Рассматривается задача оптимальной оценки состояний асинхронного дважды стохастического потока с инициированием дополнительных событий(обобщенный асинхронный поток событий) с двумя состояниями, являющегося математической моделью информационных потоков заявок, функционирующих в телекоммуникационных сетях. Находится явный вид апостериорных вероятностей состояний потока. Решение о состоянии потока выносится по критерию максимума апостериорной вероятности. Приведены численные результаты, полученные с использованием расчетных формул иимитационного моделирования.
The optimal evaluation of states of the integrated asynchronousdoubly stochastic event flow.pdf В последние два десятилетия в связи с бурным развитием компьютерной тех-ники и информационных технологий появилась важная сфера приложений теориимассового обслуживания - проектирование и создание информационно-вычисли-тельных сетей, компьютерных сетей связи, спутниковых сетей связи, телекомму-никационных сетей и т.п., которые можно объединить единым термином - циф-ровые сети интегрального обслуживания (Integrated Service Digital Networks -ISDN). Вполне естественно, что это дало толчок к необходимости построения но-вых математических моделей входящих потоков событий, достаточно адекватноописывающих реальные информационные потоки, функционирующие в ISDN.Отметим, что одними из первых работ в этом направлении были статьи [1 - 3].Подчеркнем, однако, что в литературе по теории массового обслуживания и ееприложениям, в целом, как и в литературе, посвященной исследованию ISDN, вчастности, довольно незначительное количество работ посвящено адаптивнымсистемам обслуживания, т.е. системам, функционирующим в условиях полнойили частичной неопределенности. Более того, подавляющее число авторов рас-сматривают ситуации, когда все параметры, характеризующие входящий потоксобытий, априорно известны, хотя в реальных ситуациях дело обстоит, как прави-ло, иначе. На практике параметры, определяющие входящий поток событий, из-вестны либо частично, либо вообще неизвестны, либо (что ещё больше ухудшаетситуацию) они изменяются со временем, при этом изменения часто носят случай-ный характер, что приводит к рассмотрению дважды стохастических потоков со-бытий. С другой стороны, очевидно, что функционирование системы обслужива-ния непосредственно зависит от параметров входящего потока событий. Потокисобытий с интенсивностью, зависящей от времени и являющейся случайным про-цессом (дважды стохастические потоки событий), можно разделить на два класса.К первому классу относятся потоки с интенсивностью, являющейся непрерывнымслучайным процессом. Ко второму классу относятся потоки, у которых интенсив-34 А.М. Горцев, М.А. Леонованость есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным числом состоя-ний. Последние (потоки с переключениями или МС-потоки событий [1,2]) явля-ются наиболее характерными для реальных телекоммуникационных сетей. В своюочередь, в зависимости от того, каким образом происходит переход из состоянияв состояние, МС-потоки можно разделить на три типа: 1) синхронные дваждыстохастические потоки событий - потоки с интенсивностью, для которой переходиз состояния в состояние происходит в случайные моменты времени, являющиесямоментами наступления событий [4 - 6]; 2) асинхронные дважды стохастическиепотоки событий - потоки с интенсивностью, для которой переход из состояния всостояние происходит в случайные моменты времени и не зависит