The market as a self-controlled inert dynamic systemwith time-lag under balanced strategy of the goods delivery.pdf Классическая («паутинообразная») модель рынка Вальраса - Маршалла [1]описывается в дискретном времени t = 0,1,2,,T системой разностных уравненийс запаздывающим аргументом: Q(t -1) −Q(t ) = k (PD (Q(t )) − PP (Q(t ))), P(t -1) − P(t ) = h(QD (P(t )) −QP (P(t − Ґу))) , (1)где Q(t) - количество (объём) товара на рынке, P(t) - его цена в каждый моментдискретного времени t. Правые части уравнений (1) пропорциональны рассогласованиям линий спроса QD(P), PD(Q) и предложения QP(P), PP(Q). Коэффициентыk > 0, h > 0 в общем случае могут зависеть от Q(t) и P(t) соответственно. Запаздывание ƒ ≥ 0 (тоже дискретное целочисленное) обусловлено задержкой поставкитовара на рынок. Рыночное равновесие достигается в точке (Q-, P-) пересечениялиний спроса и предложения, обращающей правые части системы уравнений (1) в нули.На практике линии спроса и предложения неизвестны. Однако мы будем исходить из того, что линия спроса может быть идентифицирована по наблюдаемымна некотором интервале времени изменениям объёмов продаж и цен товаров. Поэтому будем считать ее известной и в первом приближении линейной: D ( )Q P = Qm − aP , (2)где Qm > 0 - максимальное значение спроса на товар (при P = 0), a > 0 - абсолют6 В.В. Поддубный, О.В. Романовичное значение углового коэффициента линии спроса. Формула (2) отражает тот факт, что спрос на товар уменьшается с ростом цены и при некоторой максимальной цене Pmax = Qm/a становится равным нулю. Линию же предложения будем попрежнему считать неизвестной и недоступной для идентификации.В связи с этим возникает задача построения математической модели рынка, не требующей знания линии предложения. В работе [2] мы рассмотрели нескольковариантов построения такой модели. Это модели рынка, представляемые как рестриктивные (стесняемые ограничениями типа неравенств) самоуправляемые динамические системы с запаздыванием. Эти модели соответствовали разным стратегиям поставки товара на рынок, имеющим разную степень адекватности реальным условиям. Простейшие из них были исследованы в [2]. В данной работе мы исследуем наиболее сложную из этих моделей, не исследованную в [2]. Эта модель соответствует, по-видимому, наиболее адекватной из рассмотренных в [2]стратегии поставок товара на рынок - сбалансированной стратегии, допускающеймаксимально экономное удовлетворение покупательского спроса на текущий момент времени.1. Математическая модель рынка одного товаракак рестриктивная динамическая система с запаздываниемпри сбалансированной стратегии поставки товараПусть в соответствии с моделью линии спроса (2)D ( ) ( )Q t = Qm − aP t (3)- спрос на товар в момент t дискретного времени при цене P(t). Пусть в моментt - ƒ продавец закупает товар в объёме, допускающем максимально экономноеудовлетворение спроса на этот момент времени: QZ (t − Ґу) = R(QD (t − Ґу) −Q(t − Ґу)) = max (QD (t − Ґу) −Q(t − Ґу),0) , (4)где R(x) = x · 1(x > 0) = max(x, 0) - рестриктивная (ограничительная) функция, равная x при x > 0 и 0 при x ≤ 0; 1(·) - индикатор события, указанного в скобках; Q(t) - объём товара на складе в момент времени t. Другими словами, мы предполагаем, что продавец в момент времени t - ƒ, не имея, скажем, возможности прогнозировать спрос на товар к моменту времени t, действует, исходя из ситуациина момент времени закупки товара. При этом действует наиболее экономно с точки зрения текущего момента времени, закупая минимальный объём товара, обеспечивающий вместе с товарным запасом (товаром, имеющимся в наличии на складе) удовлетворение покупательского спроса на этот момент времени. Это существенное предположение, определяющее стратегию управления запасом товарав рассматриваемом здесь варианте модели рынка. Такую стратегию поставок товара на рынок будем называть сбалансированной.