About inexpediency of approximationof process of birth rate by Poisson flows at long-term forecasting..pdf В математической демографии случайный поток однородных событий моментов рождения младенцев, как правило, аппроксимируют потоком Пуассона [1], например в [2]. Такая модель представляется достаточно адекватной реальной ситуации при краткосрочном прогнозировании на сроки не более 10 - 15 лет. Однако для среднесрочных прогнозов порядка 20 - 50 лет необходимо рассматриватьболее адекватные математические модели процесса рождаемости, учитывающиеизменения во времени численности женщин репродуктивного возраста, и болеетого, учитывающие распределение численностей возрастных групп данных женщин, так как коэффициенты рождаемости существенно меняются в рамках репродуктивного возраста (15 - 49 лет) в зависимости от возраста женщин.В качестве таких математических моделей процесса рождаемости могут выступать случайные потоки со случайной интенсивностью (потоки Кокса) или дважды стохастические потоки, или, другими словами, случайные потоки, управляемые случайными процессами, среди которых наиболее популярны ММРпотоки или МАР-потоки [3].В данной работе рассматривается наиболее простая для исследования математическая модель случайного потока, управляемого цепью Маркова. Такая модельопределяется как поток заявок в автономной системе массового обслуживания с неограниченным числом приборов и средним значением m(t) числа занятых приборов.Далее исследуется система массового обслуживания с неограниченным числом приборов, на вход которой поступает нестационарный пуассоновский поток с интенсивностью ƒ(t), выбираемой из условия совпадения средних значений числаприборов, занятых в автономной системе и в системе с пуассоновским входящимпотоком.Показывается, что характеристики таких систем массового обслуживания существенно различаются, что говорит о нецелесообразности аппроксимации процесса рождаемости потоком Пуассона.1 Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы (2009 -2010 гг.)» Федерального агентства по образованию РФ по проекту «Разработка методов исследованиянемарковских систем массового обслуживания и их применения к сложным экономическим системами компьютерным сетям связи».76 А.А. Назаров, М.Г. Носова1. Математическая модельавтономной системы массового обслуживанияРассмотрим марковскую автономную систему массового обслуживания с неограниченным числом приборов (рис. 1), функционирующую следующим образом: ƒ b bbƒ....Рис. 1. Марковская автономная система массового обслуживанияПоступающая заявка занимает любой свободный прибор. Время обслуживанияимеет экспоненциальное распределение с параметром ƒ. В течение времени обслуживания заявка с интенсивностью b генерирует новые заявки, которые занимают другие свободные приборы, то есть с вероятностью bƒt - o(ƒt) за бесконечно малый интервал времени (t, t-ƒt) обслуживаемая заявка генерирует новую. Завершив обслуживание на приборе, заявка покидает систему. Времена обслуживания различных заявок и процедуры генерирования новых заявок стохастическинезависимы. Очевидно, что число приборов i(t), занятых в рассматриваемой системе, является цепью Маркова, поэтому поток заявок, поступающих на приборы, - случайный поток, управляемый цепью Маркова.2. Исследование автономной системы массового обслуживанияТак как процесс i(t) является цепью Маркова, то для его распределения вероятностейP(i,t) = P{i(t) = i}по формуле полной вероятности запишем равенствоP(i,t - ҐДt) = P(i,t)(1− iҐмҐДt)(1− ibҐДt) - P(i −1,t)(i −1)bҐДt - P(i -1,t)(i -1)ҐмҐДt - o(ҐДt) , из которого нетрудно получить систему дифференциальных уравнений КолмогороваP(i,t) i( b)P(i,t) (i 1)bP(i 1,t) (i 1) P(i 1,t)tЎУ= − Ґм - - − − - - Ґм ЎУ. (1)Обозначая характеристическую функцию числа занятых приборов( )0( , ) jui t jui ( , )iH u t Me e P i t ЎД= =ҐТ , из (1) получим уравнение для H(u,t) в видеH(u,t) j{(e ju 1)b (e ju 1) } H(u,t) 0t u ЎУ − ЎУ- − - − Ґм ЎУ ЎУ, (2)О нецелесообразности аппроксимации процесса рождаемости потоками