11103 2246№ 8 7240 0,8711 8886 6423 2463№ 9 5315 0,8200 7936 6177 1753№ 10 4268 0,7664 9255 7167 2088№ 11 7718 5965 1753№ 12 6307 4751 1556№ 13 4358 3589 769№ 14 3271 2664 607№ 1514322 0,38555521 4303 1218Метод передвижки возрастных групп в демографии и его приложения 73В последней строке этой таблицы приведены значения разностей прогнозных, полученных методом прямой передвижки, и фактических значений численностей возрастных групп 1959 г. Эти значения можно интерпретировать как величину людских потерь РФ в годы ВОВ. Их суммарные значение составляетS1 = 17001 тыс.3 . 2 О п р е д е л е н и е л ю д с к и х п о т е р ь м е т о д о м о б р а т н о й п е р е д в и ж к и Применяя значения коэффициентов дожития, приведенные во второй строкетабл. 2, методом обратной передвижки по формуле (5), найдем значения оценокчисленностей возрастных групп на 1939 г. по данным 1959 г. Результаты приведены в табл. 4.Т а б л и ц а 4Значения оценок численностей возрастных групп на 1959 г., полученных методом обратной передвижки№ гр. 1959 p(n-4, n) Передвижкана 1939 1939 Разность№ 1 11870 13806 1936№ 2 11047 11735 688№ 3 11776 14158 2382№ 4 6863 9495 2632№ 5 11552 0,9732 6806 8744 1938№ 6 10591 0,9587 8096 10454 2358№ 7 11103 0,9428 6817 8820 2003№ 8 6423 0,9358 5454 7240 1786№ 9 6177 0,9076 4377 5315 938№ 10 7167 0,8853 3476 4268 792№ 11 5965 0,8751№ 12 4751 0,8711№ 13 3589 0,8200№ 14 2664 0,7664№ 15 4303 0,385511163 14322 3159Здесь значения последней строки получено вычитанием из фактической численности возрастных групп 1939 г. значений, полученных обратной передвижкой.Эти разности можно интерпретировать как количество тех лиц данной возрастнойгруппы, которые оказались исключенными из процесса формирования населения1959 г. Суммарная величина S2 этих разностей по всем возрастным группам составляет S2 = 20612 тыс. Эта сумма складывается из потерь по естественным причинам, а также людских потерь, обусловленных ВОВ, значения которых по возрастным группам определяется произведением значений последней строки табл. 4на коэффициенты p(n, n-4). Эти значения приведены в табл. 5.Значения последней строки этой таблицы совпадают со значением последнейстроки табл. 3, следовательно, значение людских потерь РФ в годы ВОВ составляет 17 млн человек.74 А.А. Назаров, М.Г. НосоваТ а б л и ц а 5Значения людских потерь, обусловленных ВОВ № гр. p(n,n-4)№ 1 1936 0,9732№ 2 688 0,9587№ 3 2382 0,9428№ 4 2632 0,9358№ 5 1938 0,9076 1884№ 6 2358 0,8853 659№ 7 2003 0,8751 2246№ 8 1786 0,8711 2463№ 9 938 0,8200 1759№ 10 792 0,7664 2088№ 11 1753№ 12 1556№ 13 769№ 14 607№ 153159 0,38551218ЗаключениеМетод прямой и обратной передвижки возрастов может применяться для расчета численности возрастных групп населения в годы между датами переписи.Данный метод является простым инструментом при демографическом анализе и дает результаты, вполне адекватные реальности.

Скачать электронную версию публикации