Объём продаж на t-м интервале дискретного времени определяется тогда величинойQS (t ) = min (QD (t ),Q(t ) -QZ (t − Ґу)) , (5)то есть объём продаж либо полностью покрывает спрос QD(t) в момент времени t, если предлагаемое покупателю количество товара на рынке в этот момент превышает спрос, Q(t) - QZ(t - ƒ) ≥ QD(t), либо продается весь наличный объём товараQ(t) - QZ(t - ƒ ), не покрывая спроса, если Q(t) - QZ(t - ƒ) < QD(t).Рынок как самоуправляемая инерционная динамическая система с запаздыванием 7К началу (t - 1)-го интервала времени на складе продавца остаётся непроданный товар (запас) в объёмеQ(t -1) = R(Q(t ) -QZ (t − Ґу) −QS (t )) = max (Q(t ) -QZ (t − Ґу) −QS (t ),0) , (6)отличном от нуля, только если предложение товара превышает спрос. С учётом(4) и (5) представим (6) в видеQ(t -1) = R(Q(t ) −QD (t ) - R(QD (t − Ґу) −Q(t − Ґу))) . (7)Это нелинейное рекуррентное уравнение с запаздывающим аргументом, связывающее между собой товарный запас в момент времени t - 1 с товарными запасами в предшествующие моменты времени t и t - ƒ.С учетом соотношения (3) вместе с рекуррентным соотношениемP(t -1) = P(t ) - u (t ) , (8)стесняемым ограничениями0 ЎВ Pmin ЎВ P(t ) ЎВ Pmax ўЈt , (9)где Pmin ≥ 0 - минимальная цена, по которой продавец еще может согласитьсяпродавать товар, а u(t) - скорости изменения цены, определяемые рынком (управления), уравнение (7) полностью описывает динамику рынка при заданных начальных условиях и фиксированных управлениях u(t). Заметим, что безубыточнаяторговля возможна, по крайней мере, лишь при Pmin ≥ P1, где P1 - цена закупкитовара.2. Критерий оптимальности ценообразованияСформулируем теперь критерий, в соответствии с которым рынок можетуправлять изменениями цены товара, т.е. вырабатывать управления u(t). Пусть P1- цена закупки товара, P2 - цена хранения. Тогда прибыль продавца на t-м интервале дискретного времени равна разности между выручкой от продажи товара в объёме QS(t) по цене P(t) и затратами на закупку товара в объеме QZ(t - ƒ) по ценеP1 и его хранение на складе в объёме Q(t) по цене P2: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2J t = QS t P t −QZ t − Ґу P −Q t P . (10)В точке равновесия (покоя)P(t ) = P- , Q(t ) = Q- , D- Q = Qm − aP , ( ) QZ- = R QD- −Q- , QS- = min (QZ- -Q-,QD- ) , Q- = R(Q- -QZ- −QS- ) , - -- - 1 2J = QD P −QZ P −Q P .Можно показать, что максимальное значение равновесной прибыли- ( )2 ( )Jmax = Qm − aP1 4a достигается при Q- = 0, P- = (Qm - aP1)/(2a). Иными словами, равновесие рынка, обеспечивающее его максимальную рентабельность(прибыль продавца) при полном удовлетворении покупательского спроса, достигается при равновесной цене P- = (Qm - aP1)/(2a) и отсутствии на рынке излишковтовара (Q- = 0). Это и есть точка оптимального рыночного равновесия.