Hedging put option with the set probability in case of paymentof dividends on a risk active.pdf Используемые на рынках финансовые инструменты становятся более разнообразными и порождают довольно изощренные потоки платежей [1]. При этом построение математической модели финансового рынка и анализ процессов требуютприменения математических методов на достаточно высоком уровне. В связи с этим большую популярность приобрела финансовая математика, основным объектом исследования которой являются различные модели рынка ценных бумаг [2- 4]. Опцион является производной (вторичной) ценной бумагой и представляетсобой контракт, по которому покупатель опциона приобретает право купли или продажи некоторого оговоренного в контракте базисного актива по определеннойцене, а продавец опциона за премию, являющуюся ценой опциона, обязан исполнить требование покупателя при предъявлении опциона к исполнению. В первомслучае имеем опцион купли, а во втором - продажи. Стандартная платежнаяфункция опциона продажи, определяющая величину выплаты при предъявленииопциона к исполнению, имеет вид ( ) T T f K S- = − , где ST - цена базисного активав момент исполнения T, K - цена исполнения контракта, a- = max (a;0) Опцион, соответствующий такой платежной функции, получил название стандартного опциона продажи европейского типа для фиксированного T. В случае стандартныхопционов с платежными функциями данного вида выплата по опциону можетбыть достаточно высокой, что представляет существенный риск для эмитента и порождает требование ограничения этого риска. В предлагаемой работе реализация выдвинутого требования осуществляется на основе квантильного хеджирования с заданной вероятностью выполнения платежного обязательства [4, 5].1. Постановка задачиРассмотрим модель финансового рынка, представленного безрисковым (банковский счет) B и рисковым (акция) S активами с ценами соответственно Bt и St в момент времени t Ўф[0,T ] . При этом активы B и S называют основными активамиили основными ценными бумагами, образующими (B ,S) - рынок с непрерывнымвременем. Предполагается, что величина банковского счета B задается детерминированной функцией ( ) B Bt t>0 = , отвечающей уравнениюОценка параметра процесса авторегрессии первого порядка 33dBt = rBtdt , (1)решение которого имеет вид 0 , 0 0, 0 rt Bt = B e B > r > , (2)где r - процентная ставка, или банковский процент. Изменение стоимости акции( ) S St tЎГ0 = происходит на стандартном вероятностном пространстве( ( ) ) , F, Ft t>0 , ҐШ F = P . Ввиду того, что реально наблюдаемые флуктуации цен акций имеют случайный характер, для описания эволюции S используется модель«геометрического», или «экономического», броуновского движения [2, 3]. Такойпроцесс описывается уравнениемdSt = St (ƒdt - ƒdWt ) , (3)с решением20 exp t 2 t S S t W ⎛ ⎛ Ґт ⎞ ⎞= ⎜ ⎜Ґм − ⎟ - Ґт ⎟⎝ ⎝ ⎠ ⎠, (4)где ( ) W Wt tЎГ0 = - винеровский процесс, S0 > 0,ƒЎф R,ƒ > 0 .Рассмотрим некоторого инвестора, значение капитала X в момент времени t которого определяется как Xt = ƒtBt - ƒtSt , (5)где Ft - измеримые процессы ƒt и ƒt - части безрискового и рискового активовсоответственно - составляют портфель ценных бумаг ƒt = (ƒt , ƒt ) . За обладаниеакцией осуществляются выплаты дивидендов в размере D со скоростью ƒƒt St , 0 ЎВ ƒ < r пропорциональной рисковой составляющей капитала, а именно: dDt = ƒƒtStdt . (6)Тогда изменение капитала в задаче с дивидендами подчиняется уравнениюdXt = ƒtdBt - ƒtdSt - dDt . (7)Из (5), (7) следует, что dXt = ƒtdBt - ƒtdSt - Btdƒt - Stdƒt . (8)Согласно (7), (8), получаем балансовое соотношение Btdƒt - Stdƒ = dDt , заменяющее условие самофинансируемости в стандартной задаче [2 - 4]. Учитываясоотношения (3), (5) - (7), запишем уравнение, определяющее Xt в видеƒ ƒ ƒ r ƒ dXt = rXtdt - tSt dWt − - , ƒ ƒ (ƒ ƒ)ƒrt t r W − - W − - t = - . (9)Задача. Требуется определить капитал t X ∗ , соответствующий ему портфельƒt (ƒt , ƒt )∗ = ∗ ∗ и начальное значение капитала X0 = PT как стоимости вторичнойценной бумаги - опциона, при которых обеспечивается выполнение платежногообязательстваXT = fT (ST ) , (10)где fT (ST ) - платежная функция с вероятностью P(A) = 1− ƒ, 0 < ƒ < 1 [4, 5].34 Е.Ю. Данилюк, Н.С. ДеминБазовая -----теория рассматривает хеджирование с единичной вероятностью, когдаƒ = 0 [1] и платежное обязательство выполняется на каждой траектории St. Подобная идеализация приводит к тому, что решение не зависит от параметра роста ƒ, который является существенным и определяет тенденцию изменения цены рискового актива. Хеджирование с вероятностью меньше единицы (квантильное хеджирование) является более реалистичным. В рамках проведенного исследованиярассматривается задача хеджирования с заданной вероятностью стандартного опциона продажи в случае выплаты дивидендов, когда находится не только формуладля справедливой цены опциона PT, но и формулы, определяющие эволюцию во времени портфеля (хеждирующей стратегии) и капитала, обеспечивающих платежное обязательство с заданной вероятностью.2. Цена опционаРассмотрим задачу квантильного хеджирования стандартного опциона продажи (put - опциона) с функцией выплат fT = (K - ST)- = max (0, K - ST) [2, 3]. По теореме 6.1 из [4] имеем, что оптимальная стратегия в задаче квантильного хеджирования совпадает с совершенным хеджем (с вероятностью единица) платежногообязательства ƒ fT = fT IA , где IA - индикатор множества A, имеющего вид { } : constT A d f d ∗ = Ґш Ρ > ⋅Ρ, (11)где P- - рискнейтральная (мартингальная) мера, т. е. мера, относительно которойпроцесс S

Скачать электронную версию публикации