«Lazy» wavelets of Hermitian cubic splines and algorithm with splitting.pdf Вейвлетом называется малая, то есть короткая или быстро затухающая волна,множество сжатий и смещений которой порождает некоторое пространство огра-ниченных функций на всей числовой оси [1 - 3]. За счет сжатия вейвлеты выяв-ляют с разной степенью подробности различие в характеристиках измеренногосигнала, а путем сдвига способны проанализировать свойства сигнала в разныхточках на всем изучаемом интервале. Свойство локальности вейвлетов обеспечи-вает им известное преимущество при анализе нестационарных сигналов, напри-мер, по сравнению с преобразованием Фурье. К недостаткам ортонормальныхвейвлетов [1] относится то, что они не имеют аналитического представления играфически похожи на фрактальные кривые. Недостатком сплайн-вейвлетов [2]является то, что для них не существует явных конечных формул разложения. По-этому при вычислениях используют приближенные соотношения для главных ко-эффициентов разложения [2] либо решают системы линейных алгебраическихуравнений [3]. В данной работе для случая эрмитовых кубических сплайнов [4]рассмотрен неизвестный ранее тип «ленивых» вейвлетов, для которых предложенэффективный алгоритм вейвлет-анализа на основе конечных неявных соотноше-ний разложения.1. Построение систем «ленивых» эрмитовых сплайн-вейвлетовОсновой для построения вейвлет-преобразования является набор вложенныхпространств … VL-1 VL  VL+1 …. В данном случае пространство VL являетсяпространством эрмитовых кубических сплайнов на отрезке [a, b] с равномернойсеткой узлов ƒL : ui = a + (b - a) i / 2L, i = 0, 1,…, 2L, L ≥ 0, и базисными функциямиNLi,0 (v) = ƒ3(v - i), NLi,1 (v) = ƒ(v - i) i, v = 2L (u - a) / (b - a) + 1, с центрами в це-лых числах, порожденными сжатиями и сдвигами двух функций вида2 22 23(1 ) (1 2 ), 0 1, (1 ) , 0 1,ƒ ( ) (3 2 ), 1 2, ƒ( ) (1 ), 1 2,0, [0, 2]; 0, [0, 2].t t t t t tt t t t t t t tt t⎧ − + ≤ ≤ ⎧ − ≤ ≤⎪ ⎪=⎨ − ≤ ≤ =⎨− − ≤ ≤⎪ ∉ ⎪ ∉⎩ ⎩На любой сетке ƒL, L ≥ 0, интерполяционный кубический эрмитов сплайн мо-жет быть представлен какS N N , ,L LL L L L Li i i ii iu C u C u a u b= ==ƒ +ƒ ≤ ≤ (1)где коэффициенты CiL,k, k = 0, 1, являются узловыми значениями и соответственнопроизводными аппроксимируемой функции. Если записать базисные сплайн-функции в виде единой матрицы-строки, 0,1 1,0 1,1 2 ,1 ƒ N ,N ,N ,...,N L ,L= ⎡⎣ L L L L ⎤⎦ и упоря-дочить коэффициенты сплайна в виде вектора, ,1 ,0 ,1 ,10 1 1 2 , , , ..., , LСL= ⎡⎣СL СL СL СL⎤⎦ Tто уравнение (1) переписывается как SL(u) = ƒL (u) CL.Суть вейвлет-преобразования состоит в том, что оно позволяет иерархическиразложить заданную функцию на серию все более грубых приближенных представ-лений и локальных уточняющих подробностей. Пусть «более грубый» уровеньпредставления в VL−1 получается из «более подробного» уровня представления в VLпосредством удаления каждого второго отсчета. Тогда базисными функциями дляVL-1 будут функции NL-1i,k, в два раза большие по ширине с центрами в четных це-лых числах. Пространство вейвлетов WL-1 определяется как дополнение VL-1 до VL,так что любая функция в VL может быть записана в виде суммы какой-то функции вVL-1 и какой-то функции в WL-1. В [3] на примере сплайнов первой степени былопредложено в качестве базисных функций в WL-1 использовать базисные функции вVL с центрами в нечетных целых числах («ленивые» вейвлеты). Тогда формулы длявейвлет-коэффициентов приобретают локальный вид и для данного случая незави-симо получены в [5]. А в [6] эти формулы были применены к более подходящейсхеме вычисления производных для анализа негладких данных.