Вернемся к уравнениям состояния рынка (7), (8). Поскольку уравнение (7) -уравнение с запаздывающим аргументом для обеих переменных Q(t) и P(t), необходимо задать «начальные» функции, описывающие поведение этих переменных8 В.В. Поддубный, О.В. Романовична интервале [-ƒ, 0]. Будем считать, что до момента времени t = 0 рынок находился в состоянии оптимального равновесия (Q-, P-), а в момент t = 0 произошлоскачкообразное возмущение состояния рынка до значения (Q0, P0), так что Q(t ) = Q- = 0 , ( ) - ( ) ( )P t = P = Qm - aP1 2a , t = −Ґу,−1 , Q(t ) = Q0 , P(t ) = P0 , t = 0 . (11)Решение системы рекуррентных уравнений (7), (8) с начальными условиями(11) при заданном законе управления u(t), удовлетворяющем ограничениям (9), полностью описывает поведение рынка на интервале времени [-ƒ, T].Максимально рентабельный для продавца рынок, обеспечивающий покупательский спрос на товар, реализуется при оптимальном управлении( ){ , , }arg max u Q P u t = J , (13)максимизирующем суммарную на интервале [0, T] прибыль продавца: ( )0 { , , }maxTt u Q P J Jt =ҐТ ўЎ . (14)3. Учёт инерционности рынка3 . 1 . У ч ё т и н е р ц и о н н о с т и с п о м о щ ь ю « ш т р а ф н о й » ф у н к ц и и д л я у п р а в л е н и й Рассмотрим вариант поведения рынка при оптимальном управлении (13), максимизирующем суммарную на интервале [0, T] прибыль продавца с учетом инерционности рынка: ( ) ( ){ }120 0 , , max 2T T t t u Q P J J t w u t −= =ҐТ − ҐТ ўЎ , (15)где w ≥ 0 - вес «штрафной» функции для управлений. Принятая здесь квадратичная штрафная функция не допускает слишком быстрых изменений цены, обеспечивая определённую инерционность рынка. Максимум целевого функционала J ищется по всем переменным {u(t), Q(t), P(t)}, связанным рекуррентными уравнениями состояния рынка (7), (8) с начальными условиями (11) и ограничениями (9).Нетрудно видеть, что множество допустимых (то есть удовлетворяющих линейным неравенствам (9)) управлений u и состояний P ограничено, замкнуто и имеет внутренние точки, а целевая функция J и правые части уравнений состояния (7), (8) непрерывны по переменным u, P и Q. Следовательно, согласно -----теореме Вейерштрасса, максимум (возможно, не единственный) целевой функции (14)существует и конечен.3 . 2 . У ч ё т и н е р ц и о н н о с т и с п о м о щ ь ю ж ё с т к и х о г р а н и ч е н и й н а у п р а в л е н и я Другой вариант поведения рынка при оптимальном управлении (13), максимизирующем суммарную на интервале [0, T] прибыль продавца с учетом инерционности рынка, может иметь место при жёстких ограничениях на интервал возможных значений управлений (скоростей изменений цены товара): umin ЎВ u (t ) ЎВ umax . (16)Рынок как самоуправляемая инерционная динамическая система с запаздыванием 9Из определения (8) следует, что umin < 0 и umax > 0 жёстко ограничивают снизуи сверху скорость изменения цены P(t - 1) - P(t). Если при этом | umin | = | umax |, скорости увеличения и уменьшения цены ограничиваются одинаково, как и в случае мягких штрафных ограничений. Если же | umin | < | umax |, скорость роста ценыможет превышать по модулю скорость её падения и возникает явление рыночногогистерезиса (рынок «охотно» увеличивает цену товара, но «неохотно» её снижает). В случае жестких ограничений (16) целевая функция (15) теряет штрафноеслагаемое (w = 0) и принимает вид (14), но максимизация функционала J проис-----ходит в условиях ограничений (16).4. Алгоритм решения задач оптимизацииПредставим целевую функцию (14) или (15) как сложную функцию векторацен P = {P(1), P(2), , P(T)} на интервале [1, T] дискретного времени t, определяемую соотношениями (10), (3) - (5), (7), (8). Тогда задача максимизации (14)или (15) по переменным {u, Q, P} при ограничениях в виде рекуррентных равенств (7), (8) и линейных неравенств (9) или (9) и (16) переходит в задачу максимизации (14) или (15) только по векторной переменной P при ограничениях в виде линейных неравенств (9) или (9) и (16).