The research of the output process of an GI GI ?.pdf Системы массового обслуживания [1 - 3] с неограниченным числом приборовявляются моделями реальных систем в различных сферах повседневной жизни: банковское дело, страхование, транспорт, торговля и т.д.Большинство работ по исследованию систем с неограниченным числом приборов [4 - 7] посвящено исследованию числа занятых приборов, а описанию и изучению свойств выходящих потоков уделялось недостаточно внимания, хотя на практике часто необходимо знание характеристик таких потоков. С одной стороны, если рассматривать системы с неограниченным числом приборов как модель, например, экономической системы (страховой, банковской), то информация о выходящем потоке даст возможность прогнозировать число обслуженных клиентов.С другой стороны, обслуженные одной системой заявки, могут образовывать входящий поток для другой, что происходит в сетях массового обслуживания (СеМО). Поэтому исследование выходящих потоков актуально и для развития теорииСеМО, анализу которых посвящены, например, работы [8 - 11].Попытки исследования выходящих потоков в рамках классической теории были сделаны во второй половине ХХ в. такими учеными, как П.Дж. Берк и Дж.У. Коэн. В работе Л.К. Горского и Н.М. Акулиничева [12] было показано, что распределение вероятностей числа обслуженных заявок некоторых систем с ограничениями является асимптотически нормальным. Анализу выходящих потоковв системах с циклическим обслуживанием посвящены работы исследователейиз школы Нижегородского государственного университета (М.А. Федоткин, Е.В. Пройдакова) [13 - 15].Для систем с неограниченным числом приборов, на вход которых поступаетпростейший поток, было показано [16], что выходящий поток также является простейшим.В данной работе приводится исследование выходящего потока системы с неограниченным числом приборов и произвольным распределением времени обслуживания, на вход которой поступает рекуррентный поток событий. В случаеэкспоненциального времени обслуживания задача исследования немарковского1 Работа выполнена при поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» Федерального агентства по образованию (проект№ 4761).Исследование выходящего потока 61процесса (при непуассоновком входящем потоке), определяющего число обслуженных заявок, решается введением дополнительных переменных таким образом, чтобы случайный процесс в расширенном фазовом пространстве становился марковским, что в некоторых работах [17] называют «внешним» марковизированием.Результаты по такой системе представлены в работе [18]. А при произвольнойфункции распределения времени обслуживания метод дополнительной переменной не дает результатов. Предлагаемый в настоящей работе метод просеянногопотока позволяет исследовать выходящие потоки систем с неограниченным числом приборов, произвольным распределением времени обслуживания и непуассоновским входящим потоком.1. Математическая модельВ данной статье рассматривается система массового обслуживания, на входкоторой поступает рекуррентный поток событий, определяемый функцией распределения A(x) длин интервалов между моментами наступления его событий.Количество обслуживающих приборов не ограничено, а заявка, пришедшая в систему, занимает любой из свободных приборов. Время обслуживания поступающих заявок будем считать случайным с функцией распределения B(x), одинаковойдля всех заявок.Если использовать символику, предложенную Д. Кендаллом, то рассматриваемая система обозначается GI GI .В работе выполнено исследование выходящего потока, то есть числа заявок, обслуженных за время T, в условии растущего времени обслуживания, то есть при условии, что 0b (1 B(x))dxЎД= Ўт − - среднее значение времени обслуживания - стремится к бесконечности.2. Метод просеянного потокаДля произвольного входящего потока рассмотрим систему массового обслуживания с неограниченным числом приборов. Времена обслуживания поступающих заявок случайные, стохастически независимые и определяются функциейраспределения B(x), одинаковой для всех заявок.