Мы предлагаем использовать в качестве вейвлетов для WL-1 функции NLi,k в VLс центрами в четных целых числах. Поскольку WL-1 должно являться дополнениемVL-1 в VL, размерности этих пространств должны удовлетворять соотношениюDim (VL) = Dim (VL-1) + Dim (WL-1). Иногда для этого достаточно ограничитьсярассмотрением периодического случая, когда первая и последняя контрольныеточки совпадают. Это соответствует аппроксимации замкнутых кривых и поверх-ностей. Для незамкнутых кривых предлагается вычитать из исходных координатуравнение прямой, соединяющей первую и последнюю точки. Тогда две базисныефункции по краям отрезка [a, b] удаляются из базиса, и размерности полученныхпространств V0L, W0L-1 равны 2(2L+1) - 2 = 2L+1 и 2L соответственно. Следователь-но, Dim (V0L) = Dim (V0L-1) + Dim (W0L-1).Обозначим базисные сплайн-функции и коэффициенты эрмитового кубиче-ского сплайна с отсутствующими элементами по концам отрезка аппроксимациикак ƒ0L и C0L.. Аналогично, обозначим базисные вейвлет-функции какML-1i,0 = ƒ3(v - 2i), ML-1i,1 = ƒ(v - 2i), i = 0, 1,…, 2L-1, и запишем их в видематрицы-строки, 0 0,1 1,0 1,1 2 ,1 ƒ M ,M ,M ,...,ML L= ⎡⎣ L L L L ⎤⎦ . Соответствующие вейвлет-коэффициенты на уровне разрешения L будем собирать в вектор,,1 ,0 ,1 ,10 0 1 1 2 , , , ..., . LDL=⎡⎣DL DL DL DL⎤⎦T Тогда с использованием обозначения для блоч-ных матриц вейвлет-преобразование может быть записано как [3]100 0 0 10| .LL L LLСС P QD−−⎡ ⎤=⎡⎣ ⎤⎦⎢ ⎥⎣ ⎦(2)Ниже представлен пример матрицы [P0L | Q0L], соответствующий L = 3:121 1 18 2 81 3 18 4 8121 1 1 12 8 2 83 1 3 14 8 4 83 30 0 121 1 1 12 8 2 83 1 3 14 8 4 8121 1 12 8 83 1 14 8 81211 0 10 11 0 1| .0 11 0 10 11P Q⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ − ⎥⎢ ⎥⎢− − ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢ − ⎥⎥⎢⎢ − − − ⎥⎥⎢ ⎥⎡⎣ ⎤⎦=⎢⎢ ⎥⎥⎢ ⎥⎢ − ⎥⎢ ⎥⎢ − − − ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢ − ⎥⎥⎢⎢ − − − ⎥⎥⎢ ⎥⎣ ⎦Здесь и далее пустые позиции представляют собой нулевые элементы. Блокиматрицы PL составлены из коэффициентов двухмасштабных соотношений для эр-митовых сплайнов 3-й степени [7]:( )( )ƒ3( )12ƒ3(2 ) ƒ3(2 1)12ƒ3(2 2) 43 ƒ(2 ) ƒ(2 2) ,ƒ( ) 12ƒ(2 1) 18ƒ(2 ) 18 ƒ(2 2) 18 ƒ3(2 ) ƒ3(2 2) ,t t t t t tt t t t t t= + − + − + − −= − − − − − − −так как каждую широкую базисную функцию внутри отрезка аппроксимацииможно построить из трех, а по краям интервала из двух пар узких базисных функ-ций. Все элементы столбцов матрицы QL - нули, за исключением единственнойединицы, так как каждый ленивый вейвлет - это одна узкая базисная функция.Обратный процесс разбиения коэффициентов CL на более грубую версию CL-1и уточняющие коэффициенты DL-1 состоит в решении системы линейных уравне-ний (2). При этом для облегчения вычислений матрицу [P0L | Q0L] можно сделатьленточной, изменив порядок неизвестных так, чтобы столбцы матриц P0L и Q0Lперемежались. Тем не менее, хотя разрешимость полученной системы и гаранти-рована линейной независимостью базисных функций, вопрос ее хорошей обу-словленности остается открытым.2. Алгоритм с применением расщепленияСледующее утверждение дает последовательность вычисления коэффициентоввейвлет-анализа по известным коэффициентам сплайн-разложения на любомуровне разрешения L.Теорема 1. Пусть величины ,1 ,0 ,1 ,10 1 1 2 , , , ..., , 1, LƒL=⎡⎣ƒL ƒL ƒL ƒL⎤⎦T L ≥ получены изсоотношений видаL,0 L,0, 2,4, ,2L 2; L,1 L,1, 0,2, ,2L;ƒi =Сi i = … − ƒi =Сi i = …,0 ,01 1,0 ,03 3,0 ,02 1 2 1,1 ,11 1,1 ,13 3,1 ,12 1 2 111 11 10 1 ,1 119 11 10 1 ;1 9L LL LL LL LL LL LL LL LСССССС− −− −⎢⎢⎢⎢⎣⎡− − − ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⋅⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢ƒƒƒ ⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣⎢− − −⎤⎥⎥⎥⎦⎥⋅⎢⎢⎢⎢⎣⎢⎡ƒƒƒ ⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎤=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Скачать электронную версию публикации