Скалярные целевые функции (14) и (15) почти всюду дважды непрерывнодифференцируемы по вектору P в T-мерном евклидовом пространстве, за исключением множества точек изломов, в которых функцииҐб(t) = QD (t − Ґу) −Q(t − Ґу) , Ґв(t) = QD (t) −Q(t) , Ґг(t) = (QD (t − Ґу) −Q(t − Ґу))− (QD (t) −Q(t)) = Ґб(t) −Ґв(t) (17)меняют знак. Действительно, используя обозначения (17), перепишем соотношения (4) - (6) в виде( ) ( ), ( ) 0, ( ) max (),00, ( ) 0; Z t t Q t t t ⎧Ґб Ґб > − Ґу = Ґб = ⎨ Ґб ЎВ ⎩(18)QS (t) = Q(t) -min (Ґв(t), max (Ґб(t), 0)) ( ) ( )(( ) ( )) (( ) ( ))( ) ( )( ), ( ) 0 ( ) 0 , ( ) ( ), ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 , 0, ( ) 0 ( ) 0 ; t t t Q t t t t t t t t Ґб Ґб > Ўь Ґг < ⎧⎪= - Ґв Ґб > Ўь Ґг > Ўэ Ґб ЎВ Ўь Ґв < ⎨⎪⎩ Ґб ЎВ Ўь Ґв >(19)Q(t -1) = max (max (Ґб(t), 0) −min (Ґв(t), max (Ґб(t), 0)), 0) ( ) ( )( ) ( )(( ) ( )) (( ) ( ))( ) ( ) ( ), ( ) 0 ( ) 0 , ( ), ( ) 0 ( ) 0 , 0, ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 , t t t t t t t t t t t t Ґг = Ґб −Ґв Ґб > Ўь Ґг > ⎧⎪= −Ґв Ґб ЎВ Ўь Ґв < ⎨⎪⎩ Ґб > Ўь Ґг < Ўэ Ґб ЎВ Ўь Ґв >(20)откуда видно, что точки изломов функций QZ(t - ƒ), QS(t), Q(t - 1), а следовательно, функции J(t) и целевой функции J (14) или (15), определяются точками сменызнаков функций ƒ(t), ƒ(t), ƒ(t) = ƒ(t) - ƒ(t). С точки зрения сбалансированной стратегии поставки товара на рынок это вполне естественно, так как функции ƒ(t) и ƒ(t) имеют смысл разницы между товарным спросом и запасом товара в моментызаказа товара. И если спрос превышает запас, происходит заказ товара, направ10 В.В. Поддубный, О.В. Романовичленный на обеспечение спроса, тогда как в противном случае заказ товара не производится (запаса достаточно для удовлетворения спроса).Выпишем градиент и гессиан целевой функции (15). Для целевой функции (14)их значения будут частными случаями при w = 0. Градиент ЎФJ целевой функцииJ есть вектор-столбец первых частных производных J по компонентам вектора P, а её гессиан H - матрица вторых частных производных J по P: J J P ЎУЎФ ЎУ, ( ) , 1,2, , ( )J k J k T P k ⎧ ЎУ ⎫ ⎨ЎФ = = ⎬⎩ ЎУ ⎭… , 22H J J P P ЎУЎФ ЎУ= ЎУ ЎУ, 2( , ) , , 1,2, , ( ) ( )H k l J k l T P k P l ⎧ ЎУ ⎫⎨ = = ⎬⎩ ЎУ ЎУ ⎭… .Дифференцируя соотношения (3), (18) - (20) с учётом (17) и соотношение(10) по P(k), k = 1, 2,, T, и обозначая элементы матриц-производныхqD(t,k) = QD(t) / P(k), qZ(t,k) = QZ(t) / P(k), qS(t,k) = QS(t) / P(k), q(t,k) = Q(t) / P(k), j(t,k) = J(t) / P(k), получимD ( , )q t k = −aҐдtk ; (21)( , ) ( , ) ( , ), ( ) 0, 0, ( ) 0; D qZ t k q t k q t k t t ⎧ −Ґу − −Ґу Ґб >− Ґу = ⎨⎩ Ґб ЎВ(22)( ) ( )(( ) ( ))(( ) ( ))( ) ( )( , ) ( , ), ( ) 0 ( ) 0 , ( , ) ( , ), ( ) 0 ( ) 0 ( , ) ( , )( ) 0 ( ) 0 , 0, ( ) 0 ( ) 0 ; D D Sq t k qt k t t q t k q t k t t q t k q t k t t t t ⎧ − Ґу − − Ґу Ґб > Ўь Ґг Ўь Ґг > Ўэ = -⎨ Ўэ Ґб ЎВ Ўь Ґв < ⎪⎪⎩ Ґб ЎВ Ўь Ґв >(23)( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )(( ) ( ))(( ) ( ))( , ) ( , ) (, ) (, ), ( ) 0 ( ) 0 , ( 1, ) ( , ) ( , ) , ( ) 0 ( ) 0, 0, ( ) 0 ( ) 0( ) 0 ( ) 0 ; D D D q t k qt k q tk qtk t t q t k q t k q t k t t t t t t ⎧ −Ґу − −Ґу − − Ґб > Ўь Ґг > ⎪⎪- = − − Ґб ЎВ Ўь Ґв < ⎨⎪Ґб > Ўь Ґг < Ўэ ⎪⎩Ўэ Ґб ЎВ Ўь Ґв >(24)( , ) ( ) S ( , ) S ( ) Z ( , ) 1 ( , ) 2j t k = P t q t k -Q t Ґдtk − q t − Ґу k P − q t k P . (25)Значения всех функций qD, qZ, qS, q при первом аргументе (t, t - ƒ, t - 1), принимающем значения от -ƒ до 0, равны 0.