The optimal estimation of states of the integrated asynchronous doubly stochastic flow of events with unprolonging dead time..pdf В последние два десятилетия в связи с бурным развитием компьютерной тех-ники и информационных технологий появилась важная сфера приложений теории массового обслуживания - проектирование и создание информационно-вычисли-тельных сетей, компьютерных сетей связи, спутниковых сетей связи, телекомму-никационных сетей и т.п., которые можно объединить единым термином - ЦСИО. Вполне естественно, что это дало толчок к необходимости построения новых ма-тематических моделей входящих потоков событий, достаточно адекватно описы-вающих реальные информационные потоки, функционирующие в ЦСИО. Отме-тим, что одними из первых работ в этом направлении были статьи [1 - 3]. Под-черкнем, однако, что в литературе по теории массового обслуживания и ее при-ложениям в целом, как и в литературе, посвященной исследованию ЦСИО, в ча-стности, довольно незначительное количество работ посвящено адаптивным сис-темам обслуживания, т.е. системам, функционирующим в условиях полной или частичной неопределенности. Более того, подавляющее число авторов рассматри-вают ситуации, когда все параметры, характеризующие входящий поток событий, априорно известны, хотя в реальных ситуациях дело обстоит, как правило, иначе. На практике параметры, определяющие входящий поток событий, известны либо частично, либо вообще неизвестны, либо (что ещё больше ухудшает ситуацию) они изменяются со временем, при этом изменения часто носят случайный харак-тер, что приводит к рассмотрению дважды стохастических потоков событий. С другой стороны, очевидно, что функционирование системы обслуживания непо-средственно зависит от параметров входящего потока событий. Потоки событий с интенсивностью, зависящей от времени и являющейся случайным процессомОптимальная оценка состояний обобщенного асинхронного потока55(дважды стохастические потоки событий), можно разделить на два класса. К пер-вому классу относятся потоки с интенсивностью, являющейся непрерывным слу-чайным процессом. Ко второму классу относятся потоки, у которых интенсив-ность есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным числом состоя-ний. Последние (потоки с переключениями или МС-потоки событий [1, 2]) явля-ются наиболее характерными для реальных телекоммуникационных сетей. В свою очередь, в зависимости от того, каким образом происходит переход из состояния в состояние, МС-потоки можно разделить на три типа: 1) синхронные дважды стохастические потоки событий - потоки с интенсивностью, для которой переход из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени, являющиеся моментами наступления событий [4 - 6]; 2) асинхронные дважды стохастические потоки событий - потоки с интенсивностью, для которой переход из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени и не зависит от моментов наступления событий [7, 8]; 3) полусинхронные дважды стохастические потоки событий - потоки, у которых для одного множества состояний справедливо 1, а для остальных состояний справедливо 2 [9 - 11]. Наконец, подчеркнем, что отме-ченные синхронные, асинхронные и полусинхронные потоки событий возможно представить в виде моделей МАР (Markovian Arrival Process)-потоков событий [12, 13] с определенными ограничениями на параметры последних [14]. При ис-следовании дважды стохастических потоков событий могут быть выделены два класса задач: 1) задача фильтрации интенсивности потока (или задача оценивания состояний потока событий) по наблюдениям за потоком (по наблюдениям за мо-ментами наступления событий) [7, 15]; 2) задача оценивания параметров потока по наблюдениями за моментами наступления событий [4 - 6, 8 - 11].Одними из первых работ по оценке состояний дважды стохастических пото-ков, по-видимому, являются [7,16,18], в которых рассматриваются асинхронные дважды стохастические потоки с двумя и произвольным числом состояний, по оценке параметров - работа [17].В большинстве публикаций авторы рассматривают математические модели потоков событий, когда все события доступны наблюдению. Однако на практике возникают ситуации, когда наступившее событие может повлечь за собой нена-блюдаемость последующих событий. Одним из искажающих факторов при оцен-ке состояний и параметров потока событий выступает мертвое время регистри-рующих приборов [19], которое порождается зарегистрированным событием. Другие же события, наступившие в течение периода мертвого времени, недоступ-ны наблюдению (теряются). Можно считать, что этот период продолжается неко-торое фиксированное время Т. Все устройства регистрации делятся на две группы. Первую группу составляют устройства с непродлевающимся мертвым временем, вторую - устройства с продлевающимся мертвым временем. Отметим, что одни-ми из первых по оценке параметров случайных потоков событий, функциони-рующих в условиях мертвого времени, являются работы [20 - 22].В работах [23, 24] решена задача об оптимальной оценке состояний асинхрон-ного дважды стохастического потока с инициированием дополнительных событий (обобщенный асинхронный поток) в условиях отсутствия мертвого времени. В настоящей статье, являющейся непосредственным развитием работы [24], реша-ется задача об оптимальной оценке состояний обобщенного асинхронного потока событий в условиях его неполной наблюдаемости (при непродлевающемся мерт-вом времени). Предлагается алгоритм оптимальной оценки состояний, когда ре-56А.М. Горцев, М.