Пуассона 77решение H(u,t) которого найдем методом характеристик. Уравнение для характеристик1 {( ju 1) ( ju 1) }dt du j e b e− − - − Ґм (3)является уравнением с разделенными переменными, решение которого определяется интегрированием левой и правой его частей. Первый интеграл уравнения (3)запишем в виде1bju b bt jubC e e e −ҐмҐм⎛ − ⎞= ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − ⎠, поэтому общее решение уравнения (2) можно записать следующим образом: ( , ) 1bju b bt jubH u t e e e −ҐмҐм⎛ ⎞⎜ ⎛ − ⎞ ⎟= ϕ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎝ ⎝ − ⎠ ⎠, (4)где ƒ(z) - произвольная дифференцируемая функция.Будем полагать, что в начальный момент времени t=0 в рассматриваемойСМО занято N приборов, то есть для уравнения (2) задано начальное условиеH(u,0) = e juN , из которого следует, что 1( ) , 1b N b bbzz b z −Ґм−Ґм⎛ Ґм ⎞⎜ − ⎟ϕ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ − ⎠поэтому в силу (4) для характеристической функции H(u,t) можно записать( 1) exp{( ) }( , ) .( 1)exp{( )}Nju ju ju ju e e b t H u t b b e e b t b ⎧ Ґм Ґм ⎫ ⎪ − − − −Ґм ⎪= ⎨ ⎬ ⎪ Ґм ⎪ − − − −Ґм⎩ ⎭(5)При b=ƒ характеристическая функция (5) принимает вид ( , ) ( 1) .( 1) 1ju ju N ju H u t e bt e e bt ⎧ − − ⎫= ⎨ ⎬⎩ − − ⎭(6)Из (5) нетрудно получить, что среднее значение m(t) числа занятых приборовсоставляетm(t) = N exp{(b − Ґм)t} . (7)3. Исследование системы с неограниченным числом приборовпри пуассоновском входящем потокеРассмотрим марковскую систему массового обслуживания с неограниченнымчислом приборов, на вход которой поступает нестационарный пуассоновский поток интенсивности ƒ(t). Вид функции ƒ(t) определим ниже. Времена обслуживания различных заявок стохастически независимы, одинаково распределены.Функция распределения времени обслуживания экспоненциальная с параметром ƒ.78 А.А. Назаров, М.Г. НосоваПусть в начальный момент времени t = 0 в системе занято N приборов. Нетрудно показать, что характеристическая функция( )0( , ) jui t jui ( , )iG u t Me e P i t ЎД= =ҐТчисла занятых приборов в такой системе имеет вид { } {( ) } 0( , ) 1 exp 1 ( ) G u t = − e−Ґмt - e jue−Ґмt N e ju − e−Ґмt Ўтt Ґл Ґу eҐмҐуdҐу . (8)В силу этого равенства среднее значение m(t) числа занятых приборов0( ) ( ) m t = Ne−Ґмt - e−Ґмt Ўтt Ґл Ґу eҐмҐуdҐу . (9)Вид функции ƒ(t) выберем из условия совпадения математических ожиданийчисла занятых приборов в рассматриваемых системах обслуживания. Тогда в силуравенств (7) и (9) можно записать0exp{( ) } ( ) N b − Ґм t = Ne−Ґмt - e−Ґмt Ўтt Ґл Ґу eҐмҐуdҐу , из которого получим, что интенсивность ƒ(t) имеет вид Ґл(t) = bN exp{(b − Ґм)t} . (10)Для такой интенсивности входящего пуассоновского потока в системеM(t)|M| ЎД и автономной системе средние значения числа занятых приборов одинаковы и определяются равенством (7). Для интенсивности ƒ(t) вида (10), характеристическая функция (8) примет вид ( , ) {1 } exp{( 1) ( 1)} G u t = − e−Ґмt - e jue−Ґмt N e ju − Ne−Ґмt ebt − . (11)Из (11) следует, что G(u,t) является характеристической функцией суммы двухнезависимых случайных величин, первая из которых имеет биномиальное распределение с вероятность успеха e−Ґмt и N - числом опытов, а вторая имеет пуассоновское распределение с параметром Ne−Ґмt (ebt −1) .4. О нецелесообразности аппроксимациипроцесса рождаемости потоком ПуассонаНайдем распределения вероятностей P(i,t) и PA(i,t), определяемых характеристическими функциями G(u,t) и H(u,t). Определяя обратное преобразование Фурье, получим равенства( , ) 1 ( , )2P i t e juiG u t du Ґр −−ҐрҐр Ўт ; (12)( , ) 1 ( , )2PA i t e juiH u t du Ґр −−ҐрҐр Ўт . (13)Подставляя (5) и (11) в равенства (12) и (13) и выполняя здесь численное интегрирование, найдем распределения вероятностей P(i,t) и PA(i,t) для заданныхзначений параметров ƒ, b, N и времени t. Определим расстояние между распределениями P(i,t) и PA(i,t) равенствомО нецелесообразности аппроксимации процесса рождаемости потоками Пуассона 790 0( , ) max ( ( , ) ( , ))ii n b t P n t PA n t ЎВ

Скачать электронную версию публикации