Дифференцируя (14) по P с учётом (21) - (25), получим( )1( ) ( , ) 2 ( ) ( 1) ( 1)TtJ k j t k w P k P k P k ЎФ = −ҐТ - ⋅ − − − - , k = 1,T . (26)Дифференцируя далее соотношения (21) - (25) по P(l), l = 1,2,,T, и обозначаяэлементы матриц-производныхMD(t,k,l) = 2QD(t) / P(k)P(l), MZ(t,k,l) = 2QZ(t) / P(k)P(l), MS(t,k,l) = 2QS(t) / P(k)P(l), M(t,k,l) = 2Q(t) / P(k)P(l), j(t,k,l) = 2J(t) / P(k)P(l), Рынок как самоуправляемая инерционная динамическая система с запаздыванием 11получимM D (t, k,l ) = 0 ; (27)( , , ) ( , , ) ( , , ), ( ) 0, 0, ( ) 0; D MZ t k l M t k l M t k l t t ⎧ −Ґу − −Ґу Ґб >− Ґу = ⎨⎩ Ґб ЎВ(28)( ) ( )(( ) ( ))(( ) ( ))( ) ( )( , , ), ( ) 0 ( ) 0 , ( , , ), ( ) 0 ( ) 0( , , ) ( , , )( ) 0 ( ) 0 , 0, ( ) 0 ( ) 0 ; S M t k l t t M t k l t t M t k l M t k l t t t t Ґб > Ўь Ґг < − − Ґу ⎧⎪⎪ − Ґб > Ўь Ґг > Ўэ = -⎨ Ўэ Ґб ЎВ Ўь Ґв < ⎪⎪⎩ Ґб ЎВ Ўь Ґв >(29)( ) ( )( ) ( )(( ) ( ))(( ) ( ))( , , ) ( , , ), ( ) 0 ( ) 0 , ( 1, , ) ( , , ), ( ) 0 ( ) 0 , 0, ( ) 0 ( ) 0( ) 0 ( ) 0 ; M t k l M t k l t t M t k l M t k l t t t t t t − − Ґу Ґб > Ўь Ґг > ⎧⎪- = Ґб ЎВ Ўь Ґв < ⎨⎪⎩ Ґб > Ўь Ґг < ЎэЎэ Ґб ЎВ Ўь Ґв >(30)( ) ( )( ) 1 ( ) 2, , ( ) ( , , ) ( , ) , , , , , .S S S tl tk Z j t k l P t M t k l q t k q t l M t kl P M tkl P = - Ґд - Ґд −− −Ґу − (31)Значения всех функций MD, MZ, MS, M при первом аргументе (t, t - ƒ, t - 1), принимающем значения от -ƒ до 0, равны 0.Дифференцируя (26) по P с учётом (27) - (31), получим( ) 1, 1, 1( , ) ( , , ) 2Tkl k l k l t H k l j t k l w − = −ҐТ - Ґд − Ґд − Ґд , k,l = 1,T . (32)Как видим, и градиент, и гессиан целевой функции испытывают скачки первого рода в точках изменений знаков функций ƒ(t), ƒ(t), ƒ(t). Это приводит к трудностям использования при решении задач оптимизации градиентных методов. Так, например, метод Ньютона пошаговой параболической аппроксимации целевойфункции приводит (в отсутствие ограничений на переменные) к итерационномуалгоритму вида1111x x H− J Ґн- = Ґн − Ґн ЎФ Ґн Ґн , Ґн = 0,1,2,…, (33)где xƒ - T-вектор-столбец решения задачи оптимизации J по P (без ограниченийтипа неравенств) на ƒ-м шаге итерационного процесса при произвольно заданномначальном условии x0. Наличие скачков градиента и гессиана вблизи точки минимума делают проблематичной сходимость градиентного алгоритма (33).Альтернативой градиентным методам ньютоновского типа является квазиньютоновский алгоритм оптимизации с численным определением градиента целевойфункции и пересчётом на каждой итерации ƒ её гессиана (точнее, его аппроксимации) по BFGS-формуле Бройдена - Флетчера - Гольдфарба - Шанно [3]: 1T TT T T d d H s s H d s s H s Ґн Ґн Ґн Ґн Ґн Ґн Ґн- Ґн Ґн Ґн Ґн Ґн Ґн = - − , H0 = I , (34)где I - единичная диагональная матрица, sҐн = xҐн-1 − xҐн , dҐн = ЎФJҐн-1 −ЎФJҐн , Ґн = 0,1,2,…. (35)12 В.В. Поддубный, О.В. РомановичАлгоритм реализован, например, в системе программирования Matlab функцией fmincon, учитывающей линейные и нелинейные ограничения типа неравенств и равенств.