Asymptotic and nonasymptotic properties of Hodges - Lehmann adaptiveestimators.pdf Оценка Ходжеса - Лемана (HL-оценка), предложенная в [1], среди большогочисла оценок параметра положения случайной величины, принадлежит к группелидеров по многим характеристикам. Для нормальной модели её абсолютная эф-фективность AЭ(ƒ,HL) = 0,955 , то есть она проигрывает оптимальному выбо-рочному среднему X менее 5 % в эффективности. Оценка Ходжеса - Лемана яв-ляется B-робастной, её функция влияния ограничена и, следовательно, она «за-щищена» от наличия выбросов в выборке, её чувствительность к грубым ошибкамконечна и равна ƒ∗(ƒ,HL)= ƒ ≈1,77, её предел устойчивости достаточно высоки равен ƒ∗(HL)=0,29 (см., например [3]). В сравнении с этими характеристика-ми HL-оценки, выборочное среднее X , являясь оптимальной оценкой параметрасдвига ƒ нормального распределения, имеет абсолютную эффективностьAЭ(ƒ,X)=1, однако она теряет свойства оптимальности даже при небольшихотклонениях от нормального распределения, её функция влияния неограниченна иƒ∗(ƒ,X)=,ƒ∗(X)=0. Традиционно используемая альтернативная оценка па-раметра сдвига ƒ в виде выборочной медианы X1/ 2 является B-робастной, имеетмаксимально возможный предел устойчивости ƒ∗(X1/ 2)=1/2, однако её абсо-лютная эффективность при нормальном распределении очень низкая и равнаAЭ(ƒ,X1/ 2)=0,637. Изучение характеристик HL-оценок в различных супермо-делях, описывающих отклонения от нормального распределения в сторону «утя-желения хвостов» распределений показало, что свойства HL-оценок могут бытьсущественно улучшены путем различных модификаций этих оценок (см. [5, 9]),что и послужило основой для построения адаптивных оценок модифицированныхвариантов оценки Ходжеса - Лемана.В работе [9] показано, что модифицированные оценки Ходжеса - Лемана вхо-дят в класс обобщенных L-оценок, асимптотические свойства которых описаны в[10]. В данной работе рассматриваются адаптивные оценки для обобщенных ва-Свойства адаптивных оценок Ходжеса - Лемана в асимптотике 97риантов оценок Ходжеса - Лемана. Изучаются свойства оценок в асимптотике иметодом статистических испытаний при конечных объемах выборки.1. Модифицированные варианты оценок Ходжеса - ЛеманаПусть X1,..., Xn - последовательность н.о.р. случайных величин с функциейраспределения F(x− ƒ). Предполагаем, что ф.р. F непрерывна, симметрична, тоесть F  ℑS ={F:F(x)=1−F(−x),xR1} и имеет плотность f (x), x  R1 .Оценка Ходжеса - Лемана параметра сдвига ƒ определяется в виде медианы сред-них Уолша (Xi+Xj)/2, 1 ≤i< j≤n, общее число которых равно n(n+1)/2, изаписывается в видеHL=med{(Xi+Xj) / 2, 1 ≤i≤ j≤n}, (1)где символ «med» обозначает выборочную медиану. Свойства HL-оценки хорошоизучены как в асимптотике, так и при конечных объемах выборки, и подробноописаны в литературе (см., например, [1 - 3]). Для описания модифицированныхоценок Ходжеса - Лемана обозначим через X(1) ,..., X(n) упорядоченную статисти-ку выборки X1,..., Xn , и пусть X([ƒn]+1) ,...,X(n−[ƒn]) обозначает ƒƒ-урезанную вы-борку, ƒ и ƒ заданные пропорции урезания выборки, причем 0≤ ƒ,ƒ ≤1/2. Обо-значим через Cƒƒ множество m -наборов индексов (i1,...,im ) , удовлетворяющихусловию {[ƒn]+1≤i1

Скачать электронную версию публикации