Analysis of Markov RQ-system with conflicts of service requests and Poisson incoming flow..pdf Исследованию сетей связи посвящено большое количество работ. Так, вопро-сам анализа сетей связи и протоколов случайного множественного доступа по-священы работы А.А. Назарова [1 - 5], И.И. Хомичкова [6], А.Н. Дудина [7].Но, несмотря на большое количество работ, посвященных исследованию ма-тематических моделей компьютерных сетей связи, многие задачи остаются не решенными и интересными для исследования. Так, одной из наиболее важных ха-рактеристик сети передачи данных является величина задержки, необходимая для доставки сообщения от источника к месту назначения, которая в сетях случайного доступа является нерегулярной.В реальных системах часто наблюдаются эффекты повторных обращений зая-вок к обслуживающему прибору, конфликты заявок требуют рассмотрения моде-лей, выходящих за рамки классических систем массового обслуживания. Поэтому интерес к рассмотрению таких, более реальных систем возрастает. В связи с этим появилось большое количество работ, посвященных рассмотрению систем с по-вторными заявками, таких, как [8 - 11].В данной работе рассмотрим RQ-систему (retrial queue) с источником повтор-ных вызовов и конфликтами заявок. Заявка, поступившая в систему, отправляется на обслуживание. И если прибор свободен, то начинает осуществляться немед-ленная передача сообщения, которая заканчивается успешно, если за это время другие сообщения не поступали. Если же во время передачи одного сообщения поступает другое, то в этом случае говорят о ситуации конфликта. Сообщения, попавшие в конфликт, считаются искаженными, переходят в так называемый ис-точник повторных вызовов (ИПВ), откуда вновь подаются на обслуживание после случайной задержки.Для исследования такой системы предлагается допредельный метод, который позволяет получить распределение вероятностей состояний системы.Как правило, исследовать такие системы весьма проблематично в силу гро-моздкости вычислений. Поэтому альтернативным подходом является применение метода асимптотического анализа.1 Работа выполнена в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009 - 2010 годы)», проект № 4761.98Е.А. Судыко, А.А. НазаровВ данной статье используется метод асимптотического анализа для получения распределений вероятностей состояний RQ-системы. А также осуществляется сравнение результатов, полученных при помощи допредельного и асимптотического методов.1. Математическая модельВ качестве математической модели RQ-системы рассмотрим однолинейную марковскую систему массового обслуживания с источником повторных вызовов, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Требование, заставшее прибор свободным, занимает его для обслуживания в течение случайного времени, распределенного по экспоненциальному закону с параметром μ. Если прибор занят, то поступившая и обслуживаемая заявки вступают вконфликт и переходят в источник повторных вызовов (ИПВ), где осуществляют случайную задержку, продолжительность которой имеет экспоненциальное распределение с параметром σ . Из ИПВ после случайной задержки заявка вновь обращается к прибору с повторной попыткой его захвата. Если прибор свободен, то заявка из ИПВ занимает его на случайное время обслуживания.Пусть i(t) - число заявок в ИПВ, а k(t)- определяет состояние прибора следующим образом:( ) = {0, если прибор свободен,1, если прибор занят. ОбозначимP{k(t) = k,i(t) = i} = P(k,i,t) -вероятность того, что прибор в момент времени t находится в состоянии k и в источнике повторных вызовов находится i заявок.Требуется определить распределение вероятностей значений процесса i(t) -числа заявок в источнике повторных вызовов в момент времени t.Процесс {k(t),i(t)} изменения во времени состояний описанной системы является марковским.Для распределения вероятностей P(k,i,t) состояний {k,i} рассматриваемой RQ-системы составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:( ,i,t) (λ + iσ)P(0,i,t) + μP(1,i,t) + λP(1,i-2,t) + (i-1)σP(1,i-1,t),∂ P (1 i )(1)(λ + μ + iσ)P(1,i,t) + λP(0,i,t) + σ(i + 1)P(0,i + 1,t).∂t В стационарном режиме система (1) примет вид{-((λ+iσ)P(0,i () + μ P ( 1 , i () + λ P (1,i-2) + σ(i-1)P(1,i-1) = 0,Эту систему (2) будем в дальнейшем называть основной для допредельного исследования RQ-системы с конфликтами заявок.Исследование марковской RQ-системы с конфликтами заявок992. Характеристическая функция распределения вероятностей состояний RQ-системыПрименяя систему уравнений Колмогорова (2), составим систему уравнений, определяющих характеристические функциисоH(k,u) = ^ejuiP(k,i).i=0Из (2) получимdudu(3)^1*,

Скачать электронную версию публикации