от моментовнаступления событий [7, 8]; 3) полусинхронные дважды стохастические потокисобытий - потоки, у которых для одного множества состояний справедливо 1, адля остальных состояний справедливо 2 [9 - 11]. Наконец, подчеркнем, что отме-ченные синхронные, асинхронные и полусинхронные потоки событий возможнопредставить в виде моделей МАР (Markovian Arrival Process) - потоков событий[12, 13] с определенными ограничениями на параметры последних [14]. При ис-следовании дважды стохастических потоков событий могут быть выделены двакласса задач: 1) задача фильтрации интенсивности потока (или задача оцениваниясостояний потока событий) по наблюдениям за потоком (по наблюдениям за мо-ментами наступления событий) [7, 15]; 2) задача оценивания параметров потокапо наблюдениями за моментами наступления событий [4 - 6, 8 - 11].Одними из первых работ по оценке состояний дважды стохастических пото-ков, по-видимому, являются [7, 16], в которых рассматривается асинхронныйдважды стохастический поток событий с двумя состояниями.В настоящей статье решается задача об оптимальной оценке состояний асин-хронного дважды стохастического потока с инициированием дополнительных со-бытий [17]. В данной статье находятся выражения для апостериорных вероятно-стей состояний обобщенного асинхронного потока событий. Решение о состояниипотока выносится по критерию максимума апостериорной вероятности, представ-ляющей наиболее полную характеристику состояния потока, которую можно по-лучить, располагая только выборкой наблюдений, и обеспечивающей минимумполной вероятности ошибки вынесения решения [18].1. Постановка задачиРассматривается асинхронный дважды стохастический поток с инициировани-ем лишних событий (далее обобщенный асинхронный поток), интенсивность ко-торого есть кусочно-постоянный случайный процесс (t) с двумя состояниями 1 и2 (1> 2). В течение временного интервала, когда (t) = i , имеет место пуассо-новский поток событий с интенсивностью i , i = 1, 2. Переход из первого состоя-ния процесса (t) во второе (из второго в первое) может осуществляться в произ-вольный момент времени. При этом длительность пребывания процесса (t) в i-мсостоянии распределена по экспоненцильному закону с параметром i , i = 1,2.При переходе процесса (t) из первого состояния во второе инициируется с веро-ятностью p (0 ≤ p ≤ 1) дополнительное событие во втором состоянии (т.е. сначалаосуществляется переход, а затем инициируется дополнительное событие). Наобо-рот, при переходе процесса (t) из второго состояния в первое инициируется с ве-Оптимальная оценка состояний 35роятностью q (0 ≤ q ≤ 1) дополнительное событие в первом состоянии. Очевидно,что в сделанных предпосылках (t) - марковский процесс. Вариант возникающейситуации показан на рис. 1, где 1, 2 - состояния случайного процесса (t);t1, t2,… - моменты наступления событий; t2, t6,… - моменты инициирования до-полнительных событий; t2 - момент инициирования с вероятностью p дополни-тельного события во втором состоянии; t6 - момент инициирования с вероятно-стью q дополнительного события в первом состоянии.121 2t11 2 1t2 t3 t4 t5 t6 t7 tПроцесс (t) tОбобщенный асинхронный поток. . .