Distribution density of non-profit fund's capital for Poisson's model under hysteresis control..pdf Под некоммерческим фондом понимается организация, созданная для сбора и распределения денежных средств без получения прибыли. К некоммерческим фондам могут быть отнесены, в частности, все государственные внебюджетные фонды РФ. Построению и исследованию моделей некоммерческих фондов посвящены, например, работы [1 - 5], в которых исследуются характеристики математической модели деятельности фонда при различных предположениях о потоках поступающих в фонд платежей (премий) и выплат из фонда. В настоящей работе задача решается в предположении, что потоки поступающих в фонд премий и выплат из фонда являются пуассоновскими, а управление капиталом фонда является гистерезисным.1. Математическая модель изменения капитала фондаОсновной характеристикой состояния фонда является его капитал S(t) в момент времени t. В работе предполагается, что с капиталом S(t) могут происходить следующие изменения:1.В фонд поступают денежные средства. Будем считать, что моменты поступления денежных средств образуют пуассоновский поток с интенсивностью λ.Поступающие денежные суммы являются независимыми одинаково распределенными величинами с плотностью распределения ϕ(x), средним значениемМ{x} = a и вторым моментом M{x2} = a2.2.Фонд расходует поступившие денежные средства. Будем считать, что выплаты являются независимыми одинаково распределенными случайными величи-1 Работа выполнена в рамках аналитической ведомственной целевой программы Развитие научного потенциала высшей школы (2009 - 2010 годы), проект № 4761.Плотность распределения капитала некоммерческого фонда для пуассоновской модели 13нами с плотностью распределения ψ(x), средним значением М{x} = b и вторым моментом M {x2 } = b2.Моменты начисления выплат денежных средств также образуют пуассонов-ский поток, интенсивность которого μ(s) зависит от капитала фонда. Предполагается, что управление расходованием денежных средств определяется следующим образом, Устанавливаются два пороговых значения капитала S1 и S2, причем S2 > S1. В области S < S1 μ(s) = μ0, в области S > S2 μ(s) = μ 1 . Так как фонд не имеет целью получение прибыли, то естественно считать, чтоμ0bS0. Обозначим через P(s,t) плотность распределения капитала фонда s в момент времени t. Рассмотрим два близких момента времени t и t + Δt. Значение капитала s в момент времени t + Δt может быть получено в следующих случаях. В момент времени t капитал фонда равнялся s, и за время Δt он не изменился. Вероятность этого события 1-(λ + μ 1)Δ t + o(Δ t). В момент времени t капитал фонда равнялся s-x, и за время Δt поступила случайная премия x. Вероятность этого события λΔtϕ(x)dx + o(Δt). В момент времени t капитал фонда равнялся s + x, и за время Δt произведена случайная выплата x. Вероятность этого события μ1Δtψ(x)dx + o(Δt). По формуле полной вероятности14Я.С. Бублик, К.И. Лившицбудем иметьP(s,t+Δt)=(1-(λ+μ 1)Δt)P(s,t)+λΔt∫P(s-x,t)ϕ(x)dx+μ 1 Δt∫P(s+x,t)ψ(x)dx+o(Δt).00Переходя к пределу при Δt → 0 и t → ∞ , получим, что при S > S0(λ+ μ 1)P(s) = λ∫ P(s-x)ϕ(x)dx + μ 1∫ P(s + x)ψ(x)dx.(2)00 Решение уравнения (2) должно удовлетворять граничному условию P(+∞) = 0 .Перейдем к рассмотрению области 0 ≤ S ≤ S0. Здесь возможны два варианта μ(s) = μ0 и μ(s) = μ 1. Обозначимg0 (s) = P{s S0). В этом случае значение капитала s в момент времени t + Δt может быть получено в следующих ситуациях. В момент времени t капитал фонда равнялся s, и за время Δt он не изменился. Вероятность этого события 1 - (λ + μ 1) Δt + o (Δt). В момент времени t капитал фонда равнялся s - x, и за время Δt поступила случайная премия x. Вероятность этого события λΔtϕ(x)dx + o(Δt). При этом s-x>0, так как в противном случае μ(s) = μ0, а не μ 1 (траектория начиналась бы в области s < 0 ).