Используем эту реализацию квазиньютоновского алгоритма для решения рассматриваемых здесь задач оптимизации. Оказалось, что, несмотря на наличие изломов целевых функций (14) и (15), этот алгоритм даёт лучшее решение рассматриваемых задач оптимизации по сравнению с другими градиентными алгоритмами, в том числе ньютоновским, обладая хорошей сходимостью и малым разбросом решений при случайном выборе начальных условий x0.На рис. 1 - 7 в качестве примера приведена динамика всех переменных, описывающих поведение рынка при оптимальном управлении ценой товара. Расчетыпроводились при w = 50 («мягкие» ограничения для инерционности рынка, графики слева), umin = - 0,8, umax = 0,125 («жёсткие» ограничения инерционности, графики справа), Qm = 4, a = 0,4, T = 100, P0 = 7, P1 = 1, P2 = 0,1, Pmin = P1 - P2, Pmax = Qm/a, P- = 5,5, Q0 = 0 и ƒ = 0, 20, 40, 60. Границы «жёстких» ограниченийвыбраны из условия их примерного соответствия размаху управлений при «мягких» ограничениях (на рис.1 слева и справа).На рис. 1 изображено оптимальное управление u(t) при различных запаздываниях ƒ при «мягких» (слева) и «жёстких» (справа) ограничениях инерционности.Как видно из сравнения графиков слева и справа, при «жёстких» ограниченияхинерционности пики скорости изменения цены возрастают. При этом заметен высокочастотный шум ошибок работы алгоритма оптимизации, который сопровождает-----, как видно из графиков на следующих рисунках, вычисление всех переменных задачи оптимизации.u t ( )0-0,4-0,80 20 40 60 80 t 0,2-0,2-0,6-1,0Ґу = 0Ґу = 20Ґу = 40Ґу = 60u t ( )0-0,4-0,80 20 40 60 80 t 0,2-0,2-0,6-1,0Ґу = 0Ґу = 20Ґу = 40Ґу = 60Рис. 1. Оптимальное управление (скорость изменения цены) u(t) при различных ƒ при «мягких» (слева) и «жёстких» (справа) ограничениях инерционностиНа рис. 2 изображена оптимальная динамика цены товара при различных запаздываниях и при различных типах ограничений инерционности. Видно, что при «мягких» ограничениях инерционности (рис. 2, слева) колебания цены, возникающие вследствие запаздывания поставок товара на рынок, - плавные, тогда как при «жёстких» ограничениях (рис. 2, справа) - резкие, пилообразные. Кроме того, при «мягких» ограничениях инерционности амплитуда колебаний цены заметноменьше (рис. 2, слева), чем при «жёстких» ограничениях (рис. 2, справа). Эта более высокая демпфирующая способность «мягких» ограничений объясняется, повидимому, их интегральным характером.Рынок как самоуправляемая инерционная динамическая система с запаздыванием 13P t ( )650 20 40 60 80 t 6,55,54,5Ґу = 0Ґу= 20Ґу= 40Ґу= 60P t ( )650 20 40 60 80 t 6,55,54,5Ґу = 0Ґу = 20Ґу = 40Ґу = 60Рис. 2. Оптимальная цена P(t) при различных ƒ при «мягких» (слева----------) и «жёстких» (справа) ограничениях инерционностиQD(t)1,71,30 20 40 60 80 t 1,91,51,1Ґу = 0Ґу= 20Ґу= 40Ґу= 60QD(t)1,71,30 20 40 60 80 t 1,91,51,1Ґу = 0Ґу = 20Ґу = 40Ґу = 60Рис. 3. Спрос QD(t) при оптимальном управлении и различных ƒ при «мягких» (слева) и «жёстких» (справа) ограничениях инерционностиВообще из-за запаздывания поставок товара на рынок во всех переменных, характеризующих состояние рынка в последовательные дискретные моменты времени, возникают постепенно затухающие колебания, период которых приблизительно равен запаздыванию ƒ.