Using of information about S?-equal-shoulder symmetry at the processing of censored data.pdf При обработке статистических данных нередко возникает необходимость по-строения оценки неизвестной функции распределения исследуемой случайной ве-личины и/или ее числовых характеристик. При этом на практике имеют место си-туации, когда существует дополнительная информация об исследуемой случайнойвеличине, например о непрерывности, симметричности, значениях моментов иликвантилей распределений и пр. Источником этой информации могут служить ус-ловия эксперимента, результаты предыдущих исследований, теоретические выво-ды, физический смысл анализируемой случайной величины и т.д. Следовательно,возникают вопросы учета имеющейся дополнительной информации при разра-ботке статистических процедур, а также исследовании свойств получаемых приэтом статистик [1, 2].Рассматриваемая проблема становится еще более важной в случае, если вы-борка является неполной, например цензурированной. Данные такого рода встре-чаются в практической работе довольно часто, особенно в теории надежности,при проведении медицинских, биологических, демографических, экономическихисследований и пр. [3 − 6]. Цензурирование приводит к существенным потеряминформации, поэтому привлечение дополнительных сведений о распределении -важная и перспективная задача.Кроме того, проведение многих экспериментов затратно или требует многовремени для получения результатов, поэтому возникает задача привлечения апри-орных сведений о распределении для сокращения количества испытаний и про-должительности опытов.В работе рассматривается задача привлечения априорной информации обSƒ-равноплечной симметрии случайной величины типа времени жизни при стати-стической обработке прогрессивно I типа однократно цензурированных справавыборок. Получены модифицированные оценки функции распределения неиз-вестной случайной величины, проанализированы ее свойства, показано, что оцен-ка является несмещенной, при этом ее использование повышает точность оцени-вания неизвестной функции распределения в смысле минимизации дисперсии.Полученные результаты позволяют утверждать, что привлечение дополнительнойинформации дает возможность получать оценки, которые по точности превосхо-дят эмпирическую функцию распределения, построенную по полной выборке безцензурирования, однако уступают по точности симметризованной эмпирическойфункции распределения, при этом точность оценивания падает с ростом доли цен-зурированных наблюдений.Также в работе методом подстановки найдены модифицированные оценки ма-тематического ожидания и дисперсии, изучены их свойства. Полученные форму-лы обобщают классические результаты.1. Оценка функции распределения по цензурированной выборкеВ данной работе рассматривались прогрессивно цензурированные выборки(ц.в.), цензурирование I типа.Определение. Под прогрессивно цензурированной выборкой (п.ц.в. [3 - 6]) по-нимается такая ц.в., характер цензуры которой неслучаен.Определение. Будем говорить, что имеет место цензурирование I типа, еслиi-й опыт (цензурирован или нет) производится независимо от других опытов.Пусть ƒ - случайная величина (с.в.) типа времени жизни, , ƒ [0,T ] , с функци-ей распределения (ф.р.) F(t),(X,I)={(X1,I1),(X2,I2),...,(XN,IN)}- п.ц.в. объемаN, где для i= 1,N0, полная наработка;1, неполная наработка до цензурирования;iiiXIX= ⎧⎨⎩ −−при этом момент цензурирования T1 неслучаен.Рассмотрим п.ц.в., построенные по следующей схеме цензурирования: ко-личество неполных наработок в интервале (T1,T] - с.в., численно равная доле g,0 < g < 1, от числа исправных изделий в конце интервала [0,T1 ]. Тогда оценкафункции распределения определяется формулой [3,5][ ) ( )[ ) ( ) 10, 11, 11 110, 0,1 I , 0 ,( ) 1 I , 0(1 ) ,, 01, ,Nt i iiц NN T t i iitXI tTNF t r X I NN gN T t Tr NNt T==< ⎧⎪⎪≤ ≤⎪⎪⎪⎫ = ⎨ + > ⎪⎪− ⎪ < ≤ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪⎭⎪⎪⎩ >ƒƒ (1)где для i= 1,N I i =1− Ii , r - число полных наработок в интервале [0,T1 ],I A(x)={0:x∉A,1:xA} - индикаторная функция, N1 =(N−r)(1−g).Оценка (1) асимптотически несмещенная, при этом[ ][ ]( ]2ц110, 0, ,( ) ( )(1 ( )), 0, ,( )(1 ( )) ( ( ) )(1 ( )), , ,(1 )(1 )t Tt Ft Ft t TFt Ft g F t p F t t TTp g⎧⎪∉⎪ƒ = −  ⎨⎪− −⎪ − + ⎩ − −где p=F(T1),p(0,1),2 цц( ) Nlim N ( ).t NDFtƒ = (2)Здесь Dƒ - дисперсия с.в. ƒ .2. Sα-равноплечная симметрия функции распределенияОпределение. Будем говорить, что с.в. ƒ  R является Sƒ-равноплечно сим-метричной относительно центра симметрии ƒ , если ф.р. F(t) удовлетворяет усло-виюF(t) =1−F(S(t) +0), tR, (3)где функция S(t) является непрерывной, монотонно убывающей и удовлетворяеттребованиям(S) 1 (t) S(t), S( ) . − = ƒ = ƒЗдесь (S) 1 (t) − - обратная к S(t) функция, F(ƒ)=0,5. Заметим, что в случаеS(t) = 2ƒ −t получим обычную симметрию ф.р. относительно медианыF(t) =1−F(2ƒ −t +0).Теорема 1. Если ф.р. F(t) является непрерывно возрастающей, то F(t) облада-ет свойством (3), при этомS(t)=F−1(1−F(t)), (4)ƒ = F−1(0.5),где F−1(t) - обратная к F(t) функция.Доказательство. Так как ф.р. F(t) непрерывно возрастает, то обратная функ-ция F−1(t) также является непрерывной и возрастающей, в то время как с ростомt значение выражения 1-F(t) убывает. Из этого следует, что функция S(t), опреде-ляемая по формуле (4), является убывающей.Нетрудно убедиться, что (S) 1 (t) S(t), − = при этом для ƒ = F−1(0,5)S(ƒ) =F−1(1−F(ƒ)) =F−1(1−0,5) =F−1(0,5) = ƒ.Выполнение условия (3) таким образом очевидно. Теорема доказана.Следствие 1. Экспоненциальная ф.р. F(t;ƒ) =1−e−ƒt,t >0, с параметромƒ > 0 обладает свойством (3), при этом( ) ln(1 ), ln 2.ln 2eS tƒ − −ƒ= − ƒ =ƒСледствие 2. Равномерная ф.р. F(x;a,b) x a, x [a,b],b a−= −с параметрами−

Скачать электронную версию публикации