Quantile hedging call option in a diffusion (B, S) - market incase of dividends payment on a risk active.pdf Используемые на рынках, особенно на внебиржевых, финансовые инструменты становятся все более разнообразными [1]. При этом построение математической модели финансового рынка и анализ процессов требуют применения математических методов на достаточно высоком уровне. В связи с этим большую популярность приобрела финансовая математика, основным объектом исследования которой являются различные модели рынка ценных бумаг [2 - 4]. Опцион является производной (вторичной) ценной бумагой и представляет собой контракт, по которому покупатель опциона приобретает право купли или продажи некоторого оговоренного в контракте базисного актива по определенной цене, а продавец опциона за премию, являющуюся ценой опциона, обязан исполнить требование покупателя при предъявлении опциона к исполнению. В первом случае имеем опцион купли, а во втором - продажи. Стандартная платежная функция опциона купли, определяющая величину выплаты при предъявлении опциона к исполнению,имеет вид fT = (ST - K)+, где ST - цена базисного актива в момент исполнения T, K - цена исполнения контракта, a+ = max(a;0) Опцион, соответствующий такойплатежной функции в случае фиксированного T, получил название стандартного опциона купли европейского типа. В случае стандартных опционов, которые исполняются с вероятностью единица, с платежными функциями данного вида выплата по опциону может быть достаточно большой, что представляет существенный риск для эмитента (инвестора) и порождает требование ограничения этого риска. В предлагаемой работе реализация выдвинутого требования осуществляется на основе квантильного хеджирования с вероятностью выполнения платежного обязательства [4, 5], которая, в отличие от стандартного опциона, меньше единицы. В случае опциона продажи с платежной функцией вида fT =(K-ST)+ задача квантильного хеджирования рассмотрена в [6].1. Постановка задачиРассмотрим модель финансового рынка, представленного безрисковым (банковский счет) B и рисковым (акция) S активами с ценами соответственно Bt и St в момент времени t ∈ [0,T]. При этом активы B и S называют основными активами62Е.Ю. Данилюк, Н.С. Деминили основными ценными бумагами, образующими (B , S)-рынок с непрерывным временем. Предполагается, что величина банковского счета B задается детерминированной функцией B = (Bt)t>0, отвечающей диффузионному уравнениюdBt=rBtdt, решение которого имеет видBt=B0ert, B0>0, r>0,где r - процентная ставка, или банковский процент. Изменение стоимости акции S = (St)t>0 происходит на стохастическом базисе (Q,F,F = (Ft) t>0,P) [2 - 4].Ввиду того, что реально наблюдаемые флуктуации цен акций имеют случайный характер, для описания эволюции S используется модель «геометрического», или «экономического», броуновского движения [2, 3]. Такой процесс описывается стохастическим диффузионным уравнениемdSt=St(μ dt + σdWt),с решениемSt (ц) = S0 exp2а22t + aWгде W = (Wt)t>0- винеровский процесс, S0 >0,μeR = (-00, +оо),σ > 0 .Рассмотрим некоторого инвестора, значение капитала Xt в момент времени t которого определяется какXt=βtBt+γtSt,где Ft-измеримые процессы βt и γ t - части безрискового и рискового активов соответственно - составляют портфель ценных бумаг π t = (β t,γt). За обладание акцией осуществляются выплаты дивидендов в размере Dt со скоростью δγtSt, 0

Скачать электронную версию публикации