Природа этих колебаний легко объяснима. Пусть до некоторого (нулевого)момента времени рынок находился в состоянии равновесия. Пусть в нулевой момент времени цена товара по какой-либо причине резко изменилась (для определённости, подскочила, как в нашем примере). Если в этот момент времени происходит заказ товара для поставки его на рынок, то он происходит, таким образом, в момент высокого уровня цены (выше равновесного), когда спрос на товар в соответствии с линией спроса низок (ниже равновесного). Поэтому (в соответствии со сбалансированной стратегией поставок) в этот момент заказывается относительнонебольшой объём товара. В течение некоторого времени в связи с низким спросомцена товара падает. Падение цены приводит к росту спроса. Через время запаздывания ƒ заказанный в небольшом объёме товар поступает на рынок. К этому времени запас товара уменьшается или исчезает вовсе и возникает товарный дефицит. Сбалансированная стратегия поставок требует значительного увеличенияобъёма заказа. Товарный дефицит приводит, в соответствии с критерием оптимальности, к росту цены. Это, в свою очередь, приводит к снижению спроса на 14 В.В. Поддубный, О.В. Романовичтовар. Через время ƒ заказанный в большом объёме товар поступает на рынок, приводя в условиях сниженного спроса к затовариванию рынка. Это опять приводит к низкому заказу поставки товара. Ситуация, таким образом, периодическиповторяется. Постепенно амплитуда колебаний цены уменьшается, и рынок приближается к равновесному состоянию.Как видно из сравнения рис. 3 с рис. 2, спрос ведёт себя противоположно ценев соответствии с линией спроса (3). Обратим внимание, что скорости роста цены и падения спроса при «мягких» ограничениях примерно равны соответственно скоростям падения цены и роста спроса, тогда как при «жёстких» ограничениях скорости роста цены и падения спроса ниже, чем скорости падения цены и ростаспроса. Это связано с выбором в расчётной модели рынка | umin | > | umax |. При выборе | umin | < | umax | характер роста и падения этих величин будет противоположным. Для реального рынка такая ситуация более реалистична: рынок, как уже отмечалось, более охотно поднимает цену, чем снижает.На рис. 4, 5, 6 представлены объёмы закупок, продаж и остатков товара на складе в последовательные моменты дискретного времени при оптимальномуправлении и различных запаздываниях при «мягких» (слева) и «жёстких» (справа) ограничениях инерционности. Видны резкие изменения объёмов закупок, продаж и остатков товара после скачкообразного подъёма цен с последующимQZ(t)0,80 20 40 60 80 t 1,81 2 , Ґу = 0Ґу= 20Ґу= 40Ґу= 60QZ(t)0,90 20 40 60 80 t 1,71,1Ґу = 0Ґу = 20Ґу = 40Ґу = 601,31,5Рис. 4.Объем закупок QZ(t) при оптимальном управлении и различных ƒ при «мягких» (слева) и «жёстких» (справа) ограничениях инерционностиQS(t)0 8 , 0 20 40 60 80 t 1,81,2 Ґу = 0Ґу= 20Ґу= 40Ґу= 602,0QS(t)0 8 , 0 20 40 60 80 t 1,81,2 Ґу = 0Ґу = 20Ґу = 40Ґу = 602,0Рис. 5.Объем продаж QS(t) при оптимальном управлении и различных ƒ при «мягких» (слева) и «жёстких» (справа) ограничениях инерционностиРынок как самоуправляемая инерционная динамическая система с запаздыванием 15Q(t)0 0 20 40 60 80 t 21Ґу = 0Ґу= 20Ґу= 403 Ґу= 60Q(t)0 0 20 40 60 80 t 0,80,4Ґу = 0Ґу = 20Ґу = 40Ґу = 601,21,6Рис. 6.Остаток товара на складе Q(t) при оптимальном управлении и различных ƒ при «мягких» (слева) и «жёстких» (справа) ограничениях инерционностиапериодическим (в отсутствие запаздывания) и колебательным (при наличии запаздываний) переходом к равновесным уровням.