Пусть T1 > 0, T > 0 - некоторые заданные величины, а 0b (1 B(x))dxЎД= Ўт − − среднее значение времени обслуживания заявки, тогда обозначим1 1 11 1 1( ) ( ), 0 , ( )( ), .B bT t T B bT T t bT S t B bT t T bT t bT T ⎧ − - − - < ЎВ = ⎨ −- < ЎВ - ⎩Здесь S(t) - вероятность того, что заявка, поступившая в систему в момент времени t Ўф[0,bT1 -T ] , завершит свое обслуживание в момент времени, принадлежащий интервалу [bT1,bT1 -T ] .Будем полагать, что если событие входящего потока наступает в момент t, то с динамической (зависящей от момента времени t) вероятностью S(t) эта заявкапросеивается, то есть отправляется в просеянный поток, а с вероятностью 1 - S(t)не рассматривается.62 И.Л. Лапатин, А.А. НазаровОчевидно, что в просеянном потоке рассматриваются те заявки, которые формируют на интервале [bT1,bT1 -T ] события выходящего потока.Обозначим n(t) - число событий просеянного потока, наступивших до моментавремени t, то есть на интервале [0,t] .Если в начальный момент времени t0 = 0 система свободна, то число событийпросеянного потока к моменту времени bT1-T равно числу заявок, закончившихобслуживание на интервале [bT1,bT1 -T ] , то есть выполняется равенствоn(bT1 -T) = m(T,bT1) , (1)где m(T,bT1) - число событий выходящего потока рассматриваемой системы, наступивших на интервале [bT1,bT1 -T ] .При условии, что в начальный момент времени t0 = 0 система свободна, рассматривается переходной режим функционирования системы и нестационарныйвыходящий поток.Для исследования стационарного выходящего потока будем полагать, что T1, тогда функционирование системы массового обслуживания определяетсяфинальным распределением и стационарным режимом.Если предлагаемый просеянный поток является марковизируемым, то можнозаписать систему дифференциальных уравнений Колмогорова для многомерногораспределения вероятностей и, найдя его решение, получить одномерное маргинальное распределение вероятностей для числа событий, наступивших в просеянном потоке за время t. А затем, применив равенство (1), найти распределениевероятностей числа событий выходящего потока, наступивших в интервале[bT1,bT1 -T ] как в переходном режиме функционирования СМО при конечных T1, так и в стационарном режиме, полагая T1.3. Исследование выходящего потока системы GI GI Рассмотрим систему массового обслуживания с неограниченным числом приборов, на вход которой поступает рекуррентный поток заявок, определяемыйфункцией распределения A(x) длин интервалов между моментами наступления его событий. Время обслуживания поступающих заявок будем считать случайным, с функцией распределения B(x), одинаковой для всех заявок.Обозначим z(t) - длину интервала от момента t до момента наступления следующего события в рекуррентном потоке, n(t) - число событий просеянного потока, наступивших к моменту времени t.Будем исследовать двумерный марковский процесс {z(t), n(t)}.Для распределенияP(z,n,t) = P{z(t) < z,n(t) = n}можно записать следующие равенства: ( ,, ) (,,) ( ,,)(1 ( )) ( , , ) ( ) ( ) ( , 1, ) ( ) ( ).P z t n t t P z n t P t n t S t P t n t A z S t P t n t A z t −ҐД -ҐД = − ҐД - − ҐД - ҐД − -Ґп ҐД Откуда получим систему дифференциальных уравнений КолмогороваP(z,n,t) P(z,n,t) P(0,n,t) P(0,n 1,t)S(t)A(z) P(0,n,t)(1 S(t))A(z).t z z z z ЎУ ЎУ ЎУ ЎУ − ЎУ= − - - −ЎУ ЎУ ЎУ ЎУ ЎУ(2)Исследование выходящего потока 63Обозначив0( , , ) jun ( , , )nH z u t e P z n t ЎД= ҐТ , (3)где j = −1 - мнимая единица, из системы (2) получим уравнение для функцийH(z,u,t)H(z,u,t) H(z,u,t) {1 A(z)[(e ju 1)S(t) 1]} H(0,u,t)t z z ЎУ ЎУ ЎУ= − − − ЎУ ЎУ ЎУ. (4)3. Асимптотика растущего времени обслуживаниядля исследования выходящего потока системы GI GI Будем полагать, что B(x)=B1(x/b), где B1(x) - заданная функция распределенияслучайной величины с единичным математическим ожиданием.