Рис. 1. Формирование обобщенного асинхронного потокаЕсли p = q = 0, то имеет место обычный асинхронный поток [8]. Так как пере-ходы процесса (t) из состояния в состояние не привязаны к моментам наступле-ния событий пуассоновских потоков, то в названии потока присутствует слово«асинхронный». Так как процесс (t) и типы событий (события пуассоновских по-токов и дополнительные события) являются ненаблюдаемыми, а наблюдаемымиявляются только временные моменты наступления событий t1, t2,…, то необходи-мо по этим наблюдениям оценить состояние процесса (потока) (t) в моментокончания наблюдений.Рассматривается установившийся (стационарный) режим функционированияпотока событий, поэтому переходными процессами на интервале наблюдения(t0, t), где t0 - начало наблюдений, t - окончание наблюдений (момент вынесениярешения), пренебрегаем. Тогда без потери общности можно положить t0 = 0. Длявынесения решения о состоянии ненаблюдаемого процесса (t) в момент времениt необходимо определить апостериорные вероятности (i| t1,…, tm), i = 1, 2, того,что в момент времени t значение процесса (t)= i (m - количество наблюденныхсобытий за время t), при этом21=1( i| , ,m)=1.i t …t Решение о состоянии процесса(t) выносится путем сравнения апостериорных вероятностей: если (j| ti,…, tm) ≥≥ (i| ti,…, tm), i=1,2, ij, то оценка состояния процесса есть ˆ(t) = j .2. Вывод апостериорных вероятностей состояний потокаВывод уравнений для апостериорных вероятностей осуществим, используя из-вестную методику [18]: сначала рассмотрим дискретные наблюдения через рав-ные достаточно малые промежутки времени t, а затем совершим предельный пе-реход при стремлении t к нулю. Пусть время меняется дискретно с конечным36 А.М. Горцев, М.А. Леоновашагом t: t = kt, k = 0, 1,… Рассмотрим двумерный процесс ((k), rk), где(k) = (kt) - значение процесса (t) в момент времени kt ((k) = i, i = 1, 2),rk = rk(t) = r[kt] - r[(k-1)t] - число событий, наблюденных на временном ин-тервале ((k-1)t, kt) длины t, rk = 0,1,… Обозначим rm = (r0, r1,…, rm) - последо-вательность наблюденных событий за время от 0 до mt на интервалах((k - 1)t, kt) длительности t, k= 0,m (r0 - число наблюденных событий на ин-тервале (-t, 0); так как на этом интервале наблюдений не производится, то егоможно задать произвольно, например, r0 = 0); λ(m) = ((0),(1),…, (m)) - последова-тельность неизвестных (ненаблюдаемых) значений процесса (kt) в моментывремени kt, k= 0,m((0) = (0) = i , i = 1, 2). Обозначим через (λ(m), rm) совмест-ную вероятность значений λ(m), rm. Процесс ((k), rk) - марковский, что вытекает изсделанных предпосылок и его конструкции. Тогда совместная вероятность(λ(m), rm) представляется как произведение переходных вероятностей( ) (0) ( ) ( 1)0 1=1( , )= ( , ) ( , | , ),mm k km k kkr p r − rλ r −где p((k),rk | (k-1), rk-1) - вероятность перехода процесса ((kt), rk(t)) за один шагt из состояния ((k-1), rk-1) в состояние ((k), rk).Рассмотрим переходную вероятность( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( )( k, | k ,1)= ( k| k ,1) ( | k , 1, k).p rk − rk p − rk prk − rk − − − (1)Первый сомножитель в (1) запишется в виде ( ) ( 1) ( ) ( 1)( k| k , 1)= ( k| k )p − rk p − − ,так как на значение процесса (kt) в момент времени kt число наблюденных со-бытий rk-1 на полуинтервале [(k-2)t, (k-1)t) совершенно не влияет (процесс(kt) «живет своей жизнью»), значение же (k - 1) процесса ((k - 1)t) вмомент времени (k-1)t не зависит от предыстории в силу марковостипроцесса (t). Рассмотрим второй сомножитель в (1). Имеем, во-первых,( 1) ( ) ( 1) ( )( | k , 1, k)= ( | k , k )p rk − rk p rk − − , так как число событий rk , наблюденныхна полуинтервале [(k-1)t, kt), не зависит от числа событий rk-1 , наблюденныхна полуинтервале [(k-2)t, (k-1)t), в