А. Леоновашение о состоянии обобщенного асинхронного потока выносится по критерию максимума апостериорной вероятности, представляющей наиболее полную ха-рактеристику состояния потока, которую можно получить, располагая только вы-боркой наблюдений, и обеспечивающей минимум полной (безусловной) вероят-ности ошибки вынесения решения [25].1. Постановка задачиРассматривается асинхронный дважды стохастический поток с инициировани-ем дополнительных событий (далее обобщенный асинхронный поток), интенсив-ность которого есть кусочно-постоянный случайный процесс λ(t) с двумя состоя-ниями λ1 и λ2 (λ1 > λ2). В течение временного интервала, когда λ(t) = λi , имеет ме-сто пуассоновский поток событий с интенсивностью λi , i=1,2. Переход из первого состояния процесса λ(t) во второе (из второго в первое) может осуществляться в произвольный момент времени. При этом длительность пребывания процесса λ(t) в i-м состоянии распределена по экспоненцильному закону с параметром αi , i = 1,2. При переходе процесса λ(t) из первого состояния во второе инициируется с вероятностью p (0≤ p ≤1) дополнительное событие во втором состоянии (т.е. сна-чала осуществляется переход, а затем инициируется дополнительное событие). Наоборот, при переходе процесса λ(t) из второго состояния в первое инициирует-ся с вероятностью q (0≤ q ≤1) дополнительное событие в первом состоянии. Оче-видно, что в сделанных предпосылках λ(t) - марковский процесс. После каждого зарегистрированного в момент времени ti события наступает время фиксирован-ной длительности Т (мертвое время), в течение которого другие события исходно-го потока недоступны наблюдению. События, наступившие в течение мертвого времени, не вызывают продления его периода (непродлевающееся мертвое вре-мя). По окончании мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени длительности Т и т.д. Вариант возникающей ситуации показан на рис.1, где 1, 2 - состояния случайного процесса λ(t); дополнительные события, которые могут наступать в момент перехода процесса λ(t) из состояния в состояние, помечены буквами p либо q; штриховка - периоды мертвого времени длительности Т; t1, t2, … - моменты наступления событий в наблюдаемом потоке.a2laа2Я(.а1а2,а11 a2а1Процесс X(t)tФ ф6--ф$-Обобщенный асинхронный потокty^jyyy^+-1t'^■^■^J -■j'jfryyyj1.1.1^1.1.1 j-TT■ TTСхема создания непродлевающегося мёртвого времениttйНаблюдаемый поток событий Рис. 1. Формирование наблюдаемого потока событийtОптимальная оценка состояний обобщенного асинхронного потока57Подчеркнем, что если p = q = 0, то имеет место обычный асинхронный поток [7, 8]. Так как процесс λ ( t) и типы событий (события пуассоновских потоков и дополнительные события) являются ненаблюдаемыми, а наблюдаемыми являются только временные моменты наступления событий наблюдаемого потока t 1, t2, …, то необходимо по этим наблюдениям оценить состояние процесса (потока) λ ( t) в момент окончания наблюдений.Рассматривается установившийся (стационарный) режим функционирования наблюдаемого потока событий, поэтому переходными процессами на интервале наблюдения (t0, t), где t0 - начало наблюдений, t - окончание наблюдений (момент вынесения решения), пренебрегаем. Тогда без потери общности можно положить t0 = 0. Для вынесения решения о состоянии ненаблюдаемого процесса λ ( t) в момент времени t необходимо определить апостериорные вероятности ω(λ i| t) = = ω(λ i| t1,…, tm , t), i = 1, 2, того, что в момент времени t значение процесса λ ( t) = λ i (m - количество наблюденных событий за время t), при этом ω(λ 1 | t) + ω(λ2| t ) = 1. Решение о состоянии процесса λ(t) выносится путем сравнения апостериорных вероятностей: если ω(λ j| t) ≥ ω(λ i| t) , i, j = 1, 2, i ≠ j, то оценка состояния процесса есть λ(t) = λ .2. Апостериорная вероятность состояния наблюдаемого потока событийРассмотрим интервал времени (ti , ti +1) между двумя соседними событиями в наблюдаемом потоке, значение длительности которого есть τ i = ti +1 - ti , i = 1, 2, … (длительность интервала - случайная величина). С другой стороны, значение длительности этого интервала есть τ i = T + ηi , где ηi - значение длительности интервала между моментом окончания периода мертвого времени и моментом ti +1, т.е. интервал (ti, ti +1) разбивается на два смежных интервала: первый - (ti , ti + T), второй - (ti + T, ti +1). Подчеркнем одно важное обстоятельство: так как первое наступившее после окончания периода мертвого времени событие обобщенного асинхронного потока снова порождает период мертвого времени фиксированной длительности Т, в течение которого последующие события обобщенного асинхронного потока недоступны наблюдению (поток отсутствует), то условия нахождения апостериорной вероятности ω(λ 1 | t) на интервале (ti , ti + Т) длительности Т и интервале (ti + T, ti +1), значение длительности которого есть ηi , принципиально разные. Кроме того, для нахождения апостериорной вероятности ω(λ 1| t) необходимо точно знать длительность Т мертвого времени либо, по крайней мере, предварительно осуществить ее оценку T . В противном случае отсутствие информации о значении длительности Т мертвого времени делает попытку строгого нахождения апостериорной вероятности ω(λ 1 | t) невозможной. Здесь предполагается, что значение Т известно точно.В [23] сформулирован алгоритм расчета апостериорной вероятности ω(λ 1| t) для случая отсутствия мертвого времени (Т =0). При этом поведение вероятности ω(λ 1| t) на полуинтервале [ti, ti +1) между соседними наблюдавшимися событиями обобщенного асинхронного потока определяется выражениемω1 [ω2 -ω ( λ 1 | ti +0)]-ω2 [ω 1 -ω ( λ 1 | ti +0)]e-β(t - ti)1ω2 -ω(λ 1 | ti +0)-[ω1 -ω(λ 1 | ti +0)]e -β(t - t')где ti ≤t

Скачать электронную версию публикации