В момент времени t капитал фонда равнялся s + x, и за время Δt произведена случайная выплата x. Вероятность этого события μ1Δtψ(x)dx + o(Δt). В стационарном режиме получимsS0-s∞(λ+μ 1)g1(s)=λ∫g1(s-x)ϕ(x)dx+μ 1 ∫ g1(s+x)ψ(x)dx+μ 1 ∫ P(s+x)ψ(x)dx. (4)Плотность распределения капитала некоммерческого фонда для пуассоновской модели 15Наконец, в области s < 0, учитывая, что переход в эту область возможен из области s > S0, а из области 0 < s < S0 как с траектории с \i(s) = ц0, так и с траектории с ]i(s) = (i1, получим в стационарном режимесо-s(X + \i0)P(s) = Х\ P(s-x)ф(x)dx + ц0 [ P(s + x)(p(x)dx +00S0-sS0 - sсо+М-0 f g0 (s + x)\\i(x)dx+\x1 \ g1(s + x)\\i(x)dx+\x1 \ P(s + x)\\i(x)dx. (5) Решение уравнения (5) должно удовлетворять граничному условию P(-оо) = 0 .3. Экспоненциальные распределения премий и выплатПусть распределения поступающих премий и выплат из фонда являются экспоненциальными:cp(s) = - exp -- , y(s) = -exp -- .(6)a v a)b v b)В этом случае может быть найдено точное решение системы уравнений (2) -(5). Рассмотрим, например, решение уравнения (5) как самого громоздкого. Подставляя в уравнение (5) плотности распределения cp(s) и ц/ (s) (6), получимг, s sys0- ys(X + V0)P(s) = -e - a f P(y)eady + 0eb\P(y)ebdy + Qeb,(7)a Jb J-cosS0- yS0- yсо- y_гдеQ = 0 f g0(y)e bdy + 1 f g1(y)e bdy+1 \ P(y)e bdy .b Jb Jb J00S0Дважды дифференцируя (7), приходим к уравнениюP(s)-k0P(s) = 0,(8)гдеk0 =0 .ab(Х + |а0)Откуда, учитывая условие P(-оо) = 0 , будем иметь, что при s < 0P(s) = Dek0s.Постоянная D должна быть теперь определена так, чтобы решение (10) дифференциального уравнения (8) удовлетворяло исходному уравнению (7). Аналогично, решение уравнения (2) имеет в области s > S0 видP(s)=Ae-k1 s,гдеk 1 = ,ab (А, + jj.1)решение уравнения (3) в области 0 < s < S0g0 (s) = B1 + B2ek0s,(13)16Я.С. Бублик, К.И. Лившицрешение уравнеия (4)g1(s) = C1+C2e-k 1 s. Постоянные A,B1,B2,C1,C2,D должны быть теперь выбраны так, чтобыфункции (10), (11), (13), (14) удовлетворяли системе исходных уравнений (2) - (5) и условию нормировки0S0+оэf P(s)ds+ f (g0(s) + g1(s))ds+ f P(s)ds = 1.(15)-co00Подстановка решений (10), (11), (13), (14) в систему уравнений (2) - (5) приводит к соотношениям на постоянныеB1 +B2= D;(16)1 + k0a 1 + k0aB 1+B2= 0;(17)1-k0bC 1+C2= 0;(18)1-k 1aC 1+C2= A;(19)1 + k 1 b 1 + k1b=Dk 0. (20)(1-k 1a)((1 + k 1 b)-(1-k 1a)e-k 1 S 0) (1 + k0a)((1 + k0a)ek0S 0 -(1-k0b)Решая систему уравнений 16) - (20) и учитывая условие нормировки (15), окончательно получим, чтоW0((1+k 0 a)-(1-k 0 b ) e - k 0 S 0 ) ekos ,s■ 0, получим уравнение относительно функции f0 (z):гдеf 0(z)-ro0 f 0(z) = 0, 2Хaйп}a2+]10b2Откудаf0(z) = B1+B2ew0zи, следовательно,g0 (s) = 8 (B 1 + B2ew0Qs ) + o (8).Аналогичные рассуждения позволяют показать, что функцияопределяется выражениемгде учтено, что f(z,0) ->■ 0 при z ->■ +оо , и, следовательно,При выводе соотношений (29), (33) и (36) неявно предполагалоь, что s ф 0 и s ^ S0. Рассмотрим теперь уравнения системы (2) - (5) при s = 0 и s = S0. При s = 0 уравнение (3) имеет видS0оэ(^ + V-0)g0 (0) = V-0 0 g 0 (x)\\i(x)dx + X0 P(-x)q>(x)dx . Откуда, учитывая (29) и (36), получимS0оэ(X + ц0)(B 1 + B2 ) = ц0 J (B 1 + B2eа0вx )у (x) dx + XDJ e-ffl0e>(x) dx + o (0).00гдеи, следовательно,Наконец, функция будет равнаf 1(z) = limf1(z,0)б->0со,f1(z) = C1+C2e 2ХaХa2 + щ1 b2 g1(s) = 0(C1+C2e-m19s) + o(0). f(z) = limf(z,0)z>zDea0z z < 0f(z)P(s) = \AQe +o(6), s>S 0 [D8effl0&+o(e), s■ 0, будем иметьB 1 +B2 =D.(37)Рассматривая теперь уравнение (3) при s = S0, аналогично получим0.B1+B2eсо0 z 0Уравнение (4) при s = 0 и s = S0 приводит к соотношениямC 1+C2=0;C1+C2e-Ш1z 0 =Ae-'Л1 z 0.(38)(39) (40)Наконец, уравнение (2) при s = S0 дает(Х + ^Ae-^e 000x +0S0S0A, J (B 1 +B2eш0еS 0-ш0еx)ф(x)dx + Х J (C 1 +C2e-ffl1eS 0+ffl16x)9(x) dx + o(6). 00 Откуда с учетом (37) - (40)^aff)0 , Хaю,-m o (8)5 D-(щ1 bй1 + )Ae щz 0 + ^ = 0.Так как щ1 b = (1 + 0)Хa, то, переходя к пределу при 0 ->■ 0, получимA Ю1 =D^Решая систему уравнений (38) - (40) и используя условие нормировки (15), окончательно получим, что при 0

Скачать электронную версию публикации