Exotic call options with guaranteed income and limitedpayment in the diffusion (B,P)-bond market in case of Hull-White model.pdf Опцион на финансовых рынках является одной из наиболее распространенныхвторичных (производных) ценных бумаг, поскольку дает право, а не обязанность,предъявить его к исполнению [1 - 5]. Покупатель опциона приобретает право покупки или продажи оговоренного в контракте базисного актива по оговореннойцене, а продавец опциона (эмитент, инвестор) за премию, которая является ценойопциона, обязан исполнить требование владельца опциона при предъявлении опциона к исполнению. В первом случае имеем опцион купли (call option), а во втором - опцион продажи (put option). Если платежное обязательство характеризуется только ценой базисного актива в момент исполнения опциона и ценой исполнения, то такие опционы являются стандартными.Развитие финансовых рынков потребовало использования более сложных пла-тежных обязательств, учитывающих, с одной стороны, желание обладателя оп-циона иметь гарантированный доход, а с другой - желание инвестора ограничитьвыплаты по опционам, что породило класс экзотических опционов [6, 7]. Эта про-блематика достаточно исследована, когда в качестве базисного актива использу-ется акция ((B, S)-рынок), и является малоисследованной, когда в качестве базис-ного актива используется облигация ((B, P)-рынок). В данной работе представля-ется исследование трех видов экзотических опционов купли Европейского типа надиффузионном (B, P)-рынке облигаций на основе опосредованного подхода: двухопционов с гарантированным доходом, которые дают преимущество владельцуопциона; опциона с ограничением выплат, который дает преимущество продавцуопциона.Используемые обозначения: E{·} - математическое ожидание; P{·} - вероят-ность события; N{b;D} - нормальная (гауссовская) плотность с параметрами bи D;( )1exp2 ( ) ; ( )1exp22 2 2 2x x zdz x z dz z z− −⎧ ⎫ ⎧ ⎫ƒ = ⎨− ⎬ = ƒ ƒ = ⎨− ⎬ƒ ⎩ ⎭ ƒ ⎩ ⎭   . (1)14 Н.С. Демин, В.В. Толстобоков1. Постановка задачиВ теории облигаций используются два основных подхода к заданию стоимостиоблигации - опосредованный и прямой [2]. В случае опосредованного подходастоимость облигации определяется через краткосрочную процентную ставку, а вслучае прямого, известного как модель Хиса-Джерроу-Мортона (HJM-модель) [8],через форвардную процентную ставку. В данной работе используется опосредо-ванный подход.Рассмотрение задачи ведется на стохастическом базисе (ƒ, F, (Ft)t≥0, P) [2, 3].Следуя [2, 3, 9], введем следующие характеристики (B, P)-рынка облигаций.Стоимость B(t) в момент времени t банковского счета такова, что( ) ( )0exp ,tB t r s ds= ⎧⎨⎪ ⎪⎫⎬⎩⎪ ⎭⎪ (2)где r(t) - некоторый стохастический процесс процентной ставки. Основное пред-положение относительно процесса r(t) состоит в том, что это есть диффузионныйгауссовско-марковский процесс, описываемый стохастическим дифференциаль-ным уравнениемdr(t) = (a(t)−b(t)r(t))dt+d(t)dWt ,r(0) = r0, (3)где Wt - винеровский процесс, функции ƒ(t), ƒ(t), ƒ(t) - детерминированные функ-ции, причем( 2 )0( ) ( ) ( )T a t + b t +d t dt 0, K2 > 0, I[A] - индикатор события A, т. е. I[A]=1, если событие A проис-ходит и I[A]=0, если событие A не происходит.Согласно платежному обязательству (14), владелец опциона может всегдапредъявить его к исполнению, получая гарантированную выплату K2, еслиPT(T1) ≤ K1+K2, и выплату в размере PT(T1) - K1, если PT(T1)> K1+K2. Согласно пла-тежному обязательству (15), владелец опциона предъявляет его к исполнению16 Н.