Ruin probability of an insurance company under double stochasticpayment current.pdf Классическая модель страховой компании [1] строится в предположении, чтоосновные характеристики, определяющие изменение капитала страховой компа-нии: скорость поступления денежных средств c и интенсивность потока страхо-вых выплат ƒ , - не зависят от времени. Однако эти характеристики могут изме-няться за счет, например, сезонных изменений. Такая ситуация наблюдается, в ча-стности, при страховании автотранспорта за счет изменения погодных условий ит.д. Характерной чертой при этом является то, что интенсивность потока страхо-вых выплат скачкообразно меняет свое значение в случайные моменты времени.В данной работе находятся такие характеристики функционирования страховойкомпании, как вероятность ее разорения и условное среднее значение времени доразорения, когда моделью потока страховых платежей является дважды стохасти-ческий пуассоновский поток [2] с переменной интенсивностью ƒ(t) .1. Математическая модель страховой компанииИтак, будем считать, что интенсивность потока страховых платежейƒ(t) является однородной цепью Маркова с непрерывным временем и n состоя-ниями ƒ(t) = ƒi [3]. Переход из состояния в состояние задаётся матрицей инфи-нитезимальных характеристик ij Q= ⎡⎣q ⎤⎦ ранга n −1. Таким образом, переход изсостояния i в состояние j за малое время ƒt имеет вероятностьPij(ƒt)=qijƒt+ƒ(ƒt), i j; (1)Pii(ƒt)=1+qiiƒt+ ƒ(ƒt), i= 1,n,где qij ≥ 0 при i j и10nijjq=ƒ =. (2)1 Работа выполнена в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научногопотенциала высшей школы» (2009 - 2010 годы), проект № 4761.Вероятность разорения страховой компании 67Обозначим Pi(t)=P{ƒ(t)=ƒi},i =1,n. Если управляющая цепь является не-разложимой, то существуют финальные вероятностиi tlim i( )P tƒ = ,которые являются решением системы уравнений10nji jjq=ƒ ƒ =; (3)ƒ1+ ƒ2+ ... + ƒn = 1. (4)Обозначим далее через ƒ0 среднюю интенсивность потока страховых выплатв стационарном режиме01ni ii=ƒ =ƒƒ ƒ. (5)Будем считать, что страховые выплаты являются независимыми случайнымивеличинами с плотностью распределения ƒ ( x) , средним значением M {x} =a имоментами { k} , 2,3M x =ak k= .Наконец, в соответствии с классической моделью страховой компании будемсчитать, что страховые премии поступают непрерывно во времени с постояннойскоростью c , так что за время ƒt приращение капитала за счет страховых премийравно cƒt .Пусть S(t) - капитал компании в момент времени t . Если значение интен-сивности потока выплат в момент времени t ƒ (t ) = ƒi , то изменение капиталаƒS(t) компании за время ƒt определится соотношением( ) ( ) ( )( )( ) ( ), с вероятностью1 ,, с вероятностью ,iic t t o tS t S t t S tc t x t x dx o tƒ −ƒ ƒ + ƒ ⎧ ƒ = +ƒ − =⎨⎩ ƒ− ƒƒ ƒ + ƒ(6)где x - случайная страховая выплата за время ƒt . Переходя в (6) к пределу приƒt  0 и усредняя, получим, что изменение среднего капитала компании S(t)определится уравнением( ) ( )1ni iiS t c P t a=

Скачать электронную версию публикации