силу того, что потоки событий в обоих со-стояниях процесса (t) пуассоновские. Пусть rk = 0. Тогда, для (k-1) = 1, (k)= 1имеем( 1) ( )1 1( 1) ( ) ( 1) ( )1 1 1 1( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1)1 1 1 1 1( 1)1( 0| , )=( 0, , ) ( , )( | 0, )( 0| ) ( | )( 0| ).k kkk k k kkk k k k kk kkkp rp r pp r p r pp r−− −− − −−= = = = = = = = = == = = = = = = = == = =Аналогично находятся( 1) ( ) ( 1)1 2 1( 1) ( ) ( 1)2 1 2( 1) ( ) ( 1)2 2 2( 0| , )= ( 0| );( 0| , )= ( 0| );( 0| , )= ( 0| ).k k kk kk k kk kk k kk kp r p rp r p rp r p r− −− −− −= = = = = = = = = = = = = = =Оптимальная оценка состояний 37Итак, получаем ( 0| (k1), (k))= ( 0| (k1)).p rk= − p rk= − Подобным образом на-ходятся ( 1| (k1), (k))= ( 1| (k1)).p rk= − p rk= − Случаи rk = 2, 3,…, в силу ординар-ности наблюдаемого потока, имеют вероятность о(t).Окончательно имеем ( 1) ( ) ( 1)( | k , 1, k)= ( | k )p rk − rk p rk − − . Таким образом, пере-ходная вероятность (1) примет вид( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)( k, | k , 1)= ( k | k ) ( | k ).p rk − rk p − prk − − Обозначим ((k)| rk) - апостериорная вероятность того, что в момент времениt = kt состояние процесса (t) есть (k) (k = m,m+1; (k)= i, i = 1,2). Тогда, исполь-зуя результаты, приведенные в [15], и найденное выражение для переходной ве-роятности (1), получаем рекуррентную формулу для апостериорной вероятности((m+1)| rm+1):2( ) ( 1) ( ) ( )1( 1) ( )= 112 2( ) ( 1) ( ) ( )1( )=1( 1)=1( )( | )( | )( )=( )( | )( | )m m m mm mmmmm m m mm mm mp prp pr+++ + ++ + | r| r| r. (2)Совершим теперь предельный переход при t0 в рекуррентном соотноше-нии (2). Имеем( 1) ( 1) ( 1)(m | 1) = (m | 1( )) = ( m | )+ m + m t t + t t r+ r+ + + ,( (m)| )= ( (m)| ())= ( (m)|) rm rmt t.Положим для конкретности в (2) (m+1)= 1. Тогда (2) примет вид21 111 2 211 1( ) ( | ) ( | )( )= .( ) ( | ) ( | )s s m sss j s m sj st p p rt tt p p r+=+= = + |||(3)Сначала рассмотрим случай, когда на интервале (t, t+t) нет событий наблю-даемого потока (т.е. рассмотрим поведение апостериорной вероятности (1|t) наинтервале между наблюденными событиями, скажем, между моментами времениti-1 и ti).В силу определения обобщенного асинхронного потока ситуация, когда осу-ществляется переход процесса (t) из первого состояния во второе и дополни-тельное событие при этом не инициируется, имеет вероятность p(2|1) == (1-p)1t+o(t). Аналогичная ситуация, когда осуществляется переход процесса(t) из второго состояния в первое и дополнительное событие также не иницииру-ется, имеет вероятность p(1|2) = (1-q)2t+o(t). Так как в первом и второмсостояниях потоки пуассоновские, то p(rm+1=0|s) = 1 - st + o(t), s = 1, 2. Веро-ятности p(1|1) = 1 - 1t + o(t), p(2|2) = 1 - 2t + o(t). Подставляя все этивыражения в (3), находим числитель A0 и знаменатель B0 в (3):A0= (1− 1t− 1t)(1 |t) + (1−q)2t(2 |t) +o(t); (4)B0=1−t[(1+p1)(1 |t)+(2 +q2 )(2 |t)]+o(t). (5)38 А.М. Горцев, М.А. ЛеоноваПодставляя (4), (5) в (3) и учитывая при этом, что1B0− = 1+ t[(1+ p1)(1 |t)+(2 + q2 )(2 |t)]+o(t) ,получаем (с точностью до членов o(t))(1|t+ t) − (1|t) = −t(1 + 1)(1 |t) + t(1−q)2(2 |t) ++t(1|t)[(1+p1)(1|t) + (2+q2)(2|t)] +o(t).Деля левую и правую части последнего равенства на t, учитывая при этом,что (2|t)=1− (1|t), и переходя к пределу при t0, находим12 1 2 1 2 1( |)= (1 ) [ (1 2 ) ] ( | )d t q q tdt − − − + + − +2+(1− 2+p1−q2) (1|t). (6)Полученное дифференциальное уравнение (6) определяет поведение апостери-орной вероятности (1|t) на полуинтервале [ti-1 , ti), т.