Обозначим Ґе = 1/ b , в уравнении (4) выполним заменыҐу = Ґеt , H(z,u,t) = F(z,u, Ґу,Ґе) , S(t) = S1(Ґу,Ґе) , (5)где 1 1 1 1 111 1 1 1( ) ( ), 0 , ( , )( ), .B T T B T T S B T T T T T ⎧ − Ґу - Ґе − − Ґу < Ґу ЎВ Ґу Ґе = ⎨ − Ґу - Ґе < Ґу ЎВ - Ґе ⎩Полагая, что функция B1(x) дважды дифференцируема, вероятность S1(Ґу,Ґе)можно записать в виде21 1 11 21 1' ( ) ( ), 0 , ( , )( ), .TB T T S T T T ⎧⎪Ґе − Ґу -ҐП Ґе < Ґу ЎВ Ґу Ґе = ⎨⎩⎪ҐП Ґе < Ґу ЎВ - Ґе (6)Тогда для F(z,u, Ґу, Ґе) получим уравнение1F(z,u, , ) F(z,u, , ) {1 A(z)[(e ju 1)S ( , ) 1]} F(0,u, , )z z ЎУ ҐуҐе ЎУ ҐуҐе ЎУ ҐуҐе Ґе = − − − Ґу Ґе ЎУҐу ЎУ ЎУ. (7)Теорема 1. Предельное, при ҐеЎж0 , значение F(z,u,ƒ) решения F(z,u, Ґу, Ґе)уравнения (7) имеет вид { } 1 1 1 10( , , ) 1 exp 1 ( 1)[ ( ) ( )] (1 ( ))zF z u T e ju B T B T A y dy a a Ґу = − − − Ґу Ўт − , (8)где величина a определена равенством0a (1 A( y))dyЎД= Ўт − . (9)Доказательство. В уравнении (7) выполним предельный переход при ҐеЎж0 , обозначив0limҐеЎжF(z,u, Ґу,Ґе) = F(z,u, Ґу) , получим, что F(z,u,ƒ) является решениемобыкновенного дифференциального уравнения первого порядкаF(z,u, ) F(0,u, ) (1 A(z))z z ЎУ Ґу ЎУ Ґу = −ЎУ ЎУ, (10)поэтому его решение имеет вид 64 И.Л. Лапатин, А.А. Назаров0( , , ) (0, , ) (1 ( ))F u z F z u A y dy z ЎУ Ґу Ґу = −ЎУ Ўт . (11)Заметим, что F( ,u, ) F(0,u, ) a z ЎУ Ґу ЎД Ґу ЎУ, (12)где a - среднее значение длины интервала между моментами наступления событий в рекуррентном потоке.Для нахождения функции F(0,u, )zЎУ Ґу ЎУв уравнении (7) устремим z, а затем, учитывая равенство (6), поделим левую и правую части этого равенства на ƒ и, полагая ҐеЎж0 , получим1F( ,u, ) TB'(T )(e ju 1) F(0,u, )zЎУ ЎД Ґу ЎУ Ґу = −Ґу −ЎУҐу ЎУ.Подставляя (11) в это равенство, получим обыкновенное дифференциальноеуравнение по ƒ относительно ЎУF(0,u, Ґу) / ЎУz : { } 1F(0,u, ) a TB'(T )(e ju 1) F(0,u, )z z ЎУ ЎУ Ґу ЎУ Ґу = −Ґу −ЎУҐу ЎУ ЎУ, (13)откуда найдем общее решение ЎУF(0,u, Ґу) / ЎУz в виде10F(0,u, ) C exp 1 T(e ju 1) B'(T x)dxz a ЎУ Ґу ⎧⎪ Ґу ⎪⎫ = ⎨ − − ⎬ ЎУ ⎩⎪ ⎭⎪Ўт . (14)Подставляя (14) в решение (11), найдем решение F(z,u, Ґу) уравнения (10), удовлетворяющее условию нормировки F(ЎД,0, Ґу) = 1: { }0( , , ) 1 exp 1 ( 1) ( ) (1 ( ))zF z u T e ju B A y dy a a Ґу = − Ґу Ўт − . (15)Полученное равенство (15) совпадает с равенством (8).Теорема доказана.В равенстве (15) выполним предельный переход при z Ўж ЎД , учитывая( , , ) ( , ) z F z u F u ЎжЎД Ґу ⎯⎯⎯Ўж Ґу , и получим функцию F(u, Ґу) : { } 1 1 1 1F(u, ) exp 1 T(e ju 1)[B (T ) B (T )]aҐу = − − − Ґу . (16)В силу замен (5) и равенства (16), можно записать асимптотическое, при ҐеЎж0 , приближенное равенство{ } { } 1 1 1 1 1 1(,) ( , ,) (, , ) (, )exp 1 ( ju 1)[ ( ) ( )] exp 1 ( ju 1)[ ( ) ( )] , H u t H u t F u F u T e B T B T T e B bT B bT t a a = ЎД = Ґу Ґе ≈ Ґу = − − − Ґу = − − −поэтому для характеристической функции величины n(t) запишемMe jun(t) H(u,t) exp{(e ju 1) 1 TB(t)}a= ≈ − . (17)Исследование выходящего потока 65При t = bT1 получим( 1) ( 1, ) { }1Me jun bT Me jum bT T exp (e ju 1) 1 TB(bT )a= ≈ − , устремляя в котором T1 ЎжЎД для характеристической функции величины m(T)получим( ) { }1Me jum T H(u,bT ) exp (e ju 1) 1 T a = ≈ − . (18)Таким образом, мы получили, что в условиях растущего времени обслуживания число обслуженных заявок в системе GI GI  за время T имеет распределение Пуассона с параметром T/a , где a - среднее значение длины интервала междумоментами наступления событий в рекуррентном потоке. Следовательно, выходящий поток этой системы в условиях растущего времени обслуживания являетсяпростейшим, интенсивность которого в стационарном режиме функционированиясистемы массового обслуживания естественно совпадает с интенсивностью 1/aвходящего потока.ЗаключениеВ данной работе был предложен метод, позволяющий исследовать выходящиепотоки немарковских систем с неограниченным числом приборов. Применив его для исследования системы с рекуррентным входящим потоком получили, что в условиях растущего времени обслуживания выходящий поток является простейшим.

Скачать электронную версию публикации