На рис. 7 представлена динамика прибыли продавца после скачкообразногоподъёма цены при оптимальном управлении ценой и различных запаздываниях ƒ при «мягких» (слева) и «жёстких» (справа) ограничениях инерционности. Видны быстро затухающие провалы прибыли, обусловленные запаздываниями поставок товара на рынок. Вне этих провалов прибыль максимальна и равна равновеснойприбыли J-.J(t)4 0 20 40 60 80 t 65Ґу = 0Ґу= 20Ґу= 40Ґу= 6078J(t)4 0 20 40 60 80 t 65Ґу = 0Ґу = 20Ґу = 40Ґу = 6078Рис. 7. Прибыль продавца J(t) при оптимальном управлении и различных ƒ при «мягких» (слева) и «жёстких» (справа) ограничениях инерционностиЗаключениеВ результате исследования предложенной и рассмотренной в данной статьематематической модели рынка одного товара как инерционной самоуправляемойдинамической системы с запаздыванием при сбалансированной стратегии поставки товара на рынок, направленной на экономное удовлетворение покупательскогоспроса, можно сделать следующие основные выводы.1. Сбалансированная стратегия поставки товара на рынок, определяющая объём заказа товара в зависимости от соотношения объёмов покупательского спросаи наличного запаса товара на складе в момент заказа товара, приводит к рестриктивному (стесняемому ограничениями типа неравенств) математическому описа16 В.В. Поддубный, О.В. Романовичнию динамики переменных, определяющих состояние рынка в последовательныемоменты дискретного времени.2. Прибыль продавца при такой стратегии оказывается непрерывной функциейвектора цен в последовательные моменты дискретного времени, почти всюдудифференцируемой в векторном пространстве цен, за исключением точек излома, определяемых соотношением между спросом на товар и наличным запасом товарана складе.3. Задача оптимального управления ценой товара по критерию максимумасуммарной прибыли продавца при сбалансированной стратегии поставки товарана рынок оказывается задачей оптимизации непрерывной негладкой функции со скачками градиента и гессиана, что затрудняет применение для её решения градиентных методов ньютоновского типа.4. Инерционность рынка, ограничивающая скорость изменения цены товара, моделируется либо с помощью квадратичной штрафной функции для скоростиизменений цены («мягкие» ограничения инерционности), либо заданием интервала допустимых значений скорости изменений цены («жёсткие» ограниченияинерционности). Последние позволяют моделировать ценовой гистерезис.5. С помощью квазиньютоновского алгоритма с пересчётом аппроксимациигессиана по формуле Бройдена - Флетчера - Гольдфарба - Шанно (BFGS) в условиях ограничений инерционности, а также ограничений на минимальное и максимальное значения цены товара, исследована оптимальная динамика цены товара и всех переменных, определяющих поведение рынка в последовательные моментыдискретного времени. Показано, что после вывода рынка из состояния равновесиявозникает апериодический (в отсутствие запаздывания поставок заказанного товара на рынок) или затухающий периодический (при наличии запаздывания) переходный процесс, постепенно снова приводящий рынок в состояние равновесия.Численно исследован характер переходного процесса для всех переменных состояния рынка при различных запаздываниях при «мягких» и «жёстких» ограничениях инерционности рынка.

Скачать электронную версию публикации