е. между моментами насту-пления событий, причем на правом конце полуинтервала имеет место значение(1|ti-0), на основе которого, как будет видно ниже, находится апостериорная ве-роятность (1|ti+0), являющаяся начальной для следующего полуинтервала[ti , ti+1).Рассмотрим случай наблюдения одного события (скажем, в момент времени ti)на интервале (t, t+t). В силу ординарности наблюдаемого потока вариантыrm+1=2,3,… имеют вероятность o(t). Рассмотрим два смежных интервала (t , ti),(ti , t+t). Длительность первого: ti-t = t', длительность второго: t + t - ti = t''.Тогда имеем (s|t) = (s|ti-t'), s = 1, 2; (1|t+t) = (1|ti+t'') и (3) примет вид21 111 2 211 1( ') ( | ) ( | )( )= .( ') ( | ) ( | )s i s m ssis i j s m sj st t p prt tt t p pr+=+= = − + − |||(7)Рассмотрим числитель А1 выражения (7):A1=(1|ti− t')p(1|1)p(rm+1|1)+ (2|ti − t')p(1|2)p(rm+1|2).Здесь возможны следующие варианты: 1) процесс (t) на интервале (t, t + t)не перешел во второе состояние и на этом интервале произошло событиепуассоновского потока с параметром 1 (вероятность этого варианта естьp(1|1) p(rm+1 = 1| 1) = (1-1t+o(t)) (1t+o(t))=1t+o(t)); 2) процесс (t) наинтервале (t, t+t) перешел из второго состояния в первое, при этом сыницииро-валось дополнительное событие и событие пуассоновского потока с параметром2 не произошло (вероятность этого варианта есть p(1|2) p(rm+1=0| 2) == (q2t + o(t)) (1 - 2t + o(t)) = q2t + o(t)). Другие варианты имеют веро-ятность о(t). Тогда А1 будет иметь видA1=t[1(1|ti− t')+q2(2|ti− t')] +o(t). (8)Аналогично находится выражение для знаменателя В1 выражения (7):B1=t[(1+p1)(1 |ti− t')+(2 +q2)(2 |ti− t')]+o(t). (9)Оптимальная оценка состояний 39Подставляя (8), (9) в (7), учитывая при этом, что (2|ti-t')=1-(1|ti-t'), и пе-реходя к пределу при t0 (t' и t'' одновременно стремятся к нулю), получаем2 1 2 112 2 1 2 1 2 1( )( | 0)( | 0)= , 1,2,...( )( | 0)iiiq q tt iq p q t + − − + = + + − + − −(10)Таким образом, в точке ti (момент наблюдения события) апостериорная веро-ятность (1|t) претерпевает разрыв (имеет место конечный скачок). В качественачального значения (1|t0+0) = (1|t0=0) можно выбрать априорную финальнуювероятность первого состояния процесса (t): 1 = lim 1(t) при t, для которойсправедлива система алгебраических уравнений: 11 - 22 = 0, 1 + 2 = 1. Откудаполучаем 1 = 2 /( 1+ 2).Решение дифференциального уравнения (6) на полуинтервале [ti , ti+1), такимобразом, будет зависеть от начального условия в момент времени ti , т.е. от(1|ti+0), i = 0, 1,… . Так как (t) - марковский процесс, то существует предел(1|t) при t, независящий от t и от начального условия: lim (1|t) = 1, приt. Тогда уравнение (6) при t примет вид:2 [ ](1−2+p1−q2) − 1−2+1+(1−2q)2 +(1−q)2= 0. (11)Корни уравнения (11) определяются после необходимых преобразований в виде[ ] 21 2 1 2 1 2 1 2 1 211 2 1 2(1 2 ) ( ) 4 (1 )(1 ),2( )q pqp q − + + − − − + − + − − = − + − (12)[ ] 21 2 1 2 1 2 1 2 1 221 2 1 2(1 2 ) ( ) 4 (1 )(1 ).2( )q pqp q − + + − + − + − + − − = − + − (13)В (12), (13) предполагается, что a = 1- 2+ p1 - q2 0, при этом 0 ≤ 1 < 1,2 ≥ 1 для a > 0; 0 < 1 ≤ 1, 2 ≤ 0 для a < 0. С учетом (12), (13) уравнение (6) вы-пишется в виде11 2 1 1 1 21 1 1 ( |)= .