С. Демин, В.В. Толстобоковтолько при выполнении условия PT(T1)>K1. В результате владелец опциона полу-чает гарантированную выплату K2, если PT(T1)≤K1+K2, и выплату в размереPT(T1) - K1, если PT(T1)>K1+K2. Согласно платежному обязательству (16), еслиPT(T1) > K1, то покупатель опциона предъявляет его к исполнению и получает вы-плату в размере PT(T1) K1, если PT(T1)K1. Платежная функция (16) дает пре-имущество инвестору, т. к. ограничивает его выплаты по опциону величиной K2.Структура статьи следующая. В п. 2 вынесены основные результаты для оп-ционов купли, для которых получены формулы, определяющие цены опционов, атакже хеджирующие стратегии (портфели) и соответствующие им капиталы,обеспечивающие выполнение платежных обязательств. В п. 3 исследуются свой-ства решения.2. Основные результатыОбозначим( )1 2 1 2 111 1 11 2 2 1 2 112 1 1ln ( ) 1 ƒ ( ) ( )( ) 2( ) ,ƒ ( ) ( )ln ( ) 1 ƒ ( ) ( )( ) 2( )ƒ ( ) ( )T TtT TT TtT TK B t T B TP Td tT B TK K Bt T B TP Td tT B T⎡ ⎤⎢ ⎥+= ⎣ ⎦⎡ + ⎤⎢ ⎥+= ⎣ ⎦ ; (17)( )1 2 1 2 111 1 111 2 2 1 2 112 1 1ln ( ) 1 ƒ ( ) ( )( ) 2( ) ,ƒ ( ) ( )ln ( ) ( ) 1 ƒ ( ) ( )( ) 2( )ƒ ( ) ( )T TtT TtT TtT TK B t T B TP Ty tT B TK K BtPT T B TP Ty tT B T⎡ ⎤⎢ ⎥−= ⎣ ⎦⎡ + ⎤⎢ ⎥−= ⎣ ⎦ , (18)где1( 1) ( )( )TTTB T g u dug T=  , (19)1 112 2ƒ ( 1) ( ) ( )( )T TTT sT g uds dsg s⎛ ⎡ ⎤ ⎞=⎜⎜⎜⎝ ⎢⎢⎣ ⎥⎥⎦ ⎟⎟⎟⎠  , (20)0( ) exp ( )ugu bs ds= ⎧⎨⎪− ⎪⎫⎬⎩⎪ ⎭⎪ , (21)а d1, d2, y1, y2 определяются формулами (17), (18) при t = 0.Экзотические опционы купли на диффузионном (B,P)-рынке облигаций 17Теорема 1. В случае опциона купли с платежной функцией вида (14) стои-мость опциона max1CT , капитал max1Xt и портфель (хеджирующая стратегия)ƒtmax1 = (ƒtmax1,ƒtmax1) определяются формуламиmax1 1CT =P0(T)ƒ(−y2)−K1ƒ(−d2)+K2ƒ(d2); (22)max1 1Xt =Pt(T )ƒ(−y2(t))−K1B(t)ƒ(−d2(t))+K2B(t)ƒ(d2(t)); (23)max1 max1ƒt = ƒ(− y2(t)),ƒt = −K1ƒ(−d2 (t)) + K2ƒ(d2 (t)). (24)Доказательство. Согласно общей теории платежных обязательств на рынкеоблигаций [2, 3],Xt= B(t)E{B-1(Т)fT|Ft}, (25)11ƒ ( )ƒ , ƒ( ) ( )t t t tt ttX X PTpp P T Bt −= = =. (26)В соответствии с теорией расчетов на полных безарбитражных рынках и впредположении, что исходная вероятностная мера на (ƒ, F, (Ft)t≥0, P) являетсямартингальной, а также, что( , ) ( ) 1( ) exp ( )TtR t T B t B− T r s ds = = ⎧⎨⎪− ⎪⎫⎬⎩⎪ ⎭⎪ , (27)находим, используя (14), (25), чтоmax1 max1 { { 1 } }Xt =E{R(t,T)fT |Ft}=ER(t,T)maxPT(T)−K1,K2 |Ft ={ 1 1 } { 1 }=E I⎡⎣PT(T )>K1+K2⎤⎦R(t,T)PT(T )|Ft −K1E I ⎡⎣PT(T )>K1+K2⎤⎦R(t,T)|Ft +{ 1 }+K2E I⎡⎣PT(T )≤K1+K2⎤⎦R(t,T)|Ft. (28)Использование (9) дает, что события{ 1 } { 1 1 } { * }PT(T )>K1+K2 = AT(T )−r(T)BT(T )>ln(K1+K2) = r(T)≤r12 ; (29){ 1 } { 1 1 } { * }PT(T )≤ K1+K2 = AT(T )−r(T)BT(T )≤ln(K1+K2) = −r(T)≤−r12 , (30)где1* 1 212 1ln( ) ( )( )TTr K K A TB T+ −=−. (31)Пусть10 0ƒ ( ),ƒ ( ) ,ς ( )T T=r T =r u du =r u du. (32)Тогда из (28) - (30) находим, что{ { } } { { } }{ { } }max1 * *12 1 12*2 12ƒ exp ƒ| () ƒ exp ς |( ) ƒ exp ς | .t t ttX EI r F KBtEI r FK B t E I r F= ⎡⎣ ≤ ⎤⎦ − − ⎡⎣ ≤ ⎤⎦ − ++ ⎡⎣− ≤ − ⎤⎦ − (33)18 Н.С. Демин, В.В. ТолстобоковДля дальнейшего упрощения этой формулы полезной является следующаялемма из [2].Лемма. Пусть (X, Y) - гауссовская пара случайных величин с вектором сред-них значений (ƒX, ƒY) и матрицей ковариаций22ƒ ƒƒ ƒX XYXY Y⎛ ⎞⎜⎜ ⎟⎟⎝ ⎠. Тогда{ [ ]exp{ }} exp{1ƒ2 ƒ } ( )E I X≤x −Y = 2 Y− Y ƒx

Скачать электронную версию публикации