( |) ( |)d t adtt t⎡ ⎤ −⎢⎣ − − −⎥⎦ (14)Интегрируя (14) в пределах от ti до t, находим явный вид апостериорной веро-ятности (1|t):[ ] [ ][ ]2 12 1( )( )1 2 1 2 1 11 ( )( )2 1 1 1( | 0) ( | 0)( |)= ,( | 0) ( | 0)iia t ti ia t ti it t ett t e− − −− − − − + − − + − + − − +(15)где a определена в (12), (13), ti ≤ t < ti+1 , i = 0,1,…Формулы (10), (15) позволяют сформулировать алгоритм расчета апостериор-ной вероятности (1|t) и алгоритм принятия решения о состоянии процесса (t) влюбой момент времени t:1) в момент времени t0 = 0 задается (1|t0+0) = (1|t0=0) = 1;2) по формуле (15) рассчитывается вероятность (1|t) в любой момент време-ни t (0 ≤ t < t1), где t1 - момент наблюдения первого события потока;3) по формуле (15) рассчитывается (1|t) в момент времени t1 ((1|t1) == (1|t1-0)), затем по формуле (10) производится пересчет апостериорной веро-ятности в момент времени t = t1, при этом (1|t1+0) является начальным условиемдля (1|t) на следующем шаге алгоритма;40 А.М. Горцев, М.А. Леонова4) по формуле (15) рассчитывается апостериорная вероятность (1|t) для лю-бого t (t1 ≤ t < t2), где t2 - момент времени наступления второго события потока ит.д.Параллельно по ходу вычисления апостериорной вероятности (1|t) в моментвремени t выносится решение о состоянии процесса (t): если (1|t) ≥≥ (2|t) ((1|t) ≥ 1/2), то оценка ˆ(t) = 1 , в противном случае 2 ˆ(t) = и т.д.3. Частные и особые случаиПредставляет интерес рассмотреть частные случаи соотношения параметровi, i , i = 1,2, p, q, при a 0.1. 1+q1 = 2+p2 , p q. Тогда 1 = 1 = 2/(1+2), 2 = (1-q)/(p-q),[ ] [ ][ ]( )1 2 1 2 1 11 ( )2 1 1 1( | 0) ( | 0)( |)= ,( | 0) ( | 0)iib t ti ib t ti it t ett t e− −− − − + − − + − + − − +(16)где b = (1-q) 1+(1-p) 2 , ti ≤ t < ti+1 , i = 0,1,…2 1 2 112 2 1 2 1( )( | 0)( | 0) = , 1, 2,...( )( )( | 0)iiiq q tt iq p q t + − − + = + + + − −(17)Так как (1|t0 +0) = 1 ,то из (16) следует, что (1|t) = 1 для t0 ≤ t ≤ t1 , т.е.(1|t1-0) = 1. Тогда из (17) вытекает, что (1|t1+0) = 1 и т.д.Таким образом, имеем (1|t) = 1 для t ≥ t0 . Последнее говорит о том, что притаком соотношении параметров информация о моментах наступления событий t1,…, tm не оказывает влияния на апостериорную вероятность (1|t), т.е. в конечномитоге не влияет на качество оценивания состояний процесса (t). Решение о томили ином состоянии обобщенного асинхронного потока выносится на основанииаприорных данных.2. 1+q1 = 2+p2 , p = q. Тогда дифференциальное уравнение (6) примет вид1 [ ]1 2 1 1( |)= (1 )( ) ( | ) ,d t q tdt − + − его решение есть[ ] (1 )( 1 2)( )(1|)= 1 (1| 0) 1 q t ti , t + ti + − e− − + − (18)ti ≤ t < ti+1 , i = 0,1,… Формула пересчета (10) примет вид2 1 2 112 2( )( | 0)( | 0)= i , 1,2,....iq q tt iq + − − + = + (19)Так как (1|t0+0) = 1, то из (18) следует, что (1|t) = 1 (t0 ≤ t ≤ t1), т.е.(1|t1-0) = 1. Тогда из (19) вытекает, что (1|t1+0)=1 и т.д. Таким образом, по-лучаем (1|t)=1 для t ≥ t0 (результат, аналогичный результату первого частногослучая).3. Подкоренное выражение в (12), (13) равно нулю. Данная ситуация возможнав двух случаях:3.1. a >0, p = 1, 0 ≤ q < 1, 1 - 2 = 2 - 1. Тогда дифференциальное уравнение(6) может быть представлено как1 [ ]22 1( |)= (1 ) 1 ( | ) ,d t q tdt − − Оптимальная оценка состояний 41его решение есть[ ][ ]1 2 112 1( | 0) (1 ) 1 ( | 0) ( )( |)= ,1 (1 ) 1 ( | 0) ( )i i ii it q t t ttq t t t + + − − + − + − − + −(20)ti ≤ t < ti+1 , i = 0,1,… . Формула пересчета (10) выпишется в виде2 1 2 112 2 2 1( )( | 0)( | 0)= , 1,2,...(1 ) ( | 0)iiiq q tt iq q t + − − + = + + − −Здесь формула (20) не вытекает из формулы (15) для общего случая.3.2 a < 0, q = 1, 0 ≤ p < 1, 1 - 2 = 2 - 1. Тогда дифференциальное уравнение(6) будет иметь следующий вид:1 21 1( |)= (1 ) ( | )d t p tdt − − ,его решение есть111 1( | 0)( |)=1 (1 ) ( | 0)( )ii ittp t tt + + − + −, (21)ti ≤ t < ti+1 , i = 0,1,… . Формула пересчета (10) выпишется в виде2 1 2 112 2 1 1( )( | 0)( | 0)= , 1,2,...(1 ) ( | 0)iiitt ip t + − − + = + − − −Здесь также формула (21) не вытекает из формулы (15) для общего случая.4. 1 - 2 + 1 + (1 - 2q)2 = 0, 0 ≤ q < 1. Данное соотношение параметров имеетместо только для a < 0. Тогда дифференциальное уравнение (6) примет вид1 [ ] 22 1 2 1( |)=(1 ) (1 ) (1 ) ( |),d t q p q tdt − − − + − его решение есть( )1 11 ( )1 1( | 0) ( | 0)( |)= ,( | 0) ( | 0)iid t ti id t ti ic t c t et cc t c t e− −− − + + −⎡⎣ − + ⎤⎦+ + +⎡⎣ − + ⎤⎦(22)где c= (1−q)2 [(1−p)1+(1−q)2], d= 2(1−q)2 c, ti ≤ t < ti+1 , i = 0, 1,…Формула пересчета (10) примет вид[ ]2 1 2 112 2 1 2 1( )( | 0)( | 0) = , 1,2,...(1 ) (1 ) ( | 0)iiiq q tt iq p q t + − − + = + − − + − −Здесь формула (22) не вытекает из формулы (15) для общего случая.5. 1- 2+1 +(1-2q)2 = 0, 0 ≤ p < 1, q = 1. Данный частный случай полностьюсовпадает с частным случаем 3.2.6. 12 = pq12 , 0 < p ≤ 1, 0 < q ≤ 1, 2 0, 1 q1. Последнее ограничение вы-текает из того, что отмеченная связь параметров влечет за собой равенствоa = (1/1)(1-q2)(1+p1). Тогда a 0, если 1 q2. Для расчета апостериорнойвероятности (1|t) справедлива формула (15). Формула пересчета (10) при этомприобретает вид(1|ti +0) =1(1+p1) , i =1, 2,... (23)Таким образом, в данном частном случае апостериорная вероятность (1|t) независит от предыстории. Изучим смысл апостериорной вероятности (23). Обозна-42 А.М. Горцев, М.А. Леоновачим (А, (0) = 1) - событие, заключающееся в том, что в момент времени = 0событие обобщенного асинхронного потока наступило и процесс () в момент = 0 находится в первом состоянии. Обозначим (А, (0) = 1, (-) = s) - собы-тие, заключающееся в том, что в момент времени = 0 событие обобщенногоасинхронного потока наступило, процесс () в момент = 0 находится в первомсостоянии, а в момент времени = - процесс (t) находился в s-м состоянии(s = 1, 2). Так как рассматривается стационарный режим функционирования пото-ка, то вероятность события (А, (0) = 1) запишется в видеP(А, (0) = 1) = P( (-) = 1) P(A, (0) = 1 | (-)= 1) ++ P( (-) = 2) P(A, (0) = 1 | (-)= 2).Учитывая, что P( (-) = 1) = 1, P( (-) = 2) = 2 =1- 1, и принимаяво внимание, что, с точностью до членов о(), P(A, (0) = 1 | (-) = 1) == 1 +о(), P(A, (0) = 1 | (-)= 2) = q2+o(), находимP(А, (0) = 1) = 11 + 2q2 + о().Аналогично имеемP(А, (0) = 2) = 22 + 1p1 + о().Тогда, используя формулу Байеса, находим апостериорную вероятность того,что в момент времени =0 процесс () находится в первом состоянии при усло-вии, что в момент =0 наступило событие обобщенного асинхронного потока, ввиде2 1 11 1 2 11 2 2 2 1 1( )( (0) | ) , 1 .( ) ( )P A qp q + = = = = − + + +
Горцев А.М., Ниссенбаум О.В. Оценивание длительности мертвого времени и параметров асинхронного альтернирующего потока событий с инициированием лишнего события // Вестн. Томск. гос. ун-та. 2004. № 284. С. 137 - 145.
Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание параметров асинхронного потока с инициированием лишних событий методом моментов // Вестник ТГУ. Приложение. 2006. № 18. С. 267 - 273.
Горцев А.М., Ниссенбаум О.В. Оценивание длительности мертвого времени и параметров асинхронного альтернирующего потока событий при непродлевающемся мертвом времени // Изв. вузов. Физика. 2005. №10. С.35 - 49.
Горцев А.М., Паршина М.Е. Оценивание параметров альтернирующего потока событий в условиях «мертвого времени» // Изв. вузов. Физика. 1999. № 4. С. 8 - 13.
Горцев А.М., Завгородняя М.Е. Оценка параметров альтернирующего потока событий при условии его частичной наблюдаемости // Оптика атмосферы и океана. 1997. Т. 10. № 3. С. 273 - 280.
Горцев А.М., Шмырин И.С. Оптимальная оценка состояний дважды стохастического потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов времени // Автоматика и телемеханика. 1999. № 1. С. 52 - 66.
Хазен Э.М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления. М.: Сов. радио, 1986. 256с.
Васильева Л.А., Горцев А.М. Оценивание параметров дважды стохастического потока событий в условиях его частичной наблюдаемости // Автоматика и телемеханика. 2002. № 3. С. 179 - 184.
Горцев А.М., Леонова М.А., Нежельская Л.А. Оптимальная оценка состояний асинхронного дважды стохастического потока с инициированием лишних событий // Массовое обслуживание: потоки, системы, сети: материалы Междунар. науч. конф. «Современные математические методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей», Минск, 26 - 29 янв. 2009. Вып. 20. Минск: РИВШ, 2009. С. 90 - 96.
Бушланов И.В., Горцев А.М. Оптимальная оценка состояний синхронного дважды стохастического потока событий // Автоматика и телемеханика. 2004. № 9. С. 40 - 51.
Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оптимизация параметров адаптера при наблюдениях за МС-потоком // Стохастические и детерминированные модели сложных систем: Сб. статей. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1988. С. 20 - 32.
Machihara F.A. A MAP/SM/1 queue with service times depending on the arrival process // Symposium on Perfomance Models for Information Communication Networks: Proc. Conf., Tokyo. 1997. P. 180 - 191.
Василевская Т.П., Завгородняя М.Е., Шмырин И.С. О соотношении моделей МАР- потока событий и асинхронного, полусинхронного и синхронного дважды стохастиче- ских потоков событий // Вестник ТГУ. Приложение. 2004. № 9(II). С. 138 - 144.
Горцев А.М., Нежельская Л.А. Полусинхронный дважды стохастический поток событий при продлевающемся мертвом времени // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13. №1. С. 31 - 34.
Lucantoni D.M., Neuts M.F. Some steady-state distributions for the MAP/SM/1 queue // Communications in Statistics Stochastic Models. 1994. V. 10. P. 575 - 598.
Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание периода мертвого времени и параметров полусинхронного дважды стохастического потока событий // Измерительная техника. 2003. № 6. С. 7 - 13.
Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание параметров полусинхронного дважды стохастического потока событий методом моментов // Вестник ТГУ. Приложение. 2002. № 1(I). С. 18 - 23.
Васильева Л.А, Горцев А.М. Оценивание длительности мертвого времени асинхронного дважды стохастического потока событий в условиях его неполной наблюдаемости // Автоматика и телемеханика. 2003. № 12. С. 69 - 79.
Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оптимальная нелинейная фильтрация марковского потока событий с переключениями // Техника средств связи. Сер.: Системы связи. 1989. Вып. 7. С. 46 - 54.
Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание длительности «мертвого времени» и интенсивностей синхронного дважды стохастического потока событий // Радиотехника. 2004. № 10. С. 8 - 16.
Бушланов И.В., Горцев А.М., Нежельская Л.А. // Оценка параметров синхронного дважды стохастического потока событий // Автоматика и телемеханика. 2008. № 9. С. 76 - 93.
Башарин Г.П., Кокотушкин В.А., Наумов В.А. О методе эквивалентных замен расчета фрагментов сетей связи. Ч.1 // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1979. № 6. С. 92 - 99.
Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценка параметров синхронного альтернирующего пуассоновского потока событий методом моментов // Радиотехника. 1995. № 7 - 8. С. 6 - 10.
Neuts M.F. A versatile Markov point process // J. Appl. Probab. 1979. V. 16. P. 764 - 779.
Башарин Г.П., Кокотушкин В.А., Наумов В.А. О методе эквивалентных замен расчета фрагментов сетей связи. Ч.2 // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. № 1. С